GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

Une planète accélère même lorsque sa vitesse est constante : la vitesse inclut la direction.

Prérequis : 47.

• Appliquer les descriptions newtonienne, lagrangienne et hamiltonienne
• Analyser la rotation, les forces centrales et les oscillations
• Utiliser les lois de conservation avec leurs conditions

La deuxième loi de Newton est une affirmation vectorielle. Choisissez des coordonnées et identifiez les contraintes avant les composantes.

La conservation de l'énergie s'applique lorsque le travail des forces non conservatrices est pris en compte ; la conservation de la quantité de mouvement nécessite une impulsion externe nette nulle.

Pour les petites oscillations, linéarisez autour d'un équilibre stable. Un terme restaurateur proportionnel au déplacement donne un mouvement harmonique.

Les équations de Lagrange utilisent L=T−V et les coordonnées généralisées. Cette formalisation universitaire diffère de la substitution de forces au niveau secondaire.

Choisissez un référentiel inertiel et une coordonnée x mesurée à partir de l'équilibre du ressort. Pour un ressort conservatif, le lagrangien évite de résoudre les forces de contrainte.

Avec m = 2.0 kg et k = 18 N/m, Une rigidité positive assure un mouvement stable. Les unités de k/m sont des secondes inverse carrées.

La conservation de l'énergie cinétique ne s'applique pas à toutes les collisions, même lorsque la quantité de mouvement est conservée.

Lagrangien : Énergie cinétique moins énergie potentielle pour le système mécanique standard.

moment cinétique : Le moment du moment linéaire par rapport à un point de référence.

Un potentiel électrique nul en un point n'implique pas un champ électrique nul à cet endroit.

Prérequis : 13, 14, 15, 29, 30.

• Utiliser les potentiels et champs électrostatiques ainsi que la loi de Gauss
• Analyser les circuits, le magnétisme et l'induction
• Appliquer les équations de Maxwell et les relations des ondes électromagnétiques

Le champ électrique est le gradient négatif du potentiel. Une valeur et une variation spatiale sont des quantités distinctes.

Utiliser la loi de Gauss avec symétrie. Un flux total connu seul ne permet pas de déterminer le champ à chaque point de la surface.

Les lois de Kirchhoff suivent la charge et l'énergie dans les circuits. La force électromotrice induite suit le changement de flux magnétique avec le signe de la loi de Lenz.

Les équations de Maxwell relient les champs électriques et magnétiques. Dans le vide, une onde satisfait E/B=c et transporte de l'énergie.

Une coque sphérique a un rayon R et une charge Q uniforme. Choisir le potentiel nul à l'infini. La symétrie sphérique permet d'utiliser la loi de Gauss pour déterminer le champ à l'extérieur.

À l'intérieur, la charge enfermée est nulle et la symétrie donne E = 0. La continuité implique Que le potentiel est non nul et constant à l'intérieur. Un gradient nul, plutôt qu'une valeur nulle, donne un champ nul. Le champ radial subit une discontinuité à la surface chargée.

Ne pas utiliser la loi de Gauss pour affirmer qu'un champ uniforme existe sur une surface arbitraire non symétrique.

flux : L'intégrale de surface de la composante normale d'un champ.

potentiel : Énergie potentielle par unité de charge.

Deux ondes lumineuses individuelles peuvent s'annuler en un point si leurs phases s'opposent.

Prérequis : 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Analyser la superposition et l'interférence des ondes
• Utiliser la diffraction, la polarisation et l'imagerie optique
• Relier la phase, la fréquence et la dispersion

Ajouter les amplitudes des ondes, puis calculer l'intensité. L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude pour le même milieu.

Une différence de marche engendre une différence de phase 2πΔ/λ. Des sources cohérentes nécessitent une phase relative stable.

Pour une fente unique, les minima satisfont a sin θ=mλ pour les entiers non nuls m. Une double fente possède une condition d'interférence différente.

L'optique géométrique nécessite une convention de signes explicite. Les effets ondulatoires sont significatifs lorsque les ouvertures sont comparables à la longueur d'onde.

Les ondes cohérentes présentent une différence de phase stable. Ajouter les amplitudes avant de les élever au carré.

Pour des intensités individuelles égales I0 et une différence de marche d'un quart de longueur d'onde, Ceci correspond ni à un maximum ni à un minimum. Une phase relative aléatoire élimine le terme croisé dans une moyenne temporelle longue ; la cohérence stable est une condition physique, et non une convention graphique.

Le maximum central de la fente simple n'est pas obtenu en posant m=0 dans la condition des minima.

cohérence : Relation de phase stable entre des ondes.

diffraction : Étalement et interférence des ondes causés par une ouverture ou un obstacle.

Two engines can obey energy conservation, yet only one obeys the entropy 熵 limit on efficiency.

Prerequisites: 19, 20, 34, 35, 36.

• Apply the first and second laws with a sign convention
• Relate ensembles, Boltzmann factors and entropy
• Analyse ideal gases, heat engines and quantum statistics

State the first-law sign convention: ΔU=Q−W when W is work done by the system.

For a reversible engine between reservoirs, efficiency is bounded by 1−Tc/Th using absolute temperatures.

Boltzmann weights are exp(−E/kT). Probabilities require division by the partition function 配分函数.

Distinguish Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein and Fermi–Dirac assumptions. Fermions cannot share an identical single-particle state.

Use work W done by the gas as positive. The first law 热力学第一定律 is

For reversible isothermal expansion of an ideal gas, U depends only on T, so For n = 0.50 mol, T = 300 K and doubled volume, The gas expands and receives heat. The reservoir loses the same entropy in this reversible limit.

Celsius temperature ratios cannot be used in the Carnot efficiency formula.

entropy: A state quantity connected to multiplicity and reversible heat transfer.

partition function: The sum of statistical weights used to normalise probabilities.

Une particule dans une boîte ne peut avoir une énergie cinétique fondamentale nulle. Son confinement modifie les états autorisés.

Prérequis : 24, 37, 38, 39.

• Utiliser les fonctions d'onde, les opérateurs et les probabilités de mesure
• Résoudre les modèles standards d'états liés et raisonner sur le tunnelnage
• Appliquer les principes du moment cinétique, de la spin et des spectres atomiques

Une fonction d'onde doit satisfaire les conditions aux limites du modèle et avoir une probabilité totale égale à un : intégrer |ψ(x)|² sur le domaine autorisé. Pour des états orthonormés φ_j, une superposition ψ=Σc_jφ_j a pour carré de norme Σ|c_j|² car les termes croisés s'intègrent à zéro. Ainsi, une superposition équivalente de N états orthonormés a une amplitude de coefficient 1/sqrt(N). La probabilité de trouver une énergie constitutive est |c_j|², et non c_j. Les phases relatives peuvent affecter les probabilités de position même lorsque les probabilités d'énergie restent inchangées.

Un observable est représenté par un opérateur hermitien. Ses valeurs propres sont réelles, et un état normalisé donne une valeur moyenne ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. L'espérance est une moyenne sur des préparations répétées, et non nécessairement le résultat d'une mesure unique. Si A satisfait une identité polynomiale, l'appliquer à un état propre : pour A⁴=I, une valeur propre réelle doit être +1 ou −1. Une racine quatrième complexe est exclue par l'hermiticité, bien qu'elle résolve le polynôme.

Pour un puits infini 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 permet les modes sinusoïdaux sin(nπx/L), avec n=1,2,… . Leurs énergies sont E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), donc l'état fondamental n'est pas nul et doubler L divise chaque énergie par quatre. L'expression équivalente en h est n²h²/(8mL²) ; ne jamais substituer h pour $\hbar$ sans son facteur 2π. Un potentiel fini permet plutôt des queues exponentielles, et une onde voyageuse dans une région classiquement autorisée présente une dépendance spatiale oscillatoire plutôt qu'exponentiellement décroissante.

Les opérateurs commutent lorsque [A,B]=AB−BA=0 ; les observables compatibles peuvent avoir une base propre commune. Puisque l'énergie cinétique p²/(2m) est une fonction de p, elle commute avec p. Un potentiel dépendant de la position rend généralement H=p²/(2m)+V(x) incompatible avec p. Le moment cinétique obéit à [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z et aux permutations cycliques, tandis que J² commute avec chaque composante. Les transitions atomiques échangent une énergie photonique positive égale à une différence de niveau ; le moment cinétique et les règles de sélection spécifiques au mécanisme restreignent quelles transitions se produisent.

Un puits infini s'étend de 0 à L. L'annulation de la fonction d'onde aux deux extrémités donne

Préparer $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. L'orthogonalité rend sa norme égale à un. Les mesures d'énergie donnent E1 ou 4E1 avec probabilité égale : Cette moyenne n'est pas un résultat d'énergie simple autorisé. La phase relative évolue dans le temps, ainsi une superposition d'énergies différentes n'est pas un état stationnaire.

Un état stationnaire peut avoir une énergie non nulle même si sa densité de probabilité est indépendante du temps.

normalisation : Rendre la probabilité totale égale à un.

opérateur : Une action mathématique représentant un observable.

Un instrument précis peut donner des résultats systématiquement erronés si son étalonnage est décalé.

Prérequis : 21, 22, 42, 43, 44.

• Appliquer les relations relativistes spéciales d'énergie et d'espace-temps
• Propager l'incertitude de mesure et analyser les données expérimentales
• Reconnaître les concepts nucléaires, des particules, de la matière condensée et astrophysiques

La relativité restreinte utilise γ=1/sqrt(1−v²/c²). L'énergie au repos est mc² et l'énergie totale est γmc².

Pour des incertitudes indépendantes et faibles, combiner les contributions en quadrature ; les incertitudes corrélées nécessitent des termes de covariance.

La dispersion aléatoire affecte la précision ; le biais d'étalonnage affecte l'exactitude. Un graphique logarithmique peut révéler une loi de puissance.

Les questions de physique nucléaire, des particules, de la matière condensée et de l'astrophysique requièrent un vocabulaire et des modèles de niveau universitaire. La physique scolaire seule ne constitue pas une préparation complète.

Le temps propre est mesuré entre deux événements se produisant à une même position dans un référentiel. Pour une vitesse de particule 0.60c,

Si sa durée de vie moyenne propre est 4.0 microsecondes, Une durée de vie est une moyenne d'une distribution ; elle ne prédit pas une durée de vie individuelle de désintégration.

L'addition linéaire des incertitudes pourcentuelles donne une limite du cas le plus défavorable, et non l'incertitude type statistique indépendante.

précision : Proximité des mesures répétées entre elles.

covariance : Mesure de la variation conjointe utilisée pour les incertitudes corrélées.

Toute différence d'énergie ne produit pas une raie électrique-dipolaire intense.

Prérequis : 23, 40, 41.

• Relier les énergies atomiques aux raies spectrales
• Appliquer les nombres quantiques du moment cinétique
• Distuer les transitions électriques-dipolaires permises et interdites

Pour les ions hydrogénoïdes à un électron, les énergies liées s'échellent comme −13.6 Z²/n² eV dans le modèle non-relativiste le plus simple. L'émission nécessite une transition descendante et une énergie photonique positive.

Le moment cinétique orbital a l=0,…,n−1 et m_l=−l,…,l. Le spin électronique ajoute s=1/2 ; le moment cinétique total combine les contributions orbitales et de spin.

Les règles de sélection à l'oscillateur électrique incluent Δl=±1 et Δm=0,±1. Ces règles concernent un mécanisme de transition spécifique ; « interdite » ne signifie pas impossible par tout autre mécanisme.

La structure fine, les effets spin-orbite et le splitting Zeeman affinent la description la plus simple de l'atome d'hydrogène. Dans les atomes à plusieurs électrons, l'écran et les interactions électroniques invalident une substitution directe des énergies de l'hydrogène.

Pour un ion à un seul électron non relativiste, en négligeant la structure fine,

Pour Z = 2, une émission de n = 3 vers n = 2 donne une énergie photonique positive : Une différence d'énergie seule ne garantit pas une transition à l'oscillateur électrique; les états orbitaux participants doivent satisfaire aux règles de sélection.

Ne faites pas en sorte que l'énergie de l'état final moins l'énergie de l'état initial soit négative pour un photon émis.

règle de sélection : Restriction sur les transitions pour un mécanisme d'interaction spécifié.

splitting Zeeman : Séparation des niveaux d'énergie atomiques sous l'effet d'un champ magnétique.

A semiconductor’s conductivity depends on available states and carriers, not merely on the number of electrons in the material.

Prerequisites: 25, 45, 46.

• Use band and carrier descriptions
• Apply radioactive decay and binding-energy ideas
• Check conservation laws in particle reactions

Filled bands cannot carry ordinary current without accessible nearby states. Metals have partially filled or overlapping bands; semiconductors have a small band gap 带隙. Donor and acceptor doping change carrier populations.

Fermi–Dirac occupancy is 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. At zero temperature it becomes a step at the Fermi energy; thermal broadening does not make every state half occupied.

Radioactive populations obey N=N0e^(−λt), activity λN and half-life 半衰期 ln2/λ. Binding energy 结合能 comes from a mass deficit multiplied by c²; compare binding energy per nucleon when discussing stability.

Nuclear and particle processes must conserve charge, energy, momentum and the applicable quantum numbers. Beta decay includes a neutrino or antineutrino; a two-body electron-only story cannot explain its continuous energy spectrum.

Binding energy is the positive energy required to separate a nucleus into free nucleons. For a reaction use total initial and final rest masses, with a consistent mass convention.

A mass decrease of 0.0040 atomic mass units gives Positive Q means energy release. Charge, nucleon number, energy and momentum must still balance; Q alone does not establish a reaction rate.

Activity and surviving population both decay, but their units differ: activity is transitions per second.

band gap: An energy interval with no allowed bulk electronic states in the band model.

half-life: Time for a radioactive population to halve.

Les méthodes énergétiques relient un oscillateur à ressort et une orbite, mais leurs coordonnées et hypothèses physiques diffèrent.

Prérequis : 26, 41.

• Construire un hamiltonien simple
• Utiliser les équations canoniques
• Appliquer les mises à l'échelle gravitationnelles et radiatives

La quantité de mouvement canonique est p=∂L/∂qdot. La transformée de Legendre H=p qdot−L donne un hamiltonien lorsque les vitesses peuvent s'exprimer en fonction des coordonnées et des quantités de mouvement.

Les équations de Hamilton sont qdot=∂H/∂p et pdot=−∂H/∂q. Pour un oscillateur ordinaire H=p²/(2m)+kq²/2, celles-ci reproduisent l'équation de Newton.

Pour une orbite gravitationnelle circulaire v²=GM/r et période²=4π²r³/(GM). Les hypothèses incluent une masse centrale dominante et une approximation circulaire ; les orbites elliptiques utilisent le demi-grand axe dans la loi de Kepler. Pour un satellite circulaire de masse m, le module du moment cinétique est mrv=m sqrt(GMr), donc des satellites identiques ont L proportionnel à sqrt(r). Un rapport de rayons 9 donne donc un rapport de moment cinétique 3, tandis que le rapport de périodes est 27. Cette distinction découle de la même relation de force centripète ; ne pas utiliser l'échelle de période pour le moment cinétique.

La luminosité et le flux reçu obéissent à F=L/(4πd²) pour un rayonnement isotrope. Un corps noir a L=4πR²σT⁴ ; son pic spectral se décale inversement avec la température. Distinguer la luminosité intrinsèque de la luminosité observée.

Pour un lagrangien régulier $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, la quantité de mouvement canonique est

Substituer la vitesse dans la transformée de Legendre : La combinaison de ces éléments donne $\ddot q=-(k/m)q$. L'inversion du moment linéaire en vitesse est requise ; elle ne peut être supposée pour tout lagrangien contraint ou singulier.

Un hamiltonien équivaut à l'énergie mécanique totale seulement sous les hypothèses pertinentes du système ; ne pas déduire cela universellement uniquement de son nom.

moment canonique : Dérivée du lagrangien par rapport à une vitesse généralisée.

luminosité : Puissance totale émise, distincte du flux observé.

Deux chariots approchent de directions différentes. Après s'être collés, leur moment linéaire peut être conservé alors que leur énergie cinétique diminue.

Prérequis : 1.

