GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · Sujet 37
Un décalage d'énergie du premier ordre nul peut coexister avec un changement d'état et un décalage d'ordre supérieur non nul.
Prérequis : 5, 24.
| English | Français |
|---|---|
| first-order energy shift/fɜːst ˈɔːdə ˈenədʒi ʃɪft/ | décalage d'énergie du premier ordre |
| degenerate perturbation theory/dɪˈdʒenəreɪt pətəˈbeɪʃn ˈθɪəri/ | théorie des perturbations dégénérée |
| degenerate subspace | sous-espace dégénéré |
Posons H=H₀+λW, où λ est un petit paramètre sans dimension et les états propres de H₀ sont connus et normalisés. Pour un niveau non dégénéré n, la correction d'énergie du premier ordre est λ⟨n|W|n⟩. Dans l'espace positionnel, c'est λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx pour un potentiel multiplicatif, avec intégration sur le domaine autorisé. Une valeur de potentiel en un point n'est pas une valeur moyenne ; la densité de probabilité de l'état pondère tout le domaine. Pour un puits infini 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). La réflexion par rapport à son centre donne ⟨x⟩=L/2, donc un potentiel ajouté faible γx a un décalage γL/2 pour chaque niveau de puits non dégénéré au premier ordre. γ a pour unités l'énergie par longueur.
Pour une perturbation impaire par rapport au centre, telle que γ(x−L/2), la densité de probabilité d'un état propre du puits non perturbé est paire, donc sa valeur diagonale s'annule. Une perturbation quadratique centrée η(x−L/2)² donne plutôt un décalage ηL²[1/12−1/(2π²n²)], qui est positif pour η>0 et dépend de n. La parité rend l'intégrale du premier ordre nulle uniquement pour la symétrie spécifique de l'état et de l'opérateur. Les éléments de matrice hors diagonale peuvent toujours modifier la fonction d'onde. Ne transformez pas une annulation de symétrie en affirmation que toute correction d'énergie s'annule ou que l'état original reste exact.
Pour un état non dégénéré, le mélange dominant d'un autre état non perturbé m est proportionnel à λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). La condition de petitesse utile compare donc les éléments de matrice de couplage aux séparations de niveaux pertinentes, et non seulement à un zéro énergétique absolu arbitraire. Au second ordre, la correction d'énergie contient Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Pour l'état non dégénéré le plus bas, tous ces dénominateurs sont négatifs, donc la correction du second ordre est non positive dans ce modèle. Près d'une dégénérescence, un petit dénominateur invalide le développement non dégénéré ; utilisez un sous-espace couplé au lieu de diviser par zéro.
Si un niveau de H₀ est exactement dégénéré, choisissez une base orthonormée au sein de ce sous-espace et formez la matrice hermitienne de la perturbation là. Ses valeurs propres sont les décalages d'énergie du premier ordre, et ses vecteurs propres spécifient les combinaisons qui diagonalisent le fractionnement principal. Pour un sous-espace à deux états avec perturbation ε[[2,1],[1,2]], les combinaisons symétrique et antisymétrique normalisées ont des décalages 3ε et ε. Lire uniquement les deux entrées diagonales prédirait incorrectement deux décalages de 2ε. Un scalaire commun à l'identité déplace les deux états également et ne brise pas leur dégénérescence ; les couplages hors sous-espace peuvent être importants au second ordre.
Un sous-espace dégénéré nécessite une diagonalisation de matrice avant les décalages du premier ordre. Supposons que la perturbation restreinte à deux états soit $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.
Utilisez des poids d'état normalisés, conservez les unités de perturbation et diagonalisez un bloc dégénéré. L'annulation du premier ordre et l'invariance exacte sont des affirmations différentes.
décalage d'énergie au premier ordre : Correction de perturbation faible principale donnée par la valeur attendue de l'état non perturbé.
théorie des perturbations dégénérées : Méthode qui diagonalise d'abord la perturbation dans un sous-espace dégénéré non perturbé.
Traversez-le étape par étape, avec des exercices à vérification instantanée.
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