TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

Un niveau d'énergie fermionique peut contenir plusieurs particules s'il possède plusieurs états distincts ; la règle d'exclusion s'applique par état complet.

Prérequis : 20, 35, 38.

• Calculer l'occupation moyenne par état quantique complet pour les fermions et les bosons
• Compter les occupations autorisées pour des particules identiques et identifier la limite classique diluée
• Comparer la capacité calorifique du mode quadratique classique avec la réponse d'un oscillateur quantique

Pour des particules non interagissantes en équilibre thermique et d'échange de particules, utiliser le potentiel chimique μ et x=(ε−μ)/(kBT). L'occupation moyenne d'un état complet est n_F=1/(e^x+1) pour les fermions et n_B=1/(e^x−1) pour les bosons. L'occupation fermionique de cet état est zéro ou un ; sa moyenne se situe entre ces deux valeurs. L'occupation bosonique peut excéder un. Un niveau de dégénérescence g a une occupation totale moyenne égale à g fois l'occupation d'un seul état lorsque ses états partagent la même énergie. Compter le spin comme partie d'un état complet. Le dénominateur de Bose nécessite ε>μ pour l'expression finie ordinaire, avec une limite de l'état fondamental traitée séparément. Pour les photons à l'équilibre, μ=0 car le nombre de photons n'est pas conservé ; ne pas fixer μ=0 pour tout gaz de particules matérielles.

Compter les motifs d'occupation plutôt que d'étiqueter les particules identiques. Deux fermions identiques distribués parmi quatre états complets distincts ont choose(4,2)=6 motifs autorisés. Deux bosons identiques parmi ces états ont choose(4+2−1,2)=10 motifs car ils peuvent tous deux partager un même état. Deux particules distinguables étiquetées auraient 4²=16 affectations. Ce sont des modèles de comptage différents, pas trois réponses interchangeables à la même spécification. Si une question fournit une dégénérescence de spin, décider d'abord si le nombre indiqué compte les états complets ou seulement les niveaux orbitaux. Une interdiction de Pauli sur deux états complets identiques n'interdit pas les fermions de spins opposés dans une même orbite spatiale.

Lorsque x est grand et positif, l'occupation est faible et les deux dénominateurs sont dominés par e^x : n_F≈n_B≈e^(−x), la limite diluée de Maxwell–Boltzmann. À x=ln4, les moyennes sont 1/5 pour les fermions, 1/3 pour les bosons et 1/4 dans l'approximation classique ; la différence reste significative. Un grand nombre total de particules seul ne justifie pas les statistiques classiques : la densité, la température et les états accessibles contrôlent l'occupation. Pour les fermions à basse T, les états sous μ deviennent presque occupés et ceux au-dessus presque vides. À ε=μ, un état fermionique a une moyenne de un demi ; insérer cette valeur dans la formule de Bose ordinaire produirait un dénominateur divergent et nécessiterait un traitement différent de la limite.

L'équipartition classique attribue kBT/2 d'énergie moyenne à chaque terme quadratique indépendant dans un hamiltonien à l'équilibre. Un gaz idéal monoatomique a trois termes de translation, donnant U=3NkBT/2 et C_V=3NkB/2. Un oscillateur harmonique classique unidimensionnel a des termes cinétique et potentiel, donnant une moyenne de kBT et C=kB. Pour un oscillateur quantique à espacement fixe ε=$\hbar$ω, l'énergie thermique au-dessus de son point zéro indépendant de la température est ε/(e^x−1), où x=ε/(kBT), et C/kB=x²e^x/(e^x−1)². À haute T, il approche la valeur classique ; à basse T, l'excitation gèle et C→0. Une énergie de point zéro ε/2 déplace U mais pas C. Les contributions rotationnelles/vibrationnelles moléculaires nécessitent également de vérifier leurs échelles d'énergie avant d'attribuer des termes quadratiques classiques.

Le numéro d'occupation se réfère à un état complet à une particule. Pour $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

L'approximation classique diluée donne $e^{-x}=1/4$ ; ce n'est pas exact ici. Un niveau de dégénérescence g a une occupation totale moyenne de $g\bar n$, donc un niveau fermionique peut contenir plus plus d'une particule alors que chaque état complet respecte encore l'exclusion.

Excluez deux fermions d'un état complet, et non d'un niveau d'énergie dégénéré entier. Indiquez quelle x est utilisée ; les occupations du potentiel chimique et les formules d'excitation d'oscillateurs fixes sont des modèles différents.

occupation moyenne : Nombre moyen de particules dans un état quantique complet ou un groupe d'états spécifié, en moyenne d'ensemble.

équipartition : Règle classique à l'équilibre attribuant kBT/2 à chaque terme quadratique indépendant du hamiltonien.