QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

Deux électrons peuvent partager une même orbite spatiale si leur état spatial-total (position + spin) présente l'antisymétrie requise.

Prérequis : 5, 36.

• Construire des états spatiaux symétriques et antisymétriques à deux orbitites normalisés
• Combiner la symétrie spatiale et spin pour produire les états autorisés à deux électrons
• Compter les occupations d'états complets et interpréter les corrélations induites par l'échange

Pour des particules identiques, l'échange de chaque coordonnée et étiquette de spin modifie une fonction d'onde totale fermionique par un signe moins et laisse une bosonique inchangée. Les cases mathématiques 1 et 2 désignent des arguments, pas des particules permanentement distinguables. Pour deux orbitites orthonormés distincts a et b, les combinaisons spatiales sont Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. L'orthogonalité rend ces combinaisons normalisées et donne les valeurs propres d'échange ±1. Si les deux orbitites sont identiques, la combinaison antisymétrique est identiquement nulle et la formule symétrique affichée n'est pas correctement normalisée ; l'état spatial à double occupation est simplement a(1)a(2). Vérifiez toujours la normalisation lorsque les orbitites ou leurs chevauchements changent.

Deux particules de spin-1/2 possèdent un singulet de spin (↑↓−↓↑)/√2 avec spin total S=0 ; il est antisymétrique sous échange. Les trois triplets ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 et ↓↓ ont S=1 et sont symétriques. Les électrons nécessitent un état total antisymétrique, donc un état spatial symétrique s'associe au singulet, tandis qu'un état spatial antisymétrique s'associe à un triplet. Deux électrons dans la même orbite spatiale peuvent former le singulet, mais ne peuvent pas y former un triplet dans ce simple état à deux électrons. L'exclusion de Pauli empêche l'occupation du même état complet à une particule, incluant le spin. Des électrons de spin opposé dans une orbite constituent deux états complets différents ; décrire l'exclusion comme « un électron par orbite » omet cette distinction.

Pour deux orbitites spatiaux a,b et deux états de spin chacun, il y a quatre états complets à une particule. Deux électrons identiques ont choose(4,2)=6 motifs d'occupation : deux singulets à double occupation, un singulet à orbitites différents, et trois triplets à orbitites différents. Pour trois orbitites spatiaux, il y a six états complets et choose(6,2)=15 motifs. Le comptage des assignations ordonnées surestime les particules identiques. Les bosons sans spin dans deux orbitites ont en revanche trois occupations : les deux dans a, un dans chacun, les deux dans b. Ces comptes supposent aucune restriction énergétique supplémentaire et les états à une particule accessibles mentionnés ; restreindre l'énergie totale ou la projection du spin modifie le sous-ensemble autorisé.

Un état spatial antisymétrique satisfait Ψ_−(x,x)=0, donc sa densité de position conjointe s'annule sur la ligne de coïncidence. Un état spatial symétrique n'a pas besoin de s'y annuler. Cette différence provient d'une interférence entre les amplitudes échangées, même pour des particules non interactives ; il ne s'agit pas d'une force répulsive classique imposée séparément. Pour un puits de longueur L, choisissez a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). En x₁=L/4 et x₂=3L/4, l'amplitude spatiale antisymétrique est −2/L et sa densité est 4/L² ; l'amplitude symétrique est nulle. Il s'agit de densités de probabilité conjointes par rapport à deux longueurs, et non de probabilités sans dimension en des points exacts. La compatibilité physique du spin détermine toujours quelle combinaison spatiale correspond à chaque état électronique total.

Pour des orbitales différentes et orthonormées a et b, les états spatiaux symétriques et antisymétriques sont

Un état total à deux électrons doit être antisymétrique sous échange simultané de la position et du spin. Ainsi, l'espace symétrique s'associe au singulet de spin ; l'espace antisymétrique s'associe au triplet de spin. Si les deux électrons occupent l'orbitale a, le produit spatial est symétrique et seul le singulet de spin est autorisé. La formule de normalisation pour des orbitales différentes ne peut pas simplement être réutilisée lorsque a = b.

Échangez toutes les arguments spatiaux et de spin. Ne pas confondre espace antisymétrique avec état total antisymétrique, ou utiliser le facteur √2 d'orbitales distinctes pour deux orbitales identiques.

Singulet de spin : État antisymétrique à deux spins-1/2 avec un spin total S=0.

Déterminant de Slater : Construction antisymétrique fermionique à partir d'états à une particule complets ; la duplication des états le fait s'annuler.