• Calculer le moment vectoriel et la perte d'énergie lors des collisions inélastiques complètes
• Comparer les ressorts à force constante et appliquer les conditions travail-énergie
• Déduire les périodes des petites oscillations et les énergies oscillatoires

Choisir un système isolé durant la courte collision. Avec une impulsion externe négligeable, conserver le moment linéaire total séparément selon chaque direction cartésienne. Si les masses m1 et m2 se collent, leur vitesse commune est (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Trouver la grandeur uniquement après avoir additionné les vecteurs. L'énergie cinétique initiale est la somme de chaque ½m|v|² ; l'énergie cinétique finale utilise la masse totale et la vitesse commune. Leur différence devient énergie interne ou déformation, et non perte de moment. Une collision parfaitement inélastique signifie qu'ils se collent, pas nécessairement qu'ils s'arrêtent.

Le théorème du travail-énergie ΔK=∫F·dr utilise la force nette le long du déplacement. Pour une force constante parallèle sur une distance s, ΔK=Fs. Le doublement de la vitesse quadruple l'énergie cinétique. La conservation de l'énergie mécanique est une affirmation distincte exigeant l'absence de travail non conservatif non comptabilisé. À un allongement x d'un ressort, U=½kx². Sous la même force appliquée F, l'allongement à l'équilibre est F/k et l'énergie emmagasinée est F²/(2k) : un ressort plus rigide s'étire moins et stocke moins d'énergie. Sous le même allongement, il stocke davantage. Identifier quelle condition est maintenue fixe.

Près d'une position d'équilibre stable x0, développer U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)² ; la rigidité effective est positive U″(x0). Le mouvement obéit à m xddot=−k_eff(x−x0), avec ω=sqrt(k_eff/m) et période 2π/ω. Un pendule simple suit θddot+(g/L)sinθ=0. Pour de petits angles sinθ≈θ, donc T=2πsqrt(L/g). Cette approximation explique la mise à l'échelle période-longueur ; une grande amplitude nécessite une correction, et la masse s'annule pour un pendule idéal.

Pour un oscillateur harmonique amorti librement, l'énergie totale est ½m v²+½kx²=½kA². À l'équilibre, toute son énergie est cinétique ; à un point de retournement, sa vitesse est nulle et toute son énergie est potentielle. La pulsation n'est pas la fréquence ordinaire : ω=2πf. Si le même oscillateur a une vitesse maximale vmax, alors A=vmax/ω. Distinguer l'instant où la vitesse est mesurée de celui du relâchement, et conserver les unités SI lorsqu'une réponse en millijoules est demandée.

Deux chariots se collent avec une impulsion externe négligeable. Additionner les vecteurs de moment, puis diviser par la masse totale. Données : m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s ; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

La différence de 6 J devient énergie interne. L'énergie cinétique n'est pas conservée lors de la collision.

Ne pas additionner les magnitudes des vitesses entrantes comme des impulsions, ni conserver l'énergie cinétique dans une collision où les objets restent collés. Les comparaisons entre ressorts à force fixe et à allongement fixe ont des réponses opposées.

impulsion externe : Intégrale temporelle de la force nette provenant de l'extérieur du système choisi.

point de retournement : Position extrême de l'oscillateur où sa vitesse instantanée est nulle.

Turning a floating block upside down can change how much wood is submerged even though the total weight stays the same.

Prerequisites: 10.

• Use pivot torque and rotational inertia consistently
• Partition rolling kinetic energy with the no-slip constraint 无滑动约束
• Balance buoyancy and drag for composite bodies

Torque about a fixed pivot is r×F; its magnitude uses the perpendicular lever arm. For a uniform rod of length L pivoted at one end, gravity acts at its centre L/2 and the moment of inertia 转动惯量 is ML²/3. If its angle θ is measured from vertical, gravitational torque magnitude is Mg(L/2)sinθ, so angular-acceleration magnitude is 3g sinθ/(2L). Define the positive rotation direction before assigning a sign. Using the centre-of-mass inertia ML²/12 without the parallel-axis correction gives a wrong acceleration.

An object rolling without slipping satisfies v=Rω. Write total kinetic energy as ½Mv²+½Iω². With I=βMR², the rotational fraction is β/(1+β); for a solid disk β=1/2 and the fraction is 1/3. A hoop has β=1 and fraction 1/2. Static friction can supply the torque required for rolling without dissipating energy at an instantaneously stationary contact on a fixed surface. A sliding object does not satisfy the no-slip relation automatically.

For a floating composite, buoyancy equals the weight of displaced fluid, summed over every submerged part. Let a wood block have volume V and a dense stone volume Vs. If the stone is above the water, only submerged wood contributes: ρwater g fV equals total weight. If the stone is attached below and fully submerged, its displaced volume reduces the wood’s required submerged fraction to f−Vs/V. The stone does not cease to weigh anything; the water now supplies some of its support. Check whether the assumed orientation and flotation are physically possible.

Terminal speed 终端速度 means zero acceleration, not zero speed or zero force. With quadratic drag C v² and a downward weight Mg, neglecting buoyancy gives vt=sqrt(Mg/C). Two otherwise identical balls share the drag coefficient C; doubling mass then multiplies terminal speed by sqrt(2). If buoyancy matters, replace Mg by (M−ρfluid V)g. A linear-drag model instead gives a different mass scaling. State the specified drag law and compare force balances, rather than transferring a formula between models.

A body rolls without slipping on a fixed surface. The no-slip constraint is v = R omega.

For a solid disk, beta = 1/2, so the rotational share is For a uniform rod pivoted at one end, use $I=ML^2/3$, not its centre-of-mass inertia. About this pivot $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, for theta measured from downward vertical.

Use the inertia about the chosen pivot. In flotation, include the stone’s displaced volume as well as its weight. Terminal speed requires a specified drag law.

moment of inertia: Mass-weighted squared perpendicular distance from a specified rotation axis.

terminal speed: Steady speed at which opposing forces balance.

A load released from an aircraft keeps the aircraft’s horizontal velocity. Relative to the aircraft, its initial motion can therefore be purely downward.

Prerequisites: 1, 11.

• Solve coupled-body equations using one acceleration constraint 约束
• Transform velocities between inertial frames
• Check force and energy limits for constrained motion

For a mass m1 on a frictionless horizontal table connected over an ideal massless pulley to a hanging mass m2, choose table motion and downward hanging motion as positive. A taut inextensible string gives one acceleration magnitude. Write T=m1a and m2g−T=m2a. Adding eliminates the internal tension, so a=m2g/(m1+m2) and T=m1m2g/(m1+m2). Thus T<m2g when both masses are positive. Setting tension equal to hanging weight silently assumes zero acceleration.

The common tension assumption requires an ideal massless string and pulley with negligible friction and inertia. A pulley with rotational inertia can have different tensions, with (T2−T1)R=Iα and a=Rα if the string does not slip. Draw each body separately: a force internal to the combined system remains an external force on one chosen body. Constraint forces can cancel from a system equation while still being needed for individual motion.

For two inertial frames with constant relative velocity 相对速度 V, Galilean velocity transformation is v_relative=v_ground−V. A payload released by a level aircraft initially has the aircraft’s horizontal speed. With negligible air resistance, horizontal ground velocity remains constant and vertical velocity becomes −gt if upward is positive. Relative to that aircraft, horizontal velocity is zero and downward speed is gt. Position is a different question: vertical displacement is −½gt². Do not confuse ground speed with relative speed.

Check limiting cases after solving. As m1 approaches zero, the ideal coupled acceleration approaches g and tension approaches zero; as m1 grows very large, acceleration approaches zero and tension approaches m2g from below. An energy derivation gives m2g s=½(m1+m2)v² for release from rest and an ideal pulley, agreeing with v²=2as. This agreement checks the equations; it does not permit energy conservation if friction or other unaccounted work is present.

A table mass m1 and hanging mass m2 share an acceleration through a taut ideal string. Choose rightward table motion and downward hanging motion positive.

T is less than the hanging weight 20 N. A nonzero net downward force is needed for acceleration.

A massless ideal pulley equates tension, not tension and weight. Subtract frame velocities component by component before taking a speed magnitude.

constraint: A condition linking allowed positions or motions of connected bodies.

relative velocity: Velocity of one object measured in another moving frame.

Un conducteur chargé peut avoir un champ nul à l'intérieur de son matériau tout en conservant un potentiel non nul.

Prérequis : 2, 47.

• Additionner les forces de Coulomb comme des vecteurs en utilisant la géométrie réelle
• Calculer le flux par symétrie ou angle solide avec une orientation spécifiée
• Trouver les champs et potentiels conducteurs via les charges induites de surface

Pour une charge ponctuelle Q à la position r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). Superposer les vecteurs, pas les amplitudes du champ. Pour deux charges positives attirant un électron, les forces dans la même direction s'additionnent ; dans des directions opposées, elles se soustraient ; les composantes perpendiculaires se combinent par Pythagore. Définir d'abord le point d'observation et la direction de chaque force. Le potentiel est la somme scalaire V=ΣQ/(4πε0r) avec zéro à l'infini. Un potentiel nul ne signifie généralement pas un champ nul, car E=−∇V.

La loi de Gauss est l'intégrale de surface fermée ∮E·dA=Q_encl/encl/ε0. Elle détermine simplement un champ local uniquement lorsque la symétrie rend le champ normal uniforme ou annule les autres contributions de flux. Une charge près d'un plan infini envoie la moitié de son flux total à travers ce plan en valeur absolue : le plan sous-tend un angle solide 2π sur 4π. Le résultat est indépendant de la distance et de la position latérale, mais son signe dépend de la normale du plan choisi et du signe de la charge. Un plan ouvert n'enclot pas une charge ; utiliser une formulation de surface fermée pour lui est incorrect.

En électrostatique, le champ électrique à l'intérieur du matériau conducteur est nul et le conducteur a un potentiel constant. Placer une charge Q au centre d'une coque sphérique conductrice de rayon intérieur a, de rayon extérieur b et de charge nette q. Une surface gaussienne à l'intérieur du matériau exige une charge intérieure −Q, donc la surface extérieure porte q+Q. La symétrie sphérique rend le champ externe celui d'une charge totale Q+q au centre. Le potentiel du matériau, nul à l'infini, est (Q+q)/(4πε0b), indépendant du rayon d'observation matériel.

Dans la cavité de cette coque à charge centrée, le champ est Q/(4πε0r²) radial pour 0<r<a. Le potentiel inclut à la fois la contribution de la charge ponctuelle et les contributions constantes de la coque ; la continuité est respectée à travers chaque surface bien que le champ normal saute à une charge de surface. Garder séparés la cavité, le matériau conducteur et l'extérieur. Une charge hors centre induit toujours une charge intérieure totale −Q, mais son champ de cavité n'est plus le champ radial simple centré. Le champ nul intérieur du conducteur découle de l'équilibre, pas d'une hypothèse selon laquelle chaque distribution de charge de surface est uniforme.

Une charge ponctuelle centrée Q est placée dans une coque sphérique conductrice de charge nette q. L'équilibre électrostatique rend le champ nul à l'intérieur du métal. Une surface gaussienne dans le métal enclot une charge nette nulle, donc $Q_{inner}=-Q$. La conservation de la charge donne $Q_{outer}=q+Q$. Avec un rayon extérieur b et un potentiel nul à l'infini,

Ici Q = +2 nC et q = -1 nC. La cavité n'est pas un matériau conducteur ; son champ ne doit pas nécessairement s'annuler.

Ne pas confondre le résultat de demi-flux plan ouvert avec la charge enfermée. Un champ nul dans un conducteur fixe un potentiel constant, et non nécessairement un potentiel nul.

angle solide : Angle spatial sous-tendu par une surface, mesuré en stéradians.

charge induite de surface : Charge réarrangée sur un conducteur pour satisfaire l'équilibre électrostatique.

Une résistance dans une branche parallèle voit la tension de cette branche, qui peut différer de la tension de la batterie car une autre résistance est en série.

Prérequis : 2, 30.

• Résoudre des réseaux de résistances et distinguer les grandeurs CA efficaces (rms) des valeurs crêtes
• Appliquer l'enchaînement de flux, la direction de Lenz et le champ d'une boucle de courant
• Utiliser les rapports charge sur masse et équilibrer les forces dans un champ croisé

Pour les circuits à résistance idéale en régime permanent, les résistances en série s'additionnent et les conductances en parallèle s'additionnent. Réduire un réseau tout en conservant les nœuds partageant le même potentiel. Avec une source de 24 V, une résistance en série de 2 Ω et des branches en parallèle de 3 Ω et 6 Ω, la résistance équivalente en parallèle est 2 Ω. Le courant total est 6 A, la tension aux bornes du branchement est 12 V et les courants dans chaque branche sont 4 A et 2 A. Le courant traversant chaque composant n'est pas nécessairement égal au courant total ; vérifier les sommes des courants et des tensions de Kirchhoff après réduction.

Pour un courant sinusoïdal I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2). Un circuit RLC en série a une impédance de module sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) et une puissance dissipée moyenne Irms²R=Vrms Irms cosφ. Les inducteurs/capacités idéaux échangent l'énergie stockée sans dissipation moyenne nulle. Si le courant efficace est déjà donné, ne pas insérer un autre facteur 1/2. Une diode redresseuse idéale conduit dans son sens direct et bloque dans le sens inverse : une diode en série orientée correctement coupe la moitié négative de la tension aux bornes d'une résistance sinusoïdale ; elle ne constitue pas seule un redresseur double alternance.

Le flux magnétique est ∫B·dA, ou BA cosθ pour un champ uniforme où θ est mesuré par rapport à la normale à la surface. La fém de Faraday est −N dΦ/dt. Pour un champ perpendiculaire variable et une géométrie de boucle fixe, sa grandeur moyenne est NA|ΔB|/Δt. Déterminer le signe ou la direction du courant par opposition au changement de flux, et non par opposition au champ lui-même. Le champ magnétique au centre d'une boucle circulaire est μ0I/(2R), obtenu à partir de Biot–Savart : chaque élément contribue dans la même direction axiale. Une bobine compacte de N spires multiplie ce résultat par N.

Pour une charge non relativiste dont la vitesse est perpendiculaire à un champ B uniforme, la force magnétique |q|vB fournit la force centripète mv²/r. Ainsi r=mv/(|q|B) et la fréquence angulaire cyclotronique est |q|B/m, indépendante de la vitesse dans cette approximation. Le signe de la charge détermine le sens de rotation. Un deuton a environ deux fois la masse du proton et la même charge, tandis qu'une particule alpha a quatre fois sa masse et deux fois sa charge ; leurs fréquences sont chacune la moitié de celle du proton. Dans des champs E et B croisés, un mouvement non dévié nécessite que les forces électriques et magnétiques soient opposées et v=E/B. Vérifier les directions vectorielles avant d'utiliser cette grandeur.

Une source idéale de 24 V alimente 2 ohms en série avec des branches en parallèle de 3 et 6 ohms. Identifier les nœuds avant de réduire le réseau.

L'autre branche transporte 4 A ; les courants de branche s'additionnent au courant de la source.

Ne pas appliquer la tension de la batterie à chaque branche ni diviser encore une fois la puissance d'un courant efficace par deux. L'angle de flux utilise la normale à la surface ; un sélecteur nécessite également des directions de force opposées.

valeur efficace : Racine carrée de la valeur moyenne du carré, utilisée pour le courant ou la tension CA effective.

enchaînement de flux : Somme du flux magnétique à travers les spires d'une bobine.

Un condensateur chargé peut modifier son champ électrique à travers un espace même si aucun courant de conduction ne traverse cet espace.

Prérequis : 13, 29, 47.

• Utiliser le courant de déplacement et les relations de vitesse d'onde dans les matériaux
• Déterminer les directions du champ-onde et le flux d'énergie rayonné
• Appliquer les conditions aux limites de Maxwell sans confondre les composantes du champ

La loi d'Ampère-Maxwell dans le vide est ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt). Le terme supplémentaire du courant de déplacement dépend du taux temporel du flux électrique à travers la surface choisie. Il garantit des résultats cohérents pour une boucle dont la surface étendue traverse soit un fil de condensateur, soit passe entre les plaques. Le courant de déplacement n'est ni un flux magnétique ni une intégrale sur un flux électrique antérieur. Pour un champ uniforme entre les plaques, la contribution de l'espace est ε0A dE/dt ; les signes suivent l'orientation de la surface.

