AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · Sujet 9

9.1

Mécanique hamiltonienne et mise à l'échelle astrophysique

Les méthodes énergétiques relient un oscillateur à ressort et une orbite, mais leurs coordonnées et hypothèses physiques diffèrent.

Prérequis : 26, 41.

Construire un hamiltonien simple
Utiliser les équations canoniques
Appliquer les mises à l'échelle gravitationnelles et radiatives

Vocabulaire Entrainer

English	Français
canonical momentum/kəˈnɒnɪkl məʊˈmentəm/	moment canonique
luminosity/ˌluːmɪˈnɒsɪti/	luminosité

9.2

Choisir le système et le modèle

La quantité de mouvement canonique est p=∂L/∂qdot. La transformée de Legendre H=p qdot−L donne un hamiltonien lorsque les vitesses peuvent s'exprimer en fonction des coordonnées et des quantités de mouvement.

9.3

Utiliser la relation régissante

Les équations de Hamilton sont qdot=∂H/∂p et pdot=−∂H/∂q. Pour un oscillateur ordinaire H=p²/(2m)+kq²/2, celles-ci reproduisent l'équation de Newton.

9.4

Appliquer les conditions

Pour une orbite gravitationnelle circulaire v²=GM/r et période²=4π²r³/(GM). Les hypothèses incluent une masse centrale dominante et une approximation circulaire ; les orbites elliptiques utilisent le demi-grand axe dans la loi de Kepler. Pour un satellite circulaire de masse m, le module du moment cinétique est mrv=m sqrt(GMr), donc des satellites identiques ont L proportionnel à sqrt(r). Un rapport de rayons 9 donne donc un rapport de moment cinétique 3, tandis que le rapport de périodes est 27. Cette distinction découle de la même relation de force centripète ; ne pas utiliser l'échelle de période pour le moment cinétique.

9.5

Vérifier la conclusion

La luminosité et le flux reçu obéissent à F=L/(4πd²) pour un rayonnement isotrope. Un corps noir a L=4πR²σT⁴ ; son pic spectral se décale inversement avec la température. Distinguer la luminosité intrinsèque de la luminosité observée.

9.6

Méthode résolue

Pour un lagrangien régulier $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$, la quantité de mouvement canonique est

$$p=\partial L/\partial\dot q=m\dot q,\qquad \dot q=p/m.$$

Substituer la vitesse dans la transformée de Legendre :

$$H=p\dot q-L=p^2/(2m)+kq^2/2.$$

$$\dot q=\partial H/\partial p=p/m,\qquad\dot p=-\partial H/\partial q=-kq.$$

La combinaison de ces éléments donne $\ddot q=-(k/m)q$. L'inversion du moment linéaire en vitesse est requise ; elle ne peut être supposée pour tout lagrangien contraint ou singulier.

Mécanique hamiltonienne et mise à l'échelle astrophysique : schéma original GRE — Mécanique hamiltonienne et mise à l'échelle astrophysique : schéma pédagogique original GRE.

9.7

Vérifier les conditions et le vocabulaire

Un hamiltonien équivaut à l'énergie mécanique totale seulement sous les hypothèses pertinentes du système ; ne pas déduire cela universellement uniquement de son nom.

moment canonique : Dérivée du lagrangien par rapport à une vitesse généralisée.

luminosité : Puissance totale émise, distincte du flux observé.