QM · Quantum mechanics and atomic physics

Une particule dans une boîte ne peut avoir une énergie cinétique fondamentale nulle. Son confinement modifie les états autorisés.

Prérequis : 24, 37, 38, 39.

• Utiliser les fonctions d'onde, les opérateurs et les probabilités de mesure
• Résoudre les modèles standards d'états liés et raisonner sur le tunnelnage
• Appliquer les principes du moment cinétique, de la spin et des spectres atomiques

Une fonction d'onde doit satisfaire les conditions aux limites du modèle et avoir une probabilité totale égale à un : intégrer |ψ(x)|² sur le domaine autorisé. Pour des états orthonormés φ_j, une superposition ψ=Σc_jφ_j a pour carré de norme Σ|c_j|² car les termes croisés s'intègrent à zéro. Ainsi, une superposition équivalente de N états orthonormés a une amplitude de coefficient 1/sqrt(N). La probabilité de trouver une énergie constitutive est |c_j|², et non c_j. Les phases relatives peuvent affecter les probabilités de position même lorsque les probabilités d'énergie restent inchangées.

Un observable est représenté par un opérateur hermitien. Ses valeurs propres sont réelles, et un état normalisé donne une valeur moyenne ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. L'espérance est une moyenne sur des préparations répétées, et non nécessairement le résultat d'une mesure unique. Si A satisfait une identité polynomiale, l'appliquer à un état propre : pour A⁴=I, une valeur propre réelle doit être +1 ou −1. Une racine quatrième complexe est exclue par l'hermiticité, bien qu'elle résolve le polynôme.

Pour un puits infini 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 permet les modes sinusoïdaux sin(nπx/L), avec n=1,2,… . Leurs énergies sont E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), donc l'état fondamental n'est pas nul et doubler L divise chaque énergie par quatre. L'expression équivalente en h est n²h²/(8mL²) ; ne jamais substituer h pour $\hbar$ sans son facteur 2π. Un potentiel fini permet plutôt des queues exponentielles, et une onde voyageuse dans une région classiquement autorisée présente une dépendance spatiale oscillatoire plutôt qu'exponentiellement décroissante.

Les opérateurs commutent lorsque [A,B]=AB−BA=0 ; les observables compatibles peuvent avoir une base propre commune. Puisque l'énergie cinétique p²/(2m) est une fonction de p, elle commute avec p. Un potentiel dépendant de la position rend généralement H=p²/(2m)+V(x) incompatible avec p. Le moment cinétique obéit à [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z et aux permutations cycliques, tandis que J² commute avec chaque composante. Les transitions atomiques échangent une énergie photonique positive égale à une différence de niveau ; le moment cinétique et les règles de sélection spécifiques au mécanisme restreignent quelles transitions se produisent.

Un puits infini s'étend de 0 à L. L'annulation de la fonction d'onde aux deux extrémités donne

Préparer $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. L'orthogonalité rend sa norme égale à un. Les mesures d'énergie donnent E1 ou 4E1 avec probabilité égale : Cette moyenne n'est pas un résultat d'énergie simple autorisé. La phase relative évolue dans le temps, ainsi une superposition d'énergies différentes n'est pas un état stationnaire.

Un état stationnaire peut avoir une énergie non nulle même si sa densité de probabilité est indépendante du temps.

normalisation : Rendre la probabilité totale égale à un.

opérateur : Une action mathématique représentant un observable.