MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

Écrire le laplacien d'une fonction radiale comme f″ omet un terme ; l'opérateur appartient aux coordonnées, pas au symbole.

Prérequis : Algèbre, dérivées et composantes vectorielles.

• Utiliser la divergence et le laplacien dans le système de coordonnées choisi par la symétrie
• Résoudre un problème simple de conditions aux limites à modes séparés
• Vérifier la convergence, les unités et la stabilité d'une mise à jour numérique originale

Choisir les coordonnées par symétrie avant d'écrire les opérateurs. Pour une fonction radiale en coordonnées sphériques, ∇²f=f″+(2/r)f′, et la divergence d'un champ radial A=A_r r̂ est (1/r²)d(r²A_r)/dr. Vérification : A=k r̂/r² a pour divergence (1/r²)dk/dr=0 loin de l'origine, et f=1/r satisfait ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 loin de l'origine. Les formes cartésiennes s'appliquent uniquement aux dépendances cartésiennes.

La séparation de variables transforme un problème aux limites en modes ordinaires. Pour une corde fixée aux deux extrémités, écrire u=X(x)T(t) ; l'équation des ondes donne X″/X=(1/c²)T″/T=−k², les extrémités fixes imposent X=sin(nπx/L), et les fréquences autorisées sont ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Chaque mode doit satisfaire les conditions aux limites avant toute somme sur les modes.

Une mise à explicite d'Euler pour y′=−λy est y_{n+1}=(1−λh)y_n, bornée lorsque |1−λh|≤1, c'est-à-dire 0<h≤2/λ for λ>0 ; une décroissance asymptotique nécessite 0<h<2/λ. Avec λ=10 /s, h ne doit pas dépasser 0.2 s ; h=0.25 s multiplie par −1.5 à chaque étape et diverge avec signe alterné. La stabilité est une propriété de la récurrence, pas de la solution vraie.

Vérifiez une réponse numérique de trois manières avant de la faire confiance : les unités de chaque terme (λh doit être sans dimension), la convergence sous raffinement (divisez h par deux et comparez ; l'erreur d'Euler explicite est du premier ordre) et un cas limite avec une solution exacte connue. Pour y′=−4y avec y0=8 et h=0.2, cinq étapes donnent 8×0.2⁵=0.00256 contre la valeur exacte 8e^(−4)≈0.1465 : stable mais inexacte, il faut donc affiner.

Un champ radial sphérique a une divergence

Pour $A_r=Cr$, cela donne 3C, pas C. Les extrémités de corde fixes nécessitent $X(0)=X(L)=0$, d'où $X_n=\sin(n\pi x/L)$ avec un entier positif n. Euler pour $\dot y=-\lambda y$ donne $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Pour h positif, la stabilité absolue bornée permet $h\leq2/\lambda$; la décroissance vers zéro exige l'inégalité stricte $0<h<2/\lambda$. À l'extrémité supérieure, la solution numérique alterne sans décroître. La stabilité ne garantit pas la précision.

Appliquer le laplacien cartésien à une fonction radiale, sommer des modes qui violent les conditions aux limites, ou qualifier une exécution bornée de convergente sans affiner le pas. Associer l'opérateur, les conditions aux limites et la condition de stabilité au problème réel.

séparation des variables : Résolution d'une équation aux dérivées partielles en écrivant l'inconnue comme un produit de facteurs à une seule variable.

condition de stabilité : Restriction sur le pas qui empêche une récurrence numérique d'amplifier les erreurs.