Dans un diélectrique homogène, linéaire et sans pertes de perméabilité μ et de permittivité ε, les équations de Maxwell donnent la vitesse d'onde v=1/sqrt(με) et l'indice de réfraction n=c/v=sqrt(μrεr). Pour un matériau non magnétique μr≈1, donc v=c/sqrt(εr). Utiliser les constantes matérielles dépendantes de la fréquence spécifiées lorsque la dispersion est pertinente ; une constante diélectrique statique ne décrit pas nécessairement chaque fréquence optique. Dans le vide, E/B=c ; dans ce milieu simple, la relation est E/B=v.

Pour une onde plane se propageant selon le vecteur unitaire n, B=(n×E)/v. Les deux champs sont perpendiculaires à la propagation et l'un à l'autre. La phase kz−ωt se propage vers +z, tandis que kz+ωt se propage vers −z. Si E est orienté selon x+y et la propagation vers +z, B est orienté selon −x+y, car z×x=y et z×y=−x. Le vecteur de Poynting S=E×H (E×B/μ dans ce milieu) indique la direction du transport d'énergie. Dans la zone de rayonnement d'une charge accélérée, le flux d'énergie s'éloigne de la source, pas nécessairement dans la direction instantanée du mouvement de la charge.

L'équation de divergence de Maxwell ∇·B=0 assure la continuité de la composante normale de B à travers une interface : une petite boîte en pilule ne contient aucune charge magnétique. Le saut tangentiel de H est lié au courant surfacique ; il ne doit pas nécessairement s'annuler. Sous un modèle idéal d'état Meissner supraconducteur avec un champ B nul à l'intérieur, la composante normale extérieure à la frontière doit donc être nulle, laissant tout champ B extérieur nonzero tangent à la surface. Cette conclusion est conditionnelle au modèle d'intérieur nul spécifié ; elle ne découle pas de l'hypothèse que tout champ extérieur est nul. En électrostatique, la composante normale de D peut par contre subir un saut dû à une charge libre surfacique.

Une onde plane se propage le long de l'axe z positif dans un diélectrique linéaire, sans perte et non magnétique. Avec une permittivité relative 9,

Si E pointe le long de l'axe x positif, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ pointe le long de l'axe y positif. Pour E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ pointe le long de la propagation. Vérifier que les constantes matérielles s'appliquent à la fréquence de l'onde.

Le courant de déplacement utilise le flux électrique changeant. Un B intérieur nul fixe la composante normale extérieure, et non toutes les composantes extérieures. Distinuez la propagation d'onde du mouvement des particules.

courant de déplacement : Contribution dérivée temporelle du flux électrique dans la loi d'Ampère-Maxwell.

vecteur de Poynting : Flux d'énergie électromagnétique par unité d'aire et de temps.

Un conducteur entend un écho provenant d'un mur fixe à une hauteur de ton décalée : le son sortant et le retour acquièrent chacun un facteur Doppler.

Prérequis : 3.

• Appliquer les facteurs Doppler source et observateur dans le référentiel du milieu
• Déduire les fréquences autorisées des tuyaux à partir des conditions aux limites de déplacement
• Distuer entre fréquence, longueur d'onde et changements de conditions aux limites

Pour le son dans un milieu stationnaire, séparez le mouvement de la source de celui de l'observateur. Une source s'approchant à une vitesse u_s comprime l'espace entre les fronts d'onde et produit une fréquence reçue f = c/(c−u_s) pour un observateur stationnaire. Un observateur se rapprochant d'une source stationnaire à une vitesse u_o rencontre plus de fronts d'onde par seconde et mesure f(c+u_o)/c. Les vitesses sont mesurées par rapport au milieu ; les formules Doppler acoustiques ne sont pas symétriques sous échange des rôles. Le mouvement en recul inverse le signe approprié. Ces expressions supposent un mouvement subsonique le long de la ligne de propagation.

Pour une sirène se déplaçant vers un mur réfléchissant stationnaire à une vitesse u, le mur reçoit d'abord f_wall=f c/(c−u). La réflexion sur un mur stationnaire conserve la fréquence dans le référentiel du milieu. Le conducteur mobile approche ensuite des fronts d'onde retour et reçoit f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u). Pour u/c faible, le décalage fractionnaire est approximativement 2u/c, mais l'expression exacte a un numérateur et un dénominateur différents. Une surface réfléchissante mobile nécessite sa propre étape Doppler ; ne réutilisez pas aveuglément le résultat du mur stationnaire.

À l'extrémité ouverte idéale d'un tuyau, le déplacement de l'air est un antinode et la variation de pression est un nœud. À une extrémité fermée rigide, le déplacement est un nœud et la pression est un antinode. Pour deux extrémités ouvertes, la longueur L contient n demi-longueurs d'onde, donnant f_n=nc/(2L), n=1,2,… . Pour une extrémité fermée, elle contient un nombre impair de quarts de longueur d'onde, donnant f_n=(2n−1)c/(4L). Les tuyaux réels peuvent nécessiter des corrections aux extrémités ; le modèle GRE idéal utilise la longueur indiquée sans inventer d'ajustement.

Fermer une extrémité d'un tuyau auparavant ouvert divise par deux sa fondamentale et ne laisse que les multiples impairs de cette nouvelle fondamentale. Ses anciennes fréquences étaient des multiples entiers de c/(2L), qui sont des multiples pairs de c/(4L), donc aucune n'est une fréquence autorisée du nouveau spectre idéal à une extrémité fermée. Cela diffère de simplement supprimer les harmoniques pairs tout en conservant la fondamentale ancienne. Lorsque le milieu reste inchangé, la vitesse de propagation reste inchangée ; la fréquence et la longueur d'onde changent ensemble pour satisfaire la nouvelle géométrie des conditions aux limites.

Une sirène s'approche d'un mur stationnaire dans un air calme. Traitez séparément les trajets aller et retour. Le mur reçoit d'abord $f_w=fc/(c-u)$ ; la réflexion conserve cette fréquence dans le référentiel du milieu. L'auditeur mobile reçoit ensuite $f_e=f_w(c+u)/c$.

Cet effet Doppler utilise des vitesses relatives au milieu. Ce n'est pas la formule d'onde lumineuse.

Un écho nécessite les deux facteurs Doppler. Fermer un tuyau modifie la fondamentale ; les harmoniques impairs sont comptés à partir de la nouvelle fondamentale, et non de l'ancienne.

Antinode de déplacement : Position d'une onde stationnaire où l'amplitude du déplacement de l'air est maximale.

Facteur Doppler : Facteur multiplicateur de fréquence produit par un mouvement spécifique de la source ou de l'observateur.

A gas cell in one arm of a Michelson interferometer 干涉仪 is crossed twice. Counting only one passage halves the inferred refractive-index change.

Prerequisites: 3, 33.

• Calculate telescope magnification and grating resolving power 分辨本领
• Relate Michelson fringe counts to double-pass optical path changes
• Trace surface normals before applying Snell and reflection laws

For an ideal astronomical telescope adjusted for relaxed viewing at infinity, the objective forms its focal-plane image and the eyepiece collimates the emerging light. Lens separation is f_objective+f_eyepiece; angular magnification magnitude is f_objective/f_eyepiece. The usual two-converging-lens telescope produces an inverted image, represented by a negative signed angular magnification under a consistent convention. A finite final-image distance changes lens separation; do not use the infinity adjustment without checking the condition.

Resolving power R=λ/Δλ describes the smallest distinguishable wavelength separation near λ. For an ideal diffraction grating in order m with N illuminated slits, R=mN. This is a resolution criterion, not simply the angular position formula d sinθ=mλ. Increasing illuminated slit count sharpens the principal peaks; increasing slit spacing mainly changes their angular locations. A measured λ=600 nm and Δλ=3 nm gives R=200, independent of converting both lengths to metres because their ratio uses matching units.

Michelson interference depends on the optical path difference between the arms. If one arm contains a gas cell of geometric length L and index changes from n to 1 upon evacuation, a double passage changes path by 2L(n−1). If N fringes pass, the magnitude of this change is Nλ, so n−1=Nλ/(2L). For a moving mirror instead, displacement Δx gives path change 2Δx. Fringes count phase cycles; one fringe is one wavelength of optical path, not one wavelength of mirror motion.

Snell’s law n1 sinθ1=n2 sinθ2 uses angles from the local surface normal. Reflection has equal incoming and outgoing angles from that same normal. In a rectangular block, normals of neighbouring faces are perpendicular: an incidence angle measured from one normal is complementary to the angle of that same ray from the other. Draw the ray and normals before substitution. For incidence from index n into air, total internal reflection occurs only when sinθ>1/n; equality is the critical grazing case. A stated partly refracted ray must satisfy the transmission condition.

A Michelson interferometer sends light twice through a gas cell of length L. Evacuation changes path by $2L(n-1)$. N fringes correspond to path change $N\lambda$.

Thus n = 1.00030. Moving a mirror is also double-pass; a fringe is not one wavelength of mirror motion.

Use optical path, not just geometric distance. Refraction angles are measured from the normal of the actual surface, and telescope focal-length addition assumes a final image at infinity.

resolving power: Wavelength divided by the smallest resolvable wavelength separation.

optical path length 光程: Geometric path weighted by refractive index along the ray.

Une forme d'onde peut contenir de nombreux harmoniques sans aucun terme sinusoidal. La symétrie de réflexion indique quels coefficients s'annulent avant l'intégration.

Prérequis : 3, 47.

• Utiliser l'orthogonalité pour identifier les coefficients de Fourier
• Exploiter la parité paire et impaire sans exclure le terme constant
• Relier les amplitudes des composantes aux interférences et aux formes d'onde physiques

Pour une fonction réelle 2π-périodique suffisamment régulière, écrivez f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. Les coefficients sont a_n=(1/π)∫de−πàπ f(x)cos(nx)dx et b_n=(1/π)∫de−πàπ f(x)sin(nx)dx, avec a0 utilisant n=0. Les cosinus et sinus sont orthogonaux sur une période complète. La moyenne vaut a0/2, et non a0 ; conservez le terme constant même lorsque tous les coefficients de fréquence non nulle d'une famille s'annulent.

Si f est paire par rapport à l'origine choisie, f(x)sin(nx) est impaire et son intégrale symétrique est nulle, donc tous les b_n s'annulent. Si f est impaire, sa moyenne et tous les a_n s'annulent. La symétrie dépend de l'origine : déplacer le même signal physique peut mélanger les coefficients sinus et cosinus tout en laissant ses fréquences harmoniques inchangées. Une forme d'onde triangulaire non négative symétrique autour de x=0 peut donc avoir des harmoniques cosinus et une moyenne non nulle sans aucun harmonique sinus.

Pour la prolongation 2π-périodique de f(x)=|x| sur [−π,π], la moyenne est π/2. En intégrant x cos(nx) par parties sur [0,π], on obtient a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), donc les coefficients cosinus d'ordre pair sont nuls et ceux d'ordre impair valent −4/(πn²). Tous les coefficients sinus sont nuls. La décroissance 1/n² reflète une fonction continue présentant une discontinuité de pente. Une discontinuité de saut entraîne souvent une décroissance plus lente des coefficients et un dépassement de somme partielle ; ne tirez pas de conclusion identique sur le comportement de convergence pour chaque forme d'onde.

Une somme de Fourier additionne les amplitudes avec leurs phases. Pour des amplitudes monochromatiques cohérentes égales A se rencontrant avec une différence de phase φ, l'amplitude résultante au carré est 2A²(1+cosφ), donc l'intensité est 2I0(1+cosφ). Elle atteint 4I0 en phase et zéro à φ=π. La moyenne incohérente élimine le terme croisé, donnant 2I0. Des harmoniques à différentes fréquences peuvent composer une forme dans le temps ; leur somme instantanée n'est pas la somme de leurs intensités individuelles. Identifiez si la question porte sur une forme d'onde, une puissance moyenne temporelle ou une interférence cohérente.

Pour une fonction périodique réelle, utilisez $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. La symétrie paire annule tous les coefficients de sinus car l'intégrande est impair. Pour $f(x)=|x|$ sur $[-\pi,\pi]$,

L'intégration par parties fournit la seconde expression. La moyenne est $a_0/2=\pi/2$; seuls les harmoniques cosinus impairs subsistent. Un cuspid ne justifie pas l'omission du terme constant.

La symétrie paire supprime les coefficients sinus, pas le terme constant ni tous les harmoniques cosinus. Vérifier l'origine de la symétrie et si les champs sont cohérents avant d'additionner les intensités.

orthogonalité : Une intégrale nulle du produit de deux fonctions de base distinctes sur l'intervalle spécifié.

coefficient de Fourier : Poids d'un composant de base sinus, cosinus ou constant dans un développement périodique.

Un réfrigérateur peut transférer plus de chaleur que le travail fourni. Ce rapport est un coefficient de performance, non un rendement qui doit être inférieur à un.

Prérequis : 4.

• Appliquer les signes du travail et de la chaleur de la première loi aux transformations gazeuses
• Comparer les bilans d'entropie réversibles et les aires de cycle P–V
• Distinguer le rendement moteur du coefficient de performance réfrigérant

Utiliser ΔU=Q−W, où Q est la chaleur entrant dans le système et W le travail effectué par celui-ci. Le travail quasi-statique de frontière est ∫P dV, positif lors d'une expansion. Pour une quantité fixe de gaz parfait, l'énergie interne dépend uniquement de la température. À volume constant W=0, donc ΔU=Q ; pour une transformation isotherme de gaz parfait, ΔU=0, donc Q=W. Adiabatique signifie Q=0, pas température constante. Sur un cycle, l'état revient au point de départ et ΔU=0, donc la chaleur nette égale le travail net bien que les transferts individuels diffèrent.

Pour une expansion isotherme réversible de gaz parfait, PV est constant. Avec des capacités calorifiques constantes, une trajectoire adiabatique réversible obéit à PV^γ=constante, avec γ=Cp/Cv>1 ; passant par le même état initial, sa pression chute plus vite lorsque le volume augmente. Une trajectoire isobare est horizontale sur un diagramme P–V. Un cycle fermé horaire a une valeur positive de ∮P dV ; inverser le sens change le signe. Pour une boucle rectangulaire, la grandeur est ΔPΔV, et pour une boucle triangulaire, c'est la moitié de l'aire du rectangle enveloppant correspondant. Utiliser Pa et m³ pour les joules, pas une valeur de litre non convertie.

Pour un transfert de chaleur réversible, dS=δQ_rev/T ; l'entropie est une fonction d'état tandis que la chaleur dépend du chemin. Un processus réversible système+environnement a une variation totale d'entropie nulle, mais l'entropie seule du système peut augmenter ou diminuer. Les processus irréversibles spontanés produisent une augmentation totale d'entropie non négative. Une expansion isotherme réversible augmente l'entropie du gaz de nR ln(V2/V1) ; le réservoir perd exactement cette quantité. La réversibilité ne nécessite ni température constante du système, ni travail nul, ni variation d'énergie interne nulle.

Un moteur réversible entre TH et TC a un rendement W/QH=1−TC/TH. Un réfrigérateur réversible a plutôt COP=QC/W=TC/(TH−TC), et une pompe à chaleur a QH/W=TH/(TH−TC). Utiliser les températures absolues en kelvin. Sur un diagramme T–S réversible, la grandeur de chaleur le long d'une isotherme est T fois la variation d'entropie ; l'aire du rectangle de Carnot est la grandeur du travail. La réfrigération déplace la chaleur du froid vers le chaud en consommant du travail, inversant ainsi le cycle moteur. Le COP peut dépasser un sans violer la conservation, car la chaleur déplacée n'est pas fournie uniquement par le travail.

Un réfrigérateur réversible transfère une entropie Delta S de Tc à Th.

Un COP supérieur à un est possible car la chaleur est déplacée, et non entièrement produite à partir du travail.

Une production totale d'entropie nulle ne signifie pas une variation nulle d'entropie du système. Un réfrigérateur utilise TC/(TH−TC), et non la formule d'efficacité d'un moteur.

production d'entropie : Entropie totale non négative générée par l'irréversibilité.

coefficient de performance : Chaleur utile transférée divisée par le travail fourni pour un réfrigérateur ou une pompe à chaleur.

