TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

Un gaz peut avoir une vitesse moyenne nulle alors que ses particules ont une vitesse moyenne substantielle. Les directions opposées s'annulent dans la moyenne vectorielle ; la vitesse ne possède pas de signe.

Prérequis : 4, 35.

• Normaliser les densités continues de vitesse et interpréter leurs unités
• Distinguer les moyennes vectorielles, les moyennes de vitesse et les vitesses les plus probables
• Utiliser les poids de Boltzmann avec dégénérescence et une fonction de partition

Pour une densité de probabilité de vitesse continue f(v), f(v)dv approxime la probabilité dans un intervalle étroit et ∫de0à∞ f(v)dv=1. La densité a des unités inverse-vitesse et n'est pas elle-même une probabilité. Si P(v)dv compte les particules dans cet intervalle, son aire est le nombre total de particules N et f=P/N. Un trapèze croissant sur une largeur v0, restant plat sur une largeur 2v0, puis décroissant sur une largeur v0 a une aire de 3av0 pour une hauteur a. Normaliser par l'aire avant de calculer une moyenne ou d'interpréter une hauteur tracée.

Dans un gaz isotrope en équilibre sans écoulement global, chaque distribution de composante de vitesse est symétrique, donc ⟨v_vector⟩=0. La vitesse v=|v_vector| est non négative et a une moyenne positive. Pour un gaz idéal classique, la densité de Maxwell est proportionnelle à v²exp[−mv²/(2kBT)]. Son mode est sqrt(2kBT/m), sa moyenne est sqrt(8kBT/(πm)) et sa vitesse quadratique moyenne est sqrt(3kBT/m). Ce sont trois quantités différentes. Le facteur v² rend la densité de vitesse nulle en v=0, bien que la densité du vecteur vitesse soit maximale au vecteur nul.

Pour une distribution continue, la probabilité d'une vitesse exacte spécifiée est nulle ; les probabilités non nulles se réfèrent aux intervalles. Cette affirmation n'implique pas qu'il n'y ait pas de particules avec des vitesses arbitrairement faibles, ni qu'un détecteur à résolution finie ne puisse pas enregistrer un bin zéro. La température change l'échelle de la distribution de Maxwell : les vitesses caractéristiques sont proportionnelles à sqrt(T/m). Doubler la température ne double pas la vitesse, et les particules plus lourdes sont en moyenne plus lentes à même température.

Dans un ensemble canonique à la température T, un état d'énergie E_i a un poids exp(−E_i/(kBT)). Diviser par la fonction de partition Z=Σexp(−E_i/(kBT)) pour obtenir les probabilités. Si un niveau d'énergie a une dégénérescence g_i, sa probabilité de niveau est g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Une énergie égale par état n'implique pas une probabilité égale par niveau lorsque les dégénérescences diffèrent. Pour un niveau fondamental de dégénérescence 1 et un niveau excité de dégénérescence 2 à Δ=kBT ln2, le poids total excité est 2e^(−ln2)=1 : les deux niveaux ont chacun une probabilité de 1/2. Les hypothèses classiques de Maxwell–Boltzmann diffèrent des occupations quantiques de Bose–Einstein et Fermi–Dirac.

Un ensemble canonique a une dégénérescence fondamentale 1 et une dégénérescence excitée g à un écart Delta.

Avec g = 4 et $\Delta=k_BT\ln2$, Ceci est la probabilité pour le niveau excité entier. Chacun de ses quatre états a une probabilité de 1/6.

Une hauteur de densité n'est pas une probabilité. Vitesse moyenne, vitesse moyenne (scalaire) et mode diffèrent ; inclure la dégénérescence avant de normaliser les probabilités de niveau.

densité de probabilité : Probabilité par unité d'une variable continue, dont l'intégrale donne la probabilité d'intervalle.

fonction de partition : Somme des poids statistiques servant à normaliser les probabilités d'un état d'équilibre.