RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

Deux observateurs peuvent désaccorder sur lequel de deux événements s'est produit en premier, et les deux ont raison.

Prérequis : 22.

• Transformer les séparations d'événements et distinguer la longueur propre des mesures simultanées des extrémités
• Appliquer l'addition relativiste des vitesses et vérifier un invariant à quatre vecteurs
• Classer le signe de l'intervalle pour ordonner les événements et exclure un contact causal

Utiliser la transformation de Lorentz avec le mouvement du cadre déclaré : si le cadre S′ se déplace à +v selon x par rapport à S, alors x′=γ(x−vt) et t′=γ(t−vx/c²) avec γ=1/sqrt(1−v²/c²). Appliquez-le aux séparations d'événements Δx et Δt, pas seulement aux coordonnées uniques. Deux événements simultanés dans S (Δt=0) situés à des endroits différents ont Δt′=−γvΔx/c² : l'événement situé plus loin dans la direction +x survient plus tôt dans S′. La simultanéité dépend du cadre, ce n'est pas une erreur de comptabilité.

La longueur d'une tige en mouvement doit être lue à partir des positions des extrémités au même instant du laboratoire (Δt=0). Alors Δx′=γΔx donne L=L0/γ où L0 est la longueur propre (cadre au repos). Lire les extrémités simultanément dans le cadre de la tige ne donne pas la longueur du laboratoire ; les deux conditions de lecture répondent à des questions différentes. Précisez le cadre et la condition de lecture avant de citer toute longueur.

L'intervalle s²=c²Δt²−Δx² (convention « moins-majoritaire », déclarée une fois) est invariant. s²>0 est temporel : un cadre existe où les événements sont co-localisés, et Δτ=s/c est le temps propre entre eux. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Les vitesses colinéaires s'additionnent comme u=(u′+v)/(1+u′v/c²) ; le dénominateur maintient u<c pour tout u′,v<c, et u′=c donne u=c exactement. L'énergie et la quantité de mouvement forment un quatre-vecteur avec l'invariant E²−p²c²=m²c⁴ : calculez-le dans n'importe quel cadre commode. Vérifiez chaque résultat dans la limite non relativiste, où la règle d'addition se réduit à u=u′+v et l'invariant se réduit à l'énergie au repos.

Deux événements de laboratoire ont Delta x = 900 m et Delta t = 2 microsecondes. Leur intervalle spatio-temporel est spatiale car c Delta t = 600 m est inférieur à Delta x. Un cadre qui les rend simultanés satisfait

Leur séparation dans ce cadre est $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. Aucun cadre ne peut placer ces événements spatio-temporels au même endroit.

Citer L=L0/γ sans la condition de position simultanée des extrémités, ou ajouter des vitesses comme u=u′+v à des vitesses relativistes. Une différence de simultanéité est physique, pas une erreur.

intervalle spatio-temporel : La combinaison invariante c²Δt²−Δx² sous la convention de signe déclarée, dont le signe classe une séparation d'événements.

longueur propre : La séparation des extrémités mesurée dans le cadre au repos de l'objet ; tout autre cadre doit lire les deux extrémités simultanément selon son propre temps.