Un gaz peut avoir une vitesse moyenne nulle alors que ses particules ont une vitesse moyenne substantielle. Les directions opposées s'annulent dans la moyenne vectorielle ; la vitesse ne possède pas de signe.

Prérequis : 4, 35.

• Normaliser les densités continues de vitesse et interpréter leurs unités
• Distinguer les moyennes vectorielles, les moyennes de vitesse et les vitesses les plus probables
• Utiliser les poids de Boltzmann avec dégénérescence et une fonction de partition

Pour une densité de probabilité de vitesse continue f(v), f(v)dv approxime la probabilité dans un intervalle étroit et ∫de0à∞ f(v)dv=1. La densité a des unités inverse-vitesse et n'est pas elle-même une probabilité. Si P(v)dv compte les particules dans cet intervalle, son aire est le nombre total de particules N et f=P/N. Un trapèze croissant sur une largeur v0, restant plat sur une largeur 2v0, puis décroissant sur une largeur v0 a une aire de 3av0 pour une hauteur a. Normaliser par l'aire avant de calculer une moyenne ou d'interpréter une hauteur tracée.

Dans un gaz isotrope en équilibre sans écoulement global, chaque distribution de composante de vitesse est symétrique, donc ⟨v_vector⟩=0. La vitesse v=|v_vector| est non négative et a une moyenne positive. Pour un gaz idéal classique, la densité de Maxwell est proportionnelle à v²exp[−mv²/(2kBT)]. Son mode est sqrt(2kBT/m), sa moyenne est sqrt(8kBT/(πm)) et sa vitesse quadratique moyenne est sqrt(3kBT/m). Ce sont trois quantités différentes. Le facteur v² rend la densité de vitesse nulle en v=0, bien que la densité du vecteur vitesse soit maximale au vecteur nul.

Pour une distribution continue, la probabilité d'une vitesse exacte spécifiée est nulle ; les probabilités non nulles se réfèrent aux intervalles. Cette affirmation n'implique pas qu'il n'y ait pas de particules avec des vitesses arbitrairement faibles, ni qu'un détecteur à résolution finie ne puisse pas enregistrer un bin zéro. La température change l'échelle de la distribution de Maxwell : les vitesses caractéristiques sont proportionnelles à sqrt(T/m). Doubler la température ne double pas la vitesse, et les particules plus lourdes sont en moyenne plus lentes à même température.

Dans un ensemble canonique à la température T, un état d'énergie E_i a un poids exp(−E_i/(kBT)). Diviser par la fonction de partition Z=Σexp(−E_i/(kBT)) pour obtenir les probabilités. Si un niveau d'énergie a une dégénérescence g_i, sa probabilité de niveau est g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Une énergie égale par état n'implique pas une probabilité égale par niveau lorsque les dégénérescences diffèrent. Pour un niveau fondamental de dégénérescence 1 et un niveau excité de dégénérescence 2 à Δ=kBT ln2, le poids total excité est 2e^(−ln2)=1 : les deux niveaux ont chacun une probabilité de 1/2. Les hypothèses classiques de Maxwell–Boltzmann diffèrent des occupations quantiques de Bose–Einstein et Fermi–Dirac.

Un ensemble canonique a une dégénérescence fondamentale 1 et une dégénérescence excitée g à un écart Delta.

Avec g = 4 et $\Delta=k_BT\ln2$, Ceci est la probabilité pour le niveau excité entier. Chacun de ses quatre états a une probabilité de 1/6.

Une hauteur de densité n'est pas une probabilité. Vitesse moyenne, vitesse moyenne (scalaire) et mode diffèrent ; inclure la dégénérescence avant de normaliser les probabilités de niveau.

densité de probabilité : Probabilité par unité d'une variable continue, dont l'intégrale donne la probabilité d'intervalle.

fonction de partition : Somme des poids statistiques servant à normaliser les probabilités d'un état d'équilibre.

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

Prerequisites: 47.

• Use binomial and Poisson count means and fluctuations
• Propagate small uncertainties with stated correlation assumptions
• Solve dimensional exponent constraints and check a model’s units

For N independent incident particles each detected with probability p, count X is binomial: mean Np and variance Np(1−p). The standard deviation is sqrt[Np(1−p)], not the variance itself. With large N and small p, a Poisson approximation 泊松近似 has mean λ=Np and variance λ, so deviation sqrt(λ). For N=200 and p=0.05, the exact mean is 10 and deviation sqrt(9.5)≈3.08, while Poisson gives sqrt(10)≈3.16. Neither model promises a fixed count. Correlated detections or dead time can invalidate independence.

For a smooth measured function y(x1,…), linearise changes using its partial derivatives. Independent small standard uncertainties combine in quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Correlated inputs require covariance cross terms. For y=x^a, fractional standard uncertainty 标准不确定度 is approximately |a|σ_x/|x|. Thus kinetic energy K=½mv² with negligible mass uncertainty has fractional uncertainty twice that of speed. With independent mass uncertainty, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². These approximations need small errors and a suitable local linear model.

Random scatter measures precision; a common calibration bias affects accuracy and does not disappear by averaging repeats. For independent repeated readings, the standard uncertainty of the mean falls as 1/sqrt(n), but shared systematic error does not. The uncertainty of a physical spread and uncertainty of its estimated mean are different quantities. State whether a quoted percentage is a standard uncertainty, confidence interval or worst-case bound. Summing absolute contributions is a conservative bound, not the independent-standard-error quadrature rule.

Dimensional analysis equates powers of mass, length and time, rather than numerical sizes. For a Planck-length form G^a $\hbar$^b c^d, dimensions are [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T and [c]=L/T. Requiring length gives −a+b=0, 3a+2b+d=1 and −2a−b−d=0. Hence a=b=1/2 and d=−3/2, so length is sqrt(G$\hbar$/c³). Dimensional analysis cannot determine an arbitrary dimensionless coefficient or prove that the chosen constants are physically sufficient. Reject a formula with wrong units before inserting numbers.

For independent small standard uncertainties in $K=mv^2/2$, differentiate first.

With relative uncertainties 3% in mass and 2% in speed, A worst-case bound would use a sum, not this quadrature. Correlations require covariance terms.

Do not confuse mean count with guaranteed count, variance with standard deviation, or a random standard error with a calibration bias. Dimensional consistency is necessary but not sufficient.

standard uncertainty: Uncertainty expressed as a standard deviation under a stated measurement model.

Poisson approximation: Rare independent-event count model with variance equal to its mean.

A fast unstable particle can travel farther in the laboratory than its rest-frame lifetime multiplied by its speed would suggest.

Prerequisites: 6, 42.

• Relate proper lifetime to laboratory time and distance
• Use invariant energy–momentum and relativistic kinetic energy
• Infer longitudinal recession speed from wavelength ratio

For relative speed v, define β=v/c and γ=1/sqrt(1−β²). Proper time 固有时 is measured along the particle’s worldline by a clock at rest with it. If its proper mean lifetime is τ0, its laboratory mean lifetime is γτ0 and mean travel distance is vγτ0 at constant speed. The decay is statistical: mean lifetime is not a guaranteed decay time for each particle. At β=0.8, γ=5/3. Compute spacetime events consistently in one frame; proper time and coordinate time are different quantities.

Total energy 总能量 is E=γmc², momentum p=γmv and invariant E²−p²c²=m²c⁴. When E and pc are expressed in the same energy units, find mc²=sqrt(E²−(pc)²), not E−pc. The nonnegative square root is required for positive rest mass. For E=13 GeV and pc=12 GeV, rest energy 静能 is 5 GeV and mass is 5 GeV/c². A massless particle has E=pc but need not have zero energy or momentum. These relations concern isolated-particle four-momentum, not classical mv at relativistic speed.

Work accelerating a particle from rest equals kinetic energy K=E−mc²=(γ−1)mc². At β=0.6, γ=1.25 and K=0.25mc², while the classical ½mv² gives 0.18mc². Classical kinetic energy is the low-speed expansion and becomes inaccurate near c. Finite acceleration work increases γ rather than allowing a massive particle to reach or exceed c. Keep total energy, rest energy and kinetic energy distinct when interpreting answer units.

For purely longitudinal relative recession in special relativity, wavelength ratio r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Rearranging gives β=(r²−1)/(r²+1). A ratio r=2 gives β=3/5, not c times r−1 from a low-speed approximation. Blueshift uses r<1 and a negative recession parameter under this convention. The formula assumes the shift is entirely kinematic; cosmological expansion or gravitational redshift requires a different model. State the question’s stipulated model before interpreting a spectral ratio.

Total energy and momentum determine invariant rest energy.

For E = 17 GeV and pc = 15 GeV, Rest mass is 8 GeV/c squared. Do not subtract momentum directly from energy.

Do not use the proper lifetime as laboratory time, subtract pc from E to find rest mass, or apply the classical Doppler approximation to a large wavelength ratio.

proper time: Time recorded by a clock moving with the object along its worldline.

rest energy: Energy mc² associated with an object’s rest mass.

Repeated equally spaced current dips can represent repeated losses of the same excitation energy, rather than a sequence of different atomic levels.

Prerequisites: 7.

• Distinguish photoelectric thresholds and characteristic X rays
• Apply reduced-mass spectral scaling and many-electron spin filling
• Interpret Franck–Hertz energy spacing without inventing new levels

Photoelectric maximum kinetic energy is Kmax=hν−ϕ for photon frequency above threshold ν0=ϕ/h. A stopping-potential magnitude satisfies eVs=Kmax, so Vs is linear in ν above threshold. Increasing intensity at fixed frequency increases the available photon count and usually photocurrent, not maximum photoelectron energy. Below threshold the simple one-photon model emits no photoelectrons regardless of intensity. Work function 逸出功 is a property of the surface, not proportional to the illumination frequency.

Characteristic X rays result when an electron fills an inner-shell vacancy, emitting a photon equal to the shell energy difference. Their sharp lines depend on target atoms. Bremsstrahlung arises from deceleration of energetic electrons in nuclear electric fields and produces a continuous background, with an energy endpoint set by the incident electron energy. A continuous background and discrete lines can appear together; the existence of one does not exclude the other. These mechanisms differ from visible fluorescence, phonon scattering and particle capture.

For a hydrogen-like two-body atom, replace electron mass by reduced mass μ=m_eM/(m_e+M). In the simple Coulomb model, level energies scale as −μZ²/n², so spectral frequencies scale as μZ² and wavelengths inversely. For positronium M=m_e, μ=m_e/2 and its Rydberg constant is half the infinite-nuclear-mass value. For a heavy nucleus μ approaches m_e. In many-electron atoms, use orbital filling and Hund’s rule rather than the hydrogen model: degenerate orbitals are occupied singly with parallel spins before pairing. Carbon’s 2p² gives two unpaired electrons and total spin S=1; oxygen’s 2p⁴ has two unpaired electrons and also S=1. Filled pairs contribute zero net spin.

In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

In the one-photon photoelectric effect 光电效应, use the surface work function phi.

For photon energy 4.5 eV and phi = 2.0 eV, The stopping-potential magnitude is 2.5 V. Higher intensity at the same frequency changes the available electron rate, not this maximum energy.

Current intensity and stopping voltage answer different questions. Include reduced mass and orbital degeneracy, and use Franck–Hertz spacing rather than treating every peak as a new energy level.

work function: Minimum energy required to remove an electron from the specified surface.

reduced mass: Two-body effective mass m1m2/(m1+m2) for relative motion.

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

Prerequisites: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• Count degenerate isotropic-oscillator states
• Evaluate Pauli products and distinguish anticommutation from equality

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=$\hbar$σ_i/2, adding physical units and factors.

At a finite potential step, match wavefunction and derivative for the same particle mass.

Transmission probability 透射概率 uses current, not amplitude alone. For $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Reflection occurs even for a downward step. Its phase sign disappears when taking probability.

Transmission probability needs the wave-number current ratio. Oscillator degeneracy counts ordered mode triples. Do not reverse Pauli matrix order without changing its sign.

reflection coefficient 反射系数: Reflected probability-current fraction relative to incident current.

degeneracy: Number of independent states sharing the specified energy.

Mesurer uniquement la conductivité ne permet pas de savoir si les électrons ou les trous dominent le transport. Une mesure magnétique Hall fournit un test sensible au signe.

Prérequis : 8, 46.

• Comparer l'énergie de liaison par nucléon et l'énergie de réaction
• Distuer les leptons, mésons et baryons selon les contraintes de conservation
• Déduire le signe du porteur dominant depuis le modèle Hall à un seul porteur

L'énergie de liaison B est l'énergie nécessaire pour séparer un noyau en ses nucléons libres constitutifs, égale au déficit de masse correspondant multiplié par c². L'énergie de liaison par nucléon B/A est la comparaison pertinente entre différents nombres de masse ; un noyau plus lourd peut avoir une B totale plus grande mais une B/A plus faible. Le maximum large de B/A se situe près de la région fer/nickel. La fusion de noyaux légers et la fission de noyaux très lourds peuvent libérer de l'énergie lorsque les produits ont une liaison totale supérieure. Pour une réaction, Q=(masse au repos initiale − masse au repos finale)c² ; un Q positif signifie une énergie libérée. Toujours comparer les isotopes et produits finaux spécifiés réels, et non seulement leurs noms d'éléments.

Les leptons, comme les électrons, muons et neutrinos, ne sont pas composés de quarks constituants dans le Modèle Standard. Un muon négatif a une charge −e et un spin 1/2, comme un électron, mais possède une masse différente et appartient à une famille de saveurs différente ; il n'est pas un méson malgré son nom historique. Les hadrons contiennent des quarks : les mésons ordinaires ont un quark et un antiquark, et les baryons ordinaires ont trois quarks. Les antibaryons correspondants ont trois antiquarks. Ces modèles élémentaires de classification n'impliquent pas que chaque particule composite soit un simple baryon ou méson.

Vérifier la charge, l'énergie, la quantité de mouvement, le nombre baryonique et les nombres leptoniques pertinents dans un processus proposé. Les quarks uud d'un proton s'additionnent à +e ; les quarks udd d'un neutron s'additionnent à zéro. La désintégration bêta moins n→p+e−+antineutrino conserve la charge électrique et inclut l'antineutrino pour équilibrer le nombre leptonique et la cinématique. La masse seule d'une particule ne suffit pas à la classifier comme quark, lepton ou hadron. Les seuils de réaction peuvent nécessiter une énergie cinétique supplémentaire au-delà d'une différence de masse au repos exothermique lorsque d'autres contraintes s'appliquent.

Dans un conducteur simple à un seul porteur, la force de Lorentz magnétique transversale crée un champ électrique Hall jusqu'à ce que la force transversale sur les porteurs s'équilibre. Avec une convention tensorielle/signe spécifiée, le coefficient Hall est R_H=1/(nq) ; une charge q négative donne un coefficient négatif de type électronique, une charge q positive donne un coefficient positif de type trou. La magnitude de la résistivité seule ne révèle pas ce signe. Définir les directions du courant, du champ magnétique et de la tension de manière cohérente avant de lire la polarité brute. Les semi-conducteurs où les électrons et les trous contribuent tous deux nécessitent un modèle à deux porteurs pondéré par la mobilité ; le coefficient simple ne doit pas être égal à l'inverse de la densité totale de porteurs.

Dans un modèle d'effet Hall à un seul porteur, utilisez $R_H=1/(nq)$ avec une convention de connexion fixe. Pour les électrons, q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ par mètre cube,

Un coefficient négatif indique des porteurs de type électron sous ce modèle, et non une densité négative. La polarité brute de la tension n'a de sens qu'avec des directions de champ et de connexion déclarées.

Comparez la liaison par nucléon, et non seulement la liaison totale. Un muon est un lepton, et le signe Hall exige la convention de mesure déclarée et le modèle de porteur.

énergie de liaison par nucléon : Énergie de liaison nucléaire divisée par le nombre de nucléons.

coefficient Hall : Proportionnalité signée reliant le champ Hall transversal à la densité de courant et au champ magnétique selon une convention donnée.

A pendulum tension changes throughout a swing, but its angular equation can be derived without solving for tension.

Prerequisites: 1, 47.

• Derive Euler–Lagrange motion after imposing a holonomic constraint 完整约束
• Use a cyclic coordinate 循环坐标 to identify conserved canonical momentum
• Linearise a stable equilibrium and check the resulting frequency

A constraint removes an independent coordinate before you form the kinetic energy. For a fixed-length pendulum choose θ from the downward vertical: x=l sinθ and y=−l cosθ. Differentiating both coordinates gives v²=l²θdot², not l² sin²θ θdot². Thus T=ml²θdot²/2 and V=mgl(1−cosθ), with zero potential at the bottom. The fixed length is a holonomic constraint: it is a relation among coordinates and possibly time. A rolling velocity constraint needs its own analysis; do not automatically treat every constraint as a coordinate substitution.

For ideal constraints and the usual conservative system, the stationary-action equation is d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 with L=T−V. The variations vanish at the two time endpoints. A pendulum gives ∂L/∂θdot=ml²θdot and ∂L/∂θ=−mgl sinθ, so ml²θddot+mgl sinθ=0. The momentum derivative acts on every time-dependent factor: for a varying radius, d(mr²θdot)/dt contains 2mr rdot θdot. The variational method does not mean mechanical energy is conserved in a time-dependent system.

For planar central motion, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). The angle θ is cyclic because L has no explicit θ dependence, even though L depends on θdot. Its canonical momentum pθ=mr²θdot is constant. The radial equation is m rddot=mrθdot²−dV/dr. The first term is part of the coordinate acceleration, not a new outward real force in an inertial frame. Conservation of pθ makes angular speed increase as r decreases; constant angular speed is a different, externally driven situation.

Near a stable equilibrium q0, expand V to second order and use a constant local inertia M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Then the small-displacement frequency is sqrt(V″/M). For a pendulum sinθ≈θ in radians, so ω=sqrt(g/l); the approximation requires small amplitude. A negative V″ gives instability, not an oscillation with an imaginary measurable frequency. Check the full nonlinear equation first, then state the approximation and compare units: V″/M must have units of inverse time squared.

For a fixed pendulum length l, use theta from downward vertical: x = l sin theta, y = -l cos theta. Both Cartesian velocities give $T=ml^2\dot\theta^2/2$ and $V=mgl(1-\cos\theta)$. The Euler-Lagrange equation 欧拉—拉格朗日方程 is

Divide by $ml^2$ before linearising: The approximation uses radians. Endpoint variations vanish in the stationary-action derivation.

A cyclic coordinate is absent from L itself; its velocity need not be absent. Do not discard the time derivative of a changing r² factor.

holonomic constraint: A constraint expressible as a relation among coordinates and possibly time.

cyclic coordinate: A coordinate absent explicitly from the Lagrangian, with conserved canonical momentum under the Euler–Lagrange equation.

A person standing still on a turning platform needs a real inward force, although their platform-relative acceleration is zero.

Prerequisites: 26.

• Transform acceleration with translating and rotating frame 旋转参考系 terms
• Determine centrifugal, Coriolis and Euler directions from cross products
• Separate apparent forces from real interactions and test inertial limits

In a translating frame with origin acceleration A, Newton’s equation becomes m a′=F_real−mA. An upward-accelerating elevator therefore has N−mg=ma in the ground frame, or N−mg−ma=0 for its stationary passenger in the elevator frame. These are the same prediction. The additional term is an apparent force caused by the chosen accelerating coordinates; it is not a new contact with another body. Uniform translation with A=0 changes velocity but needs no apparent force.

For a rotating basis, differentiating a vector adds Ω×that vector. Applying this twice gives a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Here r and v′ are measured relative to the moving origin in its rotating axes; all vectors in a calculation must be expressed in the same basis at the same instant. Move the last three rotational terms to the force side to obtain Coriolis −2mΩ×v′, centrifugal −mΩ×(Ω×r), and Euler −mΩdot×r. A constant rotation removes the Euler term, not the Coriolis term.

Take Ω along +z, an anticlockwise platform viewed from above, and a particle at r along +x. Centrifugal force 离心力 is along +x with magnitude mΩ²r. If the particle moves outward with v′ along +x, then Ω×v′ is +y, so Coriolis force 科里奥利力 points −y. Reversing the relative velocity reverses Coriolis; keeping v′=0 makes it vanish. Coriolis is perpendicular to v′ and does no instantaneous work on that relative motion. Centrifugal force is outward from the rotation axis, not necessarily outward from the chosen origin in an arbitrary three-dimensional position.

A body at rest on the platform has a′=v′=0. With constant rotation and a fixed origin, its real force must be mΩ×(Ω×r), inward, cancelling the outward apparent term in the rotating equation. If rotation changes, a tangential real force must also balance the Euler term. Always check Ω→0 and A→0: ordinary inertial Newtonian motion must return. Do not mix the real inward centripetal requirement with an added outward real reaction on the same body; interaction partners belong in separate free-body diagrams.

In a rotating frame, Coriolis force uses the relative velocity.

For m = 2 kg, Omega = 2 rad/s along z, r = 1 m along x and v' = 3 m/s along x, Euler force is zero only because Omega is constant. These are coordinate terms, not extra physical contacts.

The relative velocity v′ belongs in the Coriolis term. Using the full inertial velocity counts rotation twice.

Coriolis force: The apparent rotating-frame force −2mΩ×v′ caused by relative motion.

centrifugal force: The apparent rotating-frame force −mΩ×(Ω×r), directed away from the rotation axis.

Un tuyau étroit transporte le même débit permanent qu'un tuyau large, mais son comportement de pression dépend à la fois de la vitesse et des pertes visqueuses.

Prérequis : 10, 47.

• Combiner la continuité incompressible avec la pression, la hauteur et l'énergie cinétique
• Appliquer les relations hydrostatiques et de Bernoulli uniquement sous leurs conditions spécifiées
• Utiliser la viscosité, l'échelle de Poiseuille et le nombre de Reynolds pour distinguer les régimes d'écoulement

Pour un écoulement permanent, la masse passant successivement par les sections transversales par unité de temps est égale : ρAv est constant. Un liquide incompressible a un ρ quasi constant, donc Q=Av est le débit volumique. Réduire le rayon du tuyau de moitié réduit la surface d'un facteur quatre et multiplie la vitesse moyenne par quatre pour le même Q. La pression ne détermine pas Q sans un modèle du reste du système. Dans un liquide stationnaire, dp/dz=−ρg avec z vers le haut ; par conséquent, la pression augmente de ρgh à une distance h sous une surface. Utiliser la pression absolue ou manométrique de manière cohérente des deux côtés.

Pour un écoulement stationnaire, incompressible et non visqueux le long d'une ligne de courant sans pompe ni perte dissipative, l'équation de Bernoulli donne p+ρv²/2+ρgz=constante. Ces trois termes représentent une énergie par unité de volume et s'expriment en unités de pression. À hauteur égale, une vitesse plus élevée nécessite une pression statique plus faible sous ces hypothèses. Une sortie plus haute utilise également l'énergie de pression/cinétique pour acquérir de l'énergie gravitationnelle. L'application de Bernoulli sur une seule ligne de courant n'implique pas nécessairement la même constante sur des lignes de courant différentes dans un écoulement rotatif. Un point d'arrêt a v=0 et convertit l'énergie cinétique locale en une augmentation de pression dans le modèle idéal.

La viscosité transporte la quantité de mouvement entre les couches fluides voisines. Pour un écoulement laminaire entièrement développé stationnaire d'un liquide newtonien incompressible dans un tube circulaire, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Ici Δp est la chute de pression le long du tube, η la viscosité dynamique et L la longueur du tube. Doubler le rayon à Δp, η et L fixes multiplie Q par seize. Doubler Q à géométrie fixe nécessite une chute de pression double. Cette perte de pression visqueuse ne peut pas être ajoutée à une équation de Bernoulli sans perte comme si rien ne changeait ; incluez une perte de pression/tête dissipative ou utilisez le modèle visqueux.

Le nombre de Reynolds Re=ρvD/η compare les effets d'inertie et de viscosité en utilisant la vitesse caractéristique v et la longueur D. Pour un tuyau, utilisez la vitesse moyenne et le diamètre interne, pas le rayon. Re est sans dimension : densité fois vitesse fois longueur a les mêmes unités que la viscosité dynamique. Un petit Re favorise la dominance visqueuse ; la transition vers la turbulence dépend de la géométrie et des perturbations, donc un seuil unique n'est pas une loi universelle. Le scaling de Poiseuille n'est pas sûr après avoir supposé un écoulement turbulent. Vérifiez la continuité volumétrique, le signe du changement de pression et le régime avant de sélectionner une formule.

Un écoulement horizontal idéal stationnaire et incompressible présente des sections 4 et 1 centimètres carrés. À la première section, la vitesse est 1 m/s. La continuité et Bernoulli donnent

Ces relations supposent l'absence de pompe, de pertes visqueuses ou de changement de hauteur. Un véritable tube étroit peut les violer.

La continuité maintient Q constant à travers un tuyau permanent ; Poiseuille compare Q entre différents systèmes à une chute de pression spécifiée. Indiquer ce qui est maintenu fixe avant de comparer les puissances du rayon.

débit volumique : Volume traversant une section par unité de temps, Q=Av pour une vitesse moyenne v.

viscosité dynamique : Coefficient reliant la contrainte de cisaillement au gradient de vitesse dans un fluide newtonien.

L'introduction d'un diélectrique dans un condensateur modifie le champ différemment selon que sa batterie reste connectée ou non.

Prérequis : 13, 15.

• Relier charges libres et liées à D, E et polarisation
• Comparer les changements diélectriques à charge fixée et tension fixée
• Utiliser la réponse constitutive magnétique et les conditions aux limites de courant libre

La polarisation électrique P est le moment dipolaire électrique par unité de volume, mesuré en C/m². Définir D=ε₀E+P de sorte que ∇·D=ρ_free ; la charge totale, incluant la charge liée, apparaît toujours dans ∇·E=ρ_total/ε₀. La charge volumique liée est ρ_b=−∇·P et la charge surfacique liée est σ_b=P·n, où n pointe vers l'extérieur du matériau. Une polarisation uniforme ne produit donc aucune charge liée dans le volume mais peut engendrer des charges surfaciques de signes opposés. Un diélectrique n'est pas un métal idéal : sa polarisation ne rend pas nécessairement son champ électrique interne nul.

Pour un diélectrique linéaire et isotrope, P=ε₀χ_e E et D=εE avec ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. Ces relations scalaires simples supposent une réponse linéaire et ignorent l'anisotropie, la dispersion forte et les effets non linéaires. Dans un condensateur à plaques parallèles entièrement rempli et de grande taille, dont les effets de bord sont négligeables, D normal aux plaques égale la densité surfacique de charge libre. Si σ_free reste constant, augmenter ε réduit E=σ_free/ε. Les charges liées s'opposent au champ appliqué ; leur magnitude n'est pas automatiquement égale à la charge libre des plaques.

Pour une aire de plaque A et un espacement d, C=εA/d. Débrancher la batterie fixe la charge libre Q : V=Q/C diminue et l'énergie emmagasinée U=Q²/(2C) diminue lorsqu'un diélectrique augmente C. Laisser une source de tension idéale connectée fixe V : Q=CV et l'énergie emmagasinée U=CV²/2 augmentent toutes deux. La source fournit de l'énergie et le déplacement du diélectrique peut impliquer un travail mécanique ; comparer la quantité d'énergie électrique indiquée plutôt que de supposer que le condensateur seul constitue un système isolé. À l'interface d'un matériau, n·(D₂−D₁)=σ_free, tandis que la composante tangentielle de E statique est continue. E normal change généralement lorsque la permittivité varie.

L'aimantation M est le moment dipolaire magnétique par unité de volume, mesuré en A/m. En unités SI, B=μ₀(H+M) ; pour une réponse linéaire et isotrope, M=χ_m H et B=μ₀(1+χ_m)H. B et H ont des unités et des rôles différents. Un long solénoïde uniforme a H≈nI lorsque les effets d'extrémité et de démagnétisation sont négligeables ; la réponse du matériau modifie alors B. Le courant surfacique libre fixe n×(H₂−H₁)=K_free, et B normal reste continu. L'hystérésis ferromagnétique et la saturation ne peuvent pas être représentées par une seule constante χ_m sur tout le champ.

Un condensateur est débranché avant l'insertion d'un diélectrique linéaire de permittivité relative 4. La charge libre reste constante ; la capacité devient quatre fois sa valeur initiale.

Si une batterie idéale reste connectée, V est fixée : La source échange de l'énergie. Ne pas considérer la charge isolée et la tension fixe comme la même expérience.

Utilisez la charge libre dans l'équation de D et la charge totale dans l'équation de E. Ne confondez pas Q fixe avec V fixe, ni n'identifiez numériquement B avec H.

polarisation électrique : Moment dipolaire électrique par unité de volume, P, contribuant à la charge liée.

aimantation : Moment dipolaire magnétique par unité de volume, M, entrant dans B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

Inserting a third polariser 偏振片 between crossed filters can increase the transmitted intensity, even though every filter removes energy.

Prerequisites: 3.

• Calculate successive ideal analyser transmissions from the immediate input state
• Distinguish linear, circular and elliptical field motion using relative phase
• Use Brewster incidence with refractive-index and plane-of-incidence conventions

For propagation along z, a transverse electric field can have x and y components. Linear polarisation means the field oscillates along one fixed line; an ideal analyser transmits the projection along its axis. Field amplitude becomes E cosθ, so intensity becomes I cos²θ. Here θ is between the incoming polarisation and that analyser, and I is the intensity immediately before it. An unpolarised beam is a statistical mixture of transverse orientations; an ideal first polariser passes half its mean intensity. The outgoing beam is then linearly polarised along the filter axis. Do not apply a new factor of one half at every later filter, or use one angle to the original source for the whole chain.

After each analyser, update both the intensity and the polarisation direction. For an initially unpolarised beam and ideal axes α₁, α₂, α₃, the final intensity is (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂). Two crossed filters transmit zero in this model; a middle oblique axis changes the direction before the final projection. This increase relative to the crossed pair does not create energy: every step still has transmission between zero and one. Real filters have absorption, imperfect extinction and wavelength dependence. Use the ideal law only when those losses are excluded or separately specified.

Write E_x=A cosωt and E_y=B cos(ωt+δ) at a fixed point. Equal or opposite phases give a line, including a line at an oblique angle; equal nonzero amplitudes and a quarter-cycle phase difference give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

For incidence from transparent nonmagnetic medium n₁ into n₂, Brewster’s angle measured from the normal satisfies tanθ_B=n₂/n₁. At that angle, the reflected p component, whose electric field lies in the plane of incidence, vanishes in the ideal dielectric model. Reflected light from unpolarised input is then s polarised, perpendicular to that plane. Snell’s law gives a refracted angle complementary to θ_B. This is distinct from the critical-angle condition sinθ_c=n₂/n₁, which needs n₁>n₂ and concerns total internal reflection. Brewster reflection does not imply that the entire incident intensity is reflected or that the transmitted beam is completely polarised.

An ideal first polariser transmits half of unpolarised incident intensity I0. Each later analyser uses the angle from the immediately preceding axis. For axes 0, 30 and 90 degrees,

The field after each filter points along that filter's axis. Using only the first and last axes would predict zero incorrectly.

Malus intensity uses cos² of the angle to the immediately preceding polarisation; a phase plate changes relative phase, while a polariser removes a field component.

Malus’s law 马吕斯定律: Ideal linear-analyser intensity law I_out=I_in cos²θ for linearly polarised input.

Brewster angle 布儒斯特角: Incidence angle at which the reflected p component vanishes for the ideal dielectric interface.

Two equal slits can have the right path difference for constructive interference and still deliver no intensity at that angle.

Prerequisites: 3, 17.

• Derive and evaluate the far-field single-slit intensity using amplitude superposition
• Separate double-slit interference spacing from finite-aperture envelope 包络线 width
• Identify missing orders and state the limits of far-field and small-angle formulas

For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.

At small angles on a distant screen L away, y≈Lθ and sinθ≈θ give first zeros y≈±Lλ/a. Thus the central width is 2Lλ/a. Use metres consistently: a millimetre slit and a nanometre wavelength differ by six powers of ten. For a wider angle, use θ=asin(mλ/a) and y=L tanθ; the small-angle y expression then becomes inaccurate. Far-field conditions need nearly parallel rays from different parts of the aperture, for example L much greater than a²/λ, or the equivalent focal-plane arrangement. Near-field Fresnel patterns cannot be assigned this intensity law blindly.

For two coherent identical uniformly illuminated slits of width a and centre separation d, the normalised pattern is (sinβ/β)² cos²α, with α=πd sinθ/λ and central intensity as the normalisation. The cos² factor produces interference orders d sinθ=nλ; the single-slit factor gives the broader envelope zeros. Small-angle neighbouring interference spacing is λL/d. Increasing d narrows fringe spacing; increasing a narrows the envelope. These are separate changes. The equal-height narrow-slit interference formula alone does not predict the diminishing brightness or missing orders of finite apertures. Incoherent sources do not maintain the same phase-dependent cross term.

A missing order 缺级 occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

For two finite slits, separate interference spacing from the single-slit envelope.

If d = 5a, the first envelope zero $a\sin\theta=\lambda$ coincides with order n = 5. Nominal order centres in the central envelope are n = -4 through +4: nine in total. These are interference centres; the envelope can shift the exact product maxima slightly.

Add field amplitudes before squaring, distinguish a from d, and exclude dark boundary orders. An interference maximum alone does not guarantee a maximum of the full pattern.

diffraction envelope 衍射包络: The aperture-dependent intensity factor that modulates the interference pattern.

missing order: An interference order cancelled because it coincides with an aperture intensity zero.

Une distance image négative est un résultat géométrique qui localise une image virtuelle, et non un calcul échoué à remplacer par sa valeur absolue.

Prérequis : 3.

• Localiser les images formées par des lentilles minces paraxiales et des miroirs sphériques selon une convention de signe déclarée
• Utiliser le grossissement signé pour classifier l'orientation et le caractère réel ou virtuel
• Suivre les emplacements successifs des images en tant qu'objet pour l'élément suivant sans réinitialiser la géométrie

Utilisez la convention « réel-positif » pour cette unité : un objet réel envoie des rayons incidents divergents vers l'élément, donc s>0 ; un faisceau incident déjà convergent peut représenter un objet virtuel, s<0. A real image has s′>0, tandis qu'une image virtuelle a s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0 et une lentille divergente f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0 ; une s′ négative place son image virtuelle du côté d'entrée. Énoncez la convention avant la substitution, car d'autres conventions de coordonnées signées produisent des équations visuellement différentes.

Pour une lentille mince convergente, un rayon parallèle à l'axe sort par le point focal lointain, et un rayon passant par le centre optique idéal se poursuit sans déviation. Leur intersection identifie une image réelle ; leurs prolongements vers l'arrière peuvent localiser une image virtuelle. L'approximation paraxiale utilise des rayons proches de l'axe et néglige l'épaisseur et les aberrations. Avec s>f>0, s′ est positive et M est négative : l'image est réelle et inversée. Avec 0<s<f, s′ est négative et M est positive : l'image est virtuelle, droite et agrandie. À s=f, les rayons émergents sont parallèles et aucun plan image fini n'existe. Une lentille divergente avec un objet réel produit une image virtuelle droite et réduite.

Pour un miroir sphérique dans la même convention « réel-positif », concave f>0 et convexe f<0, avec f=R/2 dans la limite paraxiale. Une image réfléchie réelle est devant le miroir, du côté de la lumière incidente ; une image virtuelle est derrière lui. Ainsi, une distance image positive correspond à un côté physique différent pour un miroir que pour une lentille transmissive. Un rayon parallèle se réfléchit par le foyer concave ; un rayon dirigé vers le centre de courbure reprend son chemin. Les rayons réfléchis convexes divergent comme s'ils venaient du foyer derrière le miroir. Utilisez la même équation et M=−s′/s avec des valeurs signées, plutôt que de combiner silencieusement la géométrie du miroir avec un diagramme de coordonnées de lentille.

Pour une séquence de lentilles séparées, calculez d'abord la coordonnée réelle de l'image issue de la première lentille. Par rapport à la lentille suivante, décidez si les rayons entrants divergent depuis un point situé avant elle ou convergent encore vers un point au-delà ; ce sont respectivement des objets réels et virtuels. N'attribuez alors sa distance objet signée et résolvez à nouveau. Le grossissement transversal total est le produit des grossissements signés individuels pour des éléments alignés paraxiaux. L'espacement entre éléments n'est pas automatiquement la deuxième distance objet. Le caractère réel/virtuel géométrique dépend de la convergence, et non du fait que l'image finale soit agrandie. Ces résultats idéaux ne modélisent pas la résolution ondulatoire ni les aberrations sphériques ou chromatiques.

Utilisez des distances « réel-positif » et une longueur focale positive pour une lentille convergente. Avec f = 12 cm et une distance objet réelle s = 8 cm,

Ainsi s' = -24 cm et $M=-s'/s=+3$. L'image virtuelle est droite, du côté de l'objet. Les distances signées identifient le côté physique ; une distance négative n'est pas une erreur arithmétique.

Conservez les signes jusqu'à l'interprétation géométrique ; une image miroir positive se situe du côté incident, tandis qu'une image de lentille transmissive positive se situe du côté émergeant.

image virtuelle : Image apparente localisée par des prolongements de rayons vers l'arrière plutôt que par une convergence réelle de rayons sortants.

grossissement transversal : Rapport signé hauteur image sur hauteur objet, −s′/s selon la convention déclarée.

Deux couches de paroi en série transportent le même débit de chaleur stationnaire, mais leurs chutes de température ne sont pas nécessairement égales.

Prérequis : 4.

• Combiner les résistances thermiques par conduction et distinguer le débit de chaleur du flux de chaleur
• Équilibrer la chaleur sensible et latente avec les conditions d'isolation et de capacité thermique spécifiées
• Calculer l'expansion thermique libre et la contrainte thermique contrainte avec leurs limites

Pour une conduction stationnaire unidimensionnelle à travers une plaque uniforme, la loi de Fourier donne le flux de chaleur q_x=−κ dT/dx. Avec une conductivité constante κ, une surface A, une longueur L et une différence de température ΔT du chaud vers le froid, le débit de chaleur est Qdot=κAΔT/L. Définir la résistance thermique R_th=L/(κA), mesurée en K/W ; la chute de température est Qdot R_th. Les couches en série sans sources internes transportent le même Qdot et leurs résistances s'additionnent. Les chemins parallèles aux mêmes températures aux extrémités ont des débits de chaleur qui s'additionnent, donc les inverses des résistances s'additionnent. Le flux de chaleur est un débit par unité de surface, W/m², et ne correspond pas nécessairement entre les couches de surfaces différentes. La résistance de contact à l'interface et les fuites de chaleur doivent être incluses si spécifié.

La capacité thermique C=dQ/dT dépend du chemin thermodynamique et n'est pas la même que la chaleur spécifique c par masse. Pour un intervalle de matériau sans changement de phase, Q=∫mc(T)dT, ou mcΔT lorsque c est constant. Dans un calorimètre isolé, additionner les variations d'énergie de tous les objets, y compris le récipient si pertinent, et égaliser la somme à zéro. Lors d'un changement de phase à sa température d'équilibre, l'énergie ajoutée peut modifier la fraction de phase plutôt que la température : Q=mℓ utilise la chaleur latente ℓ en J/kg. Fournir d'abord la chaleur sensible pour atteindre la transition, puis prévoir la chaleur latente. Ne laissez pas une simple moyenne pondérée des températures prédire une température impossible lorsque la fusion ou la congélation fait partie du processus.

Pour une tige se dilatant librement et une petite variation de température, ΔL≈αL₀ΔT avec le coefficient de dilatation linéaire α. Pour un solide isotrope avec une faible déformation, chaque dimension acquiert un facteur 1+αΔT, donc ΔA/A≈2αΔT et ΔV/V≈3αΔT. Un trou s'expand avec le matériau environnant comme si sa région manquante s'était également dilatée. Ces relations supposent un coefficient quasi constant et aucune contrainte mécanique ; les cristaux anisotropes nécessitent des coefficients directionnels. Si une tige élastique est empêchée de changer de longueur, sa déformation mécanique annule la déformation thermique. Avec une contrainte de traction positive, σ≈−YαΔT lors du chauffage, où Y est le module d'Young. Cette estimation à faible déformation nécessite une réponse élastique sans plastification ni flambement.

La conduction transfère l'énergie via un gradient de température, la convection la transporte avec la matière en mouvement, et le rayonnement thermique peut traverser le vide. Pour une surface à T faisant face à un environnement vaste à T_env, un modèle simple de corps gris donne le taux net de rayonnement εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Utiliser les kelvins absolus dans ces puissances quatrièmes, plutôt que les valeurs Celsius. Un corps à température homogène dont la température interne reste presque uniforme peut obéir à C dT/dt=−hA(T−T_env) sous le refroidissement de Newton avec h constant. Ensuite, l'excès de température décroît avec τ=C/(hA), plutôt que toute la température Celsius ou Kelvin décroissant vers zéro. Cette approximation nécessite des gradients internes suffisamment petits ; un corps limité par la conduction a besoin d'un modèle de température spatiale.

Deux plaques en série transportent le même débit de chaleur stationnaire. Soient les résistances 0.08 et 0.24 K/W. Les températures aux limites sont 60 et 20 degrés Celsius.

L'interface est 50 degrés Celsius lorsque la plaque 1 touche le côté chaud. Le débit de chaleur a des unités en watts ; le flux le divise par la surface.

Gardez W distinct de W/m², incluez le calorimètre ou l'énergie latente si nécessaire, et n'utilisez pas simultanément la longueur d'expansion libre et les hypothèses de contrainte contrainte.

résistance thermique : Différence de température par unité de débit de transfert de chaleur stationnaire, mesurée en K/W.

chaleur latente : Énergie transférée lors d'un changement de phase à sa température de transition ; la chaleur latente spécifique est par masse.

A thermal energy gap can keep heat capacity small at both low and high temperatures, even while the excited-state probability keeps increasing.

Prerequisites: 20.

• Obtain canonical mean energy and free energy from a fixed energy spectrum
• Relate energy variance to constant-volume heat capacity with fixed-spectrum conditions
• Evaluate entropy and low/high-temperature limits for an original finite-level model

For a system exchanging energy with a bath at T while N and V remain fixed, let β=1/(kBT). Sum Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) over energy levels with their degeneracies. Level probability is g_i exp(−βE_i)/Z; mean energy U is the probability-weighted energy sum. Differentiating a temperature-independent spectrum gives U=−∂lnZ/∂β. Keep the energy gap and degeneracies fixed during the derivative. Writing Δ=kBT ln3 to describe one evaluation temperature must not be read as making Δ change with T. For N independent distinguishable identical two-level subsystems, Z_total=z^N and U_total=N u. Indistinguishable particles and interactions need their own state counting rather than this product assumption.

The Helmholtz free energy 亥姆霍兹自由能 is F=−kBT lnZ. Canonical entropy follows from S=kB(lnZ+βU), equivalently −kBΣ p_j ln p_j over individual microstates. Constant-volume heat capacity is C_V=(∂U/∂T)_V,N. These quantities carry different units and describe different derivatives. Adding a constant energy offset ε to every state multiplies Z by exp(−βε), increases U and F by ε, and leaves probabilities, entropy and heat capacity unchanged when ε is independent of T. A negative chosen mean energy is therefore not evidence of a negative heat capacity. Use the same energy reference in the probabilities and thermodynamic expressions.

The second β derivative of lnZ gives variance Var(E)=⟨E²⟩−U². For the same fixed-spectrum canonical model, C_V=Var(E)/(kBT²), so C_V/kB=β²Var(E). Nonnegative variance implies nonnegative C_V within these conditions. The denominator includes kB, not kB², when heat capacity retains its ordinary J/K units. This fluctuation formula concerns the canonical energy distribution; it does not say each particle has exactly the mean energy. For independent subsystems variances add, while means add too. Relative energy fluctuations typically shrink like 1/√N when the mean and per-subsystem variance remain finite and nonzero.

For one ground state at E=0 and one excited state at fixed E=Δ>0, put x=Δ/(kBT). Then z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc and C/kB=x²e^x/(1+e^x)². At low T, excitation and heat capacity vanish exponentially. At high T, p_exc tends to one half and energy saturates, so heat capacity tends to zero again. Entropy rises from zero for the unique ground state toward kB ln2 as the two states become equiprobable. The resulting finite-temperature heat-capacity peak is specific to the finite-level model; it is not the constant classical oscillator value. Ground-state degeneracy or additional levels would change the limiting entropy and temperature response.

Hold the two energy levels 0 and Delta fixed when differentiating the partition function 配分函数.

At $\beta\Delta=\ln3$, excited probability is 1/4, mean energy Delta/4, variance $3\Delta^2/16$ and $C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$. Degeneracy, if present, belongs in Z before differentiation.

Hold Δ fixed when differentiating, include degeneracies in Z, and use energy variance rather than the square of mean energy in the heat-capacity formula.

energy fluctuation 能量涨落: Canonical spread of energy about its ensemble mean, quantified by the energy variance.

Helmholtz free energy: Thermodynamic potential F=U−TS, equal to −kBT lnZ for the canonical ensemble.

Un niveau d'énergie fermionique peut contenir plusieurs particules s'il possède plusieurs états distincts ; la règle d'exclusion s'applique par état complet.

Prérequis : 20, 35, 38.

• Calculer l'occupation moyenne par état quantique complet pour les fermions et les bosons
• Compter les occupations autorisées pour des particules identiques et identifier la limite classique diluée
• Comparer la capacité calorifique du mode quadratique classique avec la réponse d'un oscillateur quantique

Pour des particules non interagissantes en équilibre thermique et d'échange de particules, utiliser le potentiel chimique μ et x=(ε−μ)/(kBT). L'occupation moyenne d'un état complet est n_F=1/(e^x+1) pour les fermions et n_B=1/(e^x−1) pour les bosons. L'occupation fermionique de cet état est zéro ou un ; sa moyenne se situe entre ces deux valeurs. L'occupation bosonique peut excéder un. Un niveau de dégénérescence g a une occupation totale moyenne égale à g fois l'occupation d'un seul état lorsque ses états partagent la même énergie. Compter le spin comme partie d'un état complet. Le dénominateur de Bose nécessite ε>μ pour l'expression finie ordinaire, avec une limite de l'état fondamental traitée séparément. Pour les photons à l'équilibre, μ=0 car le nombre de photons n'est pas conservé ; ne pas fixer μ=0 pour tout gaz de particules matérielles.

Compter les motifs d'occupation plutôt que d'étiqueter les particules identiques. Deux fermions identiques distribués parmi quatre états complets distincts ont choose(4,2)=6 motifs autorisés. Deux bosons identiques parmi ces états ont choose(4+2−1,2)=10 motifs car ils peuvent tous deux partager un même état. Deux particules distinguables étiquetées auraient 4²=16 affectations. Ce sont des modèles de comptage différents, pas trois réponses interchangeables à la même spécification. Si une question fournit une dégénérescence de spin, décider d'abord si le nombre indiqué compte les états complets ou seulement les niveaux orbitaux. Une interdiction de Pauli sur deux états complets identiques n'interdit pas les fermions de spins opposés dans une même orbite spatiale.

Lorsque x est grand et positif, l'occupation est faible et les deux dénominateurs sont dominés par e^x : n_F≈n_B≈e^(−x), la limite diluée de Maxwell–Boltzmann. À x=ln4, les moyennes sont 1/5 pour les fermions, 1/3 pour les bosons et 1/4 dans l'approximation classique ; la différence reste significative. Un grand nombre total de particules seul ne justifie pas les statistiques classiques : la densité, la température et les états accessibles contrôlent l'occupation. Pour les fermions à basse T, les états sous μ deviennent presque occupés et ceux au-dessus presque vides. À ε=μ, un état fermionique a une moyenne de un demi ; insérer cette valeur dans la formule de Bose ordinaire produirait un dénominateur divergent et nécessiterait un traitement différent de la limite.

L'équipartition classique attribue kBT/2 d'énergie moyenne à chaque terme quadratique indépendant dans un hamiltonien à l'équilibre. Un gaz idéal monoatomique a trois termes de translation, donnant U=3NkBT/2 et C_V=3NkB/2. Un oscillateur harmonique classique unidimensionnel a des termes cinétique et potentiel, donnant une moyenne de kBT et C=kB. Pour un oscillateur quantique à espacement fixe ε=$\hbar$ω, l'énergie thermique au-dessus de son point zéro indépendant de la température est ε/(e^x−1), où x=ε/(kBT), et C/kB=x²e^x/(e^x−1)². À haute T, il approche la valeur classique ; à basse T, l'excitation gèle et C→0. Une énergie de point zéro ε/2 déplace U mais pas C. Les contributions rotationnelles/vibrationnelles moléculaires nécessitent également de vérifier leurs échelles d'énergie avant d'attribuer des termes quadratiques classiques.

Le numéro d'occupation se réfère à un état complet à une particule. Pour $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

L'approximation classique diluée donne $e^{-x}=1/4$ ; ce n'est pas exact ici. Un niveau de dégénérescence g a une occupation totale moyenne de $g\bar n$, donc un niveau fermionique peut contenir plus plus d'une particule alors que chaque état complet respecte encore l'exclusion.

Excluez deux fermions d'un état complet, et non d'un niveau d'énergie dégénéré entier. Indiquez quelle x est utilisée ; les occupations du potentiel chimique et les formules d'excitation d'oscillateurs fixes sont des modèles différents.

occupation moyenne : Nombre moyen de particules dans un état quantique complet ou un groupe d'états spécifié, en moyenne d'ensemble.

équipartition : Règle classique à l'équilibre attribuant kBT/2 à chaque terme quadratique indépendant du hamiltonien.

Un décalage d'énergie du premier ordre nul peut coexister avec un changement d'état et un décalage d'ordre supérieur non nul.

Prérequis : 5, 24.

• Calculer les décalages d'énergie du premier ordre non dégénérés comme des valeurs moyennes normalisées
• Utiliser la symétrie et les éléments de matrice pour évaluer les limites de couplage faible
• Diagonaliser la perturbation au sein d'un sous-espace exactement dégénéré

Posons H=H₀+λW, où λ est un petit paramètre sans dimension et les états propres de H₀ sont connus et normalisés. Pour un niveau non dégénéré n, la correction d'énergie du premier ordre est λ⟨n|W|n⟩. Dans l'espace positionnel, c'est λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx pour un potentiel multiplicatif, avec intégration sur le domaine autorisé. Une valeur de potentiel en un point n'est pas une valeur moyenne ; la densité de probabilité de l'état pondère tout le domaine. Pour un puits infini 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). La réflexion par rapport à son centre donne ⟨x⟩=L/2, donc un potentiel ajouté faible γx a un décalage γL/2 pour chaque niveau de puits non dégénéré au premier ordre. γ a pour unités l'énergie par longueur.

Pour une perturbation impaire par rapport au centre, telle que γ(x−L/2), la densité de probabilité d'un état propre du puits non perturbé est paire, donc sa valeur diagonale s'annule. Une perturbation quadratique centrée η(x−L/2)² donne plutôt un décalage ηL²[1/12−1/(2π²n²)], qui est positif pour η>0 et dépend de n. La parité rend l'intégrale du premier ordre nulle uniquement pour la symétrie spécifique de l'état et de l'opérateur. Les éléments de matrice hors diagonale peuvent toujours modifier la fonction d'onde. Ne transformez pas une annulation de symétrie en affirmation que toute correction d'énergie s'annule ou que l'état original reste exact.

Pour un état non dégénéré, le mélange dominant d'un autre état non perturbé m est proportionnel à λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). La condition de petitesse utile compare donc les éléments de matrice de couplage aux séparations de niveaux pertinentes, et non seulement à un zéro énergétique absolu arbitraire. Au second ordre, la correction d'énergie contient Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Pour l'état non dégénéré le plus bas, tous ces dénominateurs sont négatifs, donc la correction du second ordre est non positive dans ce modèle. Près d'une dégénérescence, un petit dénominateur invalide le développement non dégénéré ; utilisez un sous-espace couplé au lieu de diviser par zéro.

Si un niveau de H₀ est exactement dégénéré, choisissez une base orthonormée au sein de ce sous-espace et formez la matrice hermitienne de la perturbation là. Ses valeurs propres sont les décalages d'énergie du premier ordre, et ses vecteurs propres spécifient les combinaisons qui diagonalisent le fractionnement principal. Pour un sous-espace à deux états avec perturbation ε[[2,1],[1,2]], les combinaisons symétrique et antisymétrique normalisées ont des décalages 3ε et ε. Lire uniquement les deux entrées diagonales prédirait incorrectement deux décalages de 2ε. Un scalaire commun à l'identité déplace les deux états également et ne brise pas leur dégénérescence ; les couplages hors sous-espace peuvent être importants au second ordre.

Un sous-espace dégénéré nécessite une diagonalisation de matrice avant les décalages du premier ordre. Supposons que la perturbation restreinte à deux états soit $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Les décalages sont epsilon et 3 epsilon. Les états normalisés sont $(1,-1)/\sqrt2$ et $(1,1)/\sqrt2$. La lecture des seules entrées diagonales masquerait le fractionnement. Les couplages aux autres niveaux doivent rester faibles par rapport à leurs écarts d'énergie.

Utilisez des poids d'état normalisés, conservez les unités de perturbation et diagonalisez un bloc dégénéré. L'annulation du premier ordre et l'invariance exacte sont des affirmations différentes.

décalage d'énergie au premier ordre : Correction de perturbation faible principale donnée par la valeur attendue de l'état non perturbé.

théorie des perturbations dégénérées : Méthode qui diagonalise d'abord la perturbation dans un sous-espace dégénéré non perturbé.

Deux électrons peuvent partager une même orbite spatiale si leur état spatial-total (position + spin) présente l'antisymétrie requise.

Prérequis : 5, 36.

• Construire des états spatiaux symétriques et antisymétriques à deux orbitites normalisés
• Combiner la symétrie spatiale et spin pour produire les états autorisés à deux électrons
• Compter les occupations d'états complets et interpréter les corrélations induites par l'échange

Pour des particules identiques, l'échange de chaque coordonnée et étiquette de spin modifie une fonction d'onde totale fermionique par un signe moins et laisse une bosonique inchangée. Les cases mathématiques 1 et 2 désignent des arguments, pas des particules permanentement distinguables. Pour deux orbitites orthonormés distincts a et b, les combinaisons spatiales sont Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. L'orthogonalité rend ces combinaisons normalisées et donne les valeurs propres d'échange ±1. Si les deux orbitites sont identiques, la combinaison antisymétrique est identiquement nulle et la formule symétrique affichée n'est pas correctement normalisée ; l'état spatial à double occupation est simplement a(1)a(2). Vérifiez toujours la normalisation lorsque les orbitites ou leurs chevauchements changent.

Deux particules de spin-1/2 possèdent un singulet de spin (↑↓−↓↑)/√2 avec spin total S=0 ; il est antisymétrique sous échange. Les trois triplets ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 et ↓↓ ont S=1 et sont symétriques. Les électrons nécessitent un état total antisymétrique, donc un état spatial symétrique s'associe au singulet, tandis qu'un état spatial antisymétrique s'associe à un triplet. Deux électrons dans la même orbite spatiale peuvent former le singulet, mais ne peuvent pas y former un triplet dans ce simple état à deux électrons. L'exclusion de Pauli empêche l'occupation du même état complet à une particule, incluant le spin. Des électrons de spin opposé dans une orbite constituent deux états complets différents ; décrire l'exclusion comme « un électron par orbite » omet cette distinction.

Pour deux orbitites spatiaux a,b et deux états de spin chacun, il y a quatre états complets à une particule. Deux électrons identiques ont choose(4,2)=6 motifs d'occupation : deux singulets à double occupation, un singulet à orbitites différents, et trois triplets à orbitites différents. Pour trois orbitites spatiaux, il y a six états complets et choose(6,2)=15 motifs. Le comptage des assignations ordonnées surestime les particules identiques. Les bosons sans spin dans deux orbitites ont en revanche trois occupations : les deux dans a, un dans chacun, les deux dans b. Ces comptes supposent aucune restriction énergétique supplémentaire et les états à une particule accessibles mentionnés ; restreindre l'énergie totale ou la projection du spin modifie le sous-ensemble autorisé.

Un état spatial antisymétrique satisfait Ψ_−(x,x)=0, donc sa densité de position conjointe s'annule sur la ligne de coïncidence. Un état spatial symétrique n'a pas besoin de s'y annuler. Cette différence provient d'une interférence entre les amplitudes échangées, même pour des particules non interactives ; il ne s'agit pas d'une force répulsive classique imposée séparément. Pour un puits de longueur L, choisissez a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). En x₁=L/4 et x₂=3L/4, l'amplitude spatiale antisymétrique est −2/L et sa densité est 4/L² ; l'amplitude symétrique est nulle. Il s'agit de densités de probabilité conjointes par rapport à deux longueurs, et non de probabilités sans dimension en des points exacts. La compatibilité physique du spin détermine toujours quelle combinaison spatiale correspond à chaque état électronique total.

Pour des orbitales différentes et orthonormées a et b, les états spatiaux symétriques et antisymétriques sont

Un état total à deux électrons doit être antisymétrique sous échange simultané de la position et du spin. Ainsi, l'espace symétrique s'associe au singulet de spin ; l'espace antisymétrique s'associe au triplet de spin. Si les deux électrons occupent l'orbitale a, le produit spatial est symétrique et seul le singulet de spin est autorisé. La formule de normalisation pour des orbitales différentes ne peut pas simplement être réutilisée lorsque a = b.

Échangez toutes les arguments spatiaux et de spin. Ne pas confondre espace antisymétrique avec état total antisymétrique, ou utiliser le facteur √2 d'orbitales distinctes pour deux orbitales identiques.

Singulet de spin : État antisymétrique à deux spins-1/2 avec un spin total S=0.

Déterminant de Slater : Construction antisymétrique fermionique à partir d'états à une particule complets ; la duplication des états le fait s'annuler.

A bound wavefunction can extend outside a finite well 有限深势阱 even though the particle’s energy is below the external potential.

Prerequisites: 5, 24, 37.

• Match decaying finite-well states and derive parity-dependent quantisation conditions
• Interpret dimensionless bound-state roots and distinguish confinement from scattering
• Use hydrogenic quantum numbers, angular momentum and radial probability measures

Declare a symmetric well V=−V₀ for |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 and the same mass throughout. A bound energy lies between −V₀ and zero. Inside, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ gives oscillatory solutions; outside, κ=√(−2mE)/$\hbar$ gives decaying tails. Reject growing exponentials to obtain a normalisable state. Reflection symmetry permits even interior cos(kx) or odd sin(kx) states. At finite boundaries without delta interactions, both ψ and ψ′ are continuous. Even matching gives k tan(ka)=κ; odd matching gives −k cot(ka)=κ. A finite well does not require ψ to vanish at its edges as an infinite wall does.

Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.

For an even bound state 束缚态 write ψ=A cos(kx) inside and ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] outside. Continuity sets the relative tail amplitude; integrate |ψ|² over both the interior and tails to determine A. Probability outside the well is nonzero and depends on its depth, width and the selected state. Bound states have discrete energies and normalisable decaying asymptotes. A scattering state with E>0 has propagating external waves and is normalised or interpreted using a continuum/flux convention. A decaying tail is not evidence that the state violates energy conservation, and raw tail amplitude is not the outside probability until it has been integrated and normalised.

For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)$\hbar$² and L_z=m_l$\hbar$; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.

A finite well has V = -V0 for $|x|<a$ and zero outside. A bound energy lies strictly between -V0 and zero. Define

Even parity gives an interior cosine and decaying tails. Matching value and derivative at a gives Odd parity instead gives $-k\cot(ka)=\kappa$. Solve only within valid parity intervals; a root at a tangent pole is not a bound state.

Use the declared potential zero, match ψ′ as well as ψ, and include the radial shell measure. A bound tail and a continuum travelling wave have different energy regimes.

bound state: Normalisable stationary state with confined probability and discrete energy in the specified model.

radial probability density 径向概率密度: Probability per radial distance, including the spherical-shell measure after angular integration.

The same magnetic field needs different quantum labels when its energy scale crosses the spin-orbit splitting.

Prerequisites: 7, 37.

• Calculate orbital and spin magnetic shifts in the appropriate coupling regime
• Find photon-energy shifts from allowed upper-minus-lower level changes
• Contrast parity cancellation with degenerate electric-field splitting

An electron has a negative magnetic moment: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ and μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. With B along positive z, the interaction −μ·B therefore gives H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. In an uncoupled basis with orbital projection m_l and spin projection m_s=±1/2, the shift is μ_B B(m_l+2m_s). Use this uncoupled rule when the magnetic interaction is large relative to the relevant spin-orbit splitting but still small relative to orbital energy gaps, so quadratic diamagnetic and orbital restructuring effects can be neglected. Large and small are comparisons of energies, not universal Tesla thresholds. In the opposite weak-field regime, m_l and m_s are not independently conserved labels for an LS-coupled eigenstate.

When LS coupling dominates a weak magnetic perturbation, J=L+S and m_J label the multiplet. The first-order shift is μ_B B g_J m_J, with g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] in the approximation g_s=2. L,S,J here are dimensionless quantum numbers. For L=1,S=1/2, J=3/2 gives g_J=4/3 and shifts −2,−2/3,+2/3,+2 times μ_B B. J=1/2 gives g_J=2/3 and shifts ±μ_B B/3. Do not substitute J=0 into the singular formula; a J=0 state has no first-order vector projection shift. Intermediate fields require a coupled Hamiltonian rather than mixing weak-field and uncoupled formulas.

A photon’s energy is the upper atomic energy minus the lower energy. Its field-induced change is therefore ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Count allowed transitions using the stated selection rules as well as the two level patterns. Several transitions can share one frequency; the number of split states is not automatically the number of spectral lines. In a spin-neglected orbital model, an upper L=1 triplet has shifts m_l μ_B B with m_l=−1,0,+1, and a lower L=0 state has zero shift. Electric-dipole Δm_l=0,±1 permits three photon shifts −μ_B B,0,+μ_B B. This normal-triplet model does not describe every real atom or fine-structure multiplet. Polarisation and observation direction can change which components are detected.

In a uniform electric field F along z, an electron’s perturbation is +eFz for the stated electrostatic potential convention. A nondegenerate parity eigenstate has ⟨z⟩=0, so its first-order diagonal Stark shift vanishes, although a quadratic shift can remain. Exactly degenerate opposite-parity states instead allow an off-diagonal dipole matrix element. In an original two-state model, suppose the dipole matrix is [[0,d],[d,0]], with real d in charge×length units. The perturbation F times this matrix has eigenvalues ±dF and opposite superpositions of the two states. Changing a basis phase changes the off-diagonal sign but not the splitting 2|dF|. Actual near-degenerate atoms require comparison with fine structure and other small splittings before an exactly degenerate approximation is adopted; this supplied matrix is not a universal hydrogen coefficient.

In weak LS-coupled magnetic fields, the Zeeman effect 塞曼效应 uses J, not uncoupled ml and ms.

For L = 1, S = 1/2 and J = 3/2, $g_J=4/3$. Select the field regime before inserting quantum numbers. Photon shifts subtract the lower-level shift.

Declare the coupling regime, keep the negative electron moment sign, and subtract lower-level shifts. Zero diagonal dipole expectation does not exclude degenerate mixing or quadratic shifts.

Landé factor 朗德因子: Projection factor relating a weak-field LS-coupled magnetic shift to g_J m_J.

Stark splitting 斯塔克分裂: Electric-field-induced separation of atomic energy levels, with symmetry and degeneracy controlling leading order.

Un pic spectral, un flux radiatif total et une énergie de transition atomique sont trois observables différentes.

Prérequis : 7, 9, 34.

• Distuer le pic spectral de longueur d'onde, le rayonnement intégré et l'énergie photonique
• Dériver le rayon de Bohr et la mise à l'échelle énergétique sous hypothèse à un électron
• Calculer les transitions Coulomb-ion, limites de série et seuils d'ionisation

Pour un rayonnement en équilibre thermique idéal, le rayonnement spectral par longueur d'onde de Planck est B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ est exprimé par intervalle de longueur d'onde et par angle solide, et non comme une puissance totale. Le flux spectral de surface hémisphérique d'un corps noir est M_λ=πB_λ ; l'intégration sur toutes les longueurs d'onde donne σ_SB T⁴. Toutes les températures sont en kelvins absolus. Le pic de longueur d'onde obéit à λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. Un spectre par fréquence présente un pic différent car B_ν dν et B_λ dλ incluent un jacobien ; c/λ_max n'est pas la fréquence du pic de B_ν. L'augmentation de T déplace le pic vers des longueurs d'onde plus courtes et augmente le flux intégré selon T⁴, et non uniquement selon le rapport des positions de pic.

Pour une surface grise uniforme originale de surface A et d'émissivité ε indépendante de la longueur d'onde, la puissance radiative nette vers un environnement uniforme étendu est εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) sous les hypothèses de facteur de vue spécifiées. Utiliser σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Une émissivité variant spectralement ou des surroundings incomplets nécessitent un modèle plus détaillé. Un photon à une longueur d'onde donnée a E=hc/λ, commodément environ 1240 eV·nm/λ_nm. Un spectre thermique contient de nombreuses énergies de photons ; un photon au pic de longueur d'onde n'a pas l'énergie moyenne de tous les photons. Pour T=3000 K, λ_max≈966 nm ; son énergie de photon est d'environ 1.284 eV. Une surface avec A=2×10⁻⁴ m² et ε=0.5 émet 459.27 W vers un environnement négligeablement froid.

Dans le modèle historique de Bohr monoélectronique avec un noyau lourd de charge Ze, la force de Coulomb m_e v²²/r=Ze²/(4πε₀r²) et le moment cinétique m_e vr=n$\hbar$ conduisent à r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n et E_n≈−13.6Z²/n² eV. Le rayon échelle avec n²/Z tandis que l'énergie de liaison échelle avec Z²/n² ; ne pas utiliser le même exposant de charge dans les deux cas. Ces hypothèses d'orbites circulaires constituent un modèle d'échelle historique. Le moment cinétique ondo-mécanique est √[l(l+1)]$\hbar$ avec l=0,…,n−1, donc une orbital 1s a un moment cinétique orbital nul plutôt que la valeur n$\hbar$ de Bohr. Les corrections de masse réduite remplacent m_e par μ : le rayon de Coulomb échelle comme 1/μ et l'énergie comme μ. La mise en écran multiélectronique, les corrections relativistes à grand Z et la structure fine sont hors du cadre du modèle simple.

Pour une émission ni→nf avec ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convertir cette différence positive en λ≈1240/E_γ nm. L'ionisation depuis n nécessite une énergie 13.6Z²/n² eV pour atteindre le zéro du continuum. L'absorption inverse l'ordre des niveaux et nécessite l'énergie incidente positive correspondante. Pour une série se terminant à nf fixe, la plus grande énergie de photon lié-lié se produit lorsque ni→∞, donnant E_limit=13.6Z²/nf² et la plus courte longueur d'onde de la série. Pour l'hélium monoélectronique Z=2, n=3→2 donne 7.5556 eV et λ≈164.12 nm. Son rayon de Bohr n=3 est 4.5a₀ ; ce rayon décrit l'orbite historique, pas un mode radial universel pour tout l à n=3.

La loi de Wien fait référence au pic de densité de longueur d'onde d'un spectre de corps noir.

Un photon à cette longueur d'onde a une énergie La source émet une distribution d'énergies de photons. Son flux surfacique intégré est $\sigma T^4$, et le pic de densité de fréquence n'est pas obtenu en divisant simplement c par cette longueur d'onde de pic.

Déclarez une densité de longueur d'onde ou de fréquence, utilisez le Kelvin pour les puissances quatrièmes, et distinguez les transitions de l'ionisation. Un rayon de Bohr circulaire et le moment cinétique ne sont pas le rayon et le L de chaque orbite ondulatoire.

rayonnement spectral : Intensité du rayonnement par aire projetée, angle solide et intervalle spectral spécifié.

limite de série : Énergie ou longueur d'onde limite du photon lié-lié lorsque le niveau initial approche le continuum pour un niveau final fixe.

Deux observateurs peuvent désaccorder sur lequel de deux événements s'est produit en premier, et les deux ont raison.

Prérequis : 22.

• Transformer les séparations d'événements et distinguer la longueur propre des mesures simultanées des extrémités
• Appliquer l'addition relativiste des vitesses et vérifier un invariant à quatre vecteurs
• Classer le signe de l'intervalle pour ordonner les événements et exclure un contact causal

Utiliser la transformation de Lorentz avec le mouvement du cadre déclaré : si le cadre S′ se déplace à +v selon x par rapport à S, alors x′=γ(x−vt) et t′=γ(t−vx/c²) avec γ=1/sqrt(1−v²/c²). Appliquez-le aux séparations d'événements Δx et Δt, pas seulement aux coordonnées uniques. Deux événements simultanés dans S (Δt=0) situés à des endroits différents ont Δt′=−γvΔx/c² : l'événement situé plus loin dans la direction +x survient plus tôt dans S′. La simultanéité dépend du cadre, ce n'est pas une erreur de comptabilité.

La longueur d'une tige en mouvement doit être lue à partir des positions des extrémités au même instant du laboratoire (Δt=0). Alors Δx′=γΔx donne L=L0/γ où L0 est la longueur propre (cadre au repos). Lire les extrémités simultanément dans le cadre de la tige ne donne pas la longueur du laboratoire ; les deux conditions de lecture répondent à des questions différentes. Précisez le cadre et la condition de lecture avant de citer toute longueur.

L'intervalle s²=c²Δt²−Δx² (convention « moins-majoritaire », déclarée une fois) est invariant. s²>0 est temporel : un cadre existe où les événements sont co-localisés, et Δτ=s/c est le temps propre entre eux. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Les vitesses colinéaires s'additionnent comme u=(u′+v)/(1+u′v/c²) ; le dénominateur maintient u<c pour tout u′,v<c, et u′=c donne u=c exactement. L'énergie et la quantité de mouvement forment un quatre-vecteur avec l'invariant E²−p²c²=m²c⁴ : calculez-le dans n'importe quel cadre commode. Vérifiez chaque résultat dans la limite non relativiste, où la règle d'addition se réduit à u=u′+v et l'invariant se réduit à l'énergie au repos.

Deux événements de laboratoire ont Delta x = 900 m et Delta t = 2 microsecondes. Leur intervalle spatio-temporel est spatiale car c Delta t = 600 m est inférieur à Delta x. Un cadre qui les rend simultanés satisfait

Leur séparation dans ce cadre est $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. Aucun cadre ne peut placer ces événements spatio-temporels au même endroit.

Citer L=L0/γ sans la condition de position simultanée des extrémités, ou ajouter des vitesses comme u=u′+v à des vitesses relativistes. Une différence de simultanéité est physique, pas une erreur.

intervalle spatio-temporel : La combinaison invariante c²Δt²−Δx² sous la convention de signe déclarée, dont le signe classe une séparation d'événements.

longueur propre : La séparation des extrémités mesurée dans le cadre au repos de l'objet ; tout autre cadre doit lire les deux extrémités simultanément selon son propre temps.

A voltmeter 电压表 changes the circuit it measures; the reading is a divider output, not the open-circuit voltage.

Prerequisites: 14, 21, 30.

• Calculate measurement loading from finite meter and source impedances
• Determine simple amplifier gain and first-order filter response
• Interpret detector efficiency, resolution, dead time 死时间 and calibration bias

Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.

An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is $1/\sqrt{2}$ (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

Detector efficiency ε is detected events divided by incident events; energy resolution is quoted as FWHM/E, such as 13.2 keV on a 662 keV line, about 2%. A non-paralyzable detector with dead time τ records m=n/(1+nτ) from true rate n; inverting gives n=m/(1−mτ), which fails as mτ→1. State which dead-time model you assume; paralyzable behaviour differs.

A linear calibration against known standards can correct offset and scale error; it does not remove noise or guarantee correction of nonlinearity. A calibration curve maps indicated to true values; interpolation between points assumes local smoothness. Report resolution and efficiency separately: sharp peaks with poor efficiency still miss events, and high efficiency with broad resolution still mixes nearby lines.

A voltmeter of finite input resistance forms a divider with the source resistance.

For a nonparalysable detector with observed rate m and dead time tau, Efficiency, dead time and spectral resolution are different corrections; one cannot replace the others.

Treating the $1/\sqrt{2}$ cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

dead time: The minimum interval after one recorded event during which the detector cannot record another.

input impedance 输入阻抗: The effective load a measuring instrument presents to the circuit under test.

Un faisceau de photons n'a pas de portée définie, contrairement à une particule chargée lourde ; les calculs de blindage échouent si l'on inverse ces deux comportements.

Prérequis : 7, 17, 21.

• Distinguer l'arrêt et la portée des particules chargées de l'atténuation exponentielle des photons
• Calculer l'intensité atténuée et les comptes détectés avec les coefficients donnés
• Expliquer l'émission stimulée, l'inversion de population et les conditions de résonance de la cavité optique

Les particules chargées lourdes perdent leur énergie continûment par de nombreuses petites collisions, ce qui leur confère une portée approximative : sous un modèle à perte constante, une particule d'énergie initiale E0 et de taux de perte dE/dx s'arrête après E0/(dE/dx). Les électrons subissent davantage de dispersion radiative. Les photons, en revanche, interagissent par événements individuels, de sorte qu'un faisceau étroit s'atténue exponentiellement selon I=I0 e^(−μx) sans profondeur maximale définie ; la couche de demi-valeur est ln2/μ.

Appliquez l'exponentielle uniquement à la géométrie de faisceau étroit donnée : μ=0.2 /cm donne une couche de demi-valeur de 3.47 cm et I/I0=e^(−2)≈0.135 après 10 cm. Multipliez par l'efficacité du détecteur pour obtenir les comptes enregistrés : avec μx=ln4 et ε=0.25, la fraction enregistrée est 0.25×1/4=1/16. Le renforcement dû aux photons diffusés fait que le blindage à large faisceau transmet plus que l'exponentielle de faisceau étroit ; précisez la géométrie.

L'émission stimulée produit un photon identique au photon stimulateur en fréquence, direction et phase, assurant une amplification cohérente. Elle entre en compétition avec l'absorption ; un gain net nécessite une inversion de population N2/g2>N1/g1 (N2>N1 pour des dégénérescences égales). L'équilibre à température positive obéit à N2/g2<N1/g1 via le facteur de Boltzmann, donc un système à deux niveaux à l'équilibre ne peut pas laser en continu ; les lasers pratiques pompent un troisième niveau ou un état métastable.

Une cavité linéaire de longueur L supporte des modes stationnaires vérifiant L=mλ/2, soit des fréquences ν_m=mc/(2L) espacées de c/(2L) : pour L=30 cm, cet espacement est 500 MHz. Le gain doit dépasser les pertes par aller-retour pour l'oscillation. Les interféromètres comme celui de Michelson exploitent cette même cohérence : le nombre de franges suit les variations de chemin optique, comme lors de la mesure en cellule gazeuse.

Un faisceau étroit présente une atténuation $I=I_0e^{-\mu x}$ et une couche de demi-valeur $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

Trois couches de demi-valeur transmettent 1/8. Ce modèle exclut le renforcement par diffusion vers le détecteur. Pour une cavité laser vide linéaire, les modes longitudinaux adjacents sont séparés par $c/(2L)$. Un gain stimulé net nécessite $N_2/g_2>N_1/g_1$ ; le modèle simplifié $N_2>N_1$ suppose des dégénérescences égales.

Attribuer une portée définie aux photons ou une loi exponentielle unique aux particules chargées, et oublier que les populations à deux niveaux à l'équilibre ne peuvent pas s'inverser. Vérifier quel modèle d'interaction requiert l'espèce du faisceau.

couche à demi-valeur : Épaisseur de matériau qui réduit de moitié un faisceau atténué exponentiellement, égale à ln2/μ.

inversion de population : État hors équilibre comportant plus de population au niveau laser supérieur qu'au niveau inférieur, permettant une émission stimulée nette.

Rotating a crystal in an X-ray beam maps its atomic planes, because constructive reflection happens only at discrete angles.

Prerequisites: 8, 36.

• Apply the Bragg condition 布拉格条件 to find plane spacings or diffraction angles
• Estimate free-electron Fermi energy 费米能 and Fermi temperature
• Distinguish electronic and lattice heat-capacity contributions

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

Bragg diffraction uses angle theta from the crystal plane, not from its normal.

Low-temperature metal heat capacity has separate electronic and lattice terms: A plot of C/T against T squared has intercept gamma and slope beta. A straight line identifies this model's regime.

Measuring θ from the plane normal instead of the plane, or assigning the whole low-T heat capacity to electrons. The sine condition and the two-term decomposition are where these calculations fail.

Bragg condition: Constructive reflection from lattice planes when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane.

Fermi energy: The highest occupied electron energy at zero temperature in the free-electron model.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

Écrire le laplacien d'une fonction radiale comme f″ omet un terme ; l'opérateur appartient aux coordonnées, pas au symbole.

Prérequis : Algèbre, dérivées et composantes vectorielles.

• Utiliser la divergence et le laplacien dans le système de coordonnées choisi par la symétrie
• Résoudre un problème simple de conditions aux limites à modes séparés
• Vérifier la convergence, les unités et la stabilité d'une mise à jour numérique originale

Choisir les coordonnées par symétrie avant d'écrire les opérateurs. Pour une fonction radiale en coordonnées sphériques, ∇²f=f″+(2/r)f′, et la divergence d'un champ radial A=A_r r̂ est (1/r²)d(r²A_r)/dr. Vérification : A=k r̂/r² a pour divergence (1/r²)dk/dr=0 loin de l'origine, et f=1/r satisfait ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 loin de l'origine. Les formes cartésiennes s'appliquent uniquement aux dépendances cartésiennes.

La séparation de variables transforme un problème aux limites en modes ordinaires. Pour une corde fixée aux deux extrémités, écrire u=X(x)T(t) ; l'équation des ondes donne X″/X=(1/c²)T″/T=−k², les extrémités fixes imposent X=sin(nπx/L), et les fréquences autorisées sont ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Chaque mode doit satisfaire les conditions aux limites avant toute somme sur les modes.

Une mise à explicite d'Euler pour y′=−λy est y_{n+1}=(1−λh)y_n, bornée lorsque |1−λh|≤1, c'est-à-dire 0<h≤2/λ for λ>0 ; une décroissance asymptotique nécessite 0<h<2/λ. Avec λ=10 /s, h ne doit pas dépasser 0.2 s ; h=0.25 s multiplie par −1.5 à chaque étape et diverge avec signe alterné. La stabilité est une propriété de la récurrence, pas de la solution vraie.

Vérifiez une réponse numérique de trois manières avant de la faire confiance : les unités de chaque terme (λh doit être sans dimension), la convergence sous raffinement (divisez h par deux et comparez ; l'erreur d'Euler explicite est du premier ordre) et un cas limite avec une solution exacte connue. Pour y′=−4y avec y0=8 et h=0.2, cinq étapes donnent 8×0.2⁵=0.00256 contre la valeur exacte 8e^(−4)≈0.1465 : stable mais inexacte, il faut donc affiner.

Un champ radial sphérique a une divergence

Pour $A_r=Cr$, cela donne 3C, pas C. Les extrémités de corde fixes nécessitent $X(0)=X(L)=0$, d'où $X_n=\sin(n\pi x/L)$ avec un entier positif n. Euler pour $\dot y=-\lambda y$ donne $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Pour h positif, la stabilité absolue bornée permet $h\leq2/\lambda$; la décroissance vers zéro exige l'inégalité stricte $0<h<2/\lambda$. À l'extrémité supérieure, la solution numérique alterne sans décroître. La stabilité ne garantit pas la précision.

Appliquer le laplacien cartésien à une fonction radiale, sommer des modes qui violent les conditions aux limites, ou qualifier une exécution bornée de convergente sans affiner le pas. Associer l'opérateur, les conditions aux limites et la condition de stabilité au problème réel.

séparation des variables : Résolution d'une équation aux dérivées partielles en écrivant l'inconnue comme un produit de facteurs à une seule variable.

condition de stabilité : Restriction sur le pas qui empêche une récurrence numérique d'amplifier les erreurs.