Opérateurs de coordonnées, modes séparés et mises à jour stables
Introduit| English | Sens |
|---|---|
| separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/ | méthode de séparation des variables |
| stability condition/stəˈbɪlɪti kənˈdɪʃn/ | condition de stabilité |
Une décision avant une réponse
- Écrire le laplacien d'une fonction radiale comme f″ fait disparaître un terme ; l'opérateur appartient au système de coordonnées, pas au symbole.
- Votre objectif : utiliser la divergence et le laplacien dans le système de coordonnées choisi par la symétrie.
Associer l'opérateur à la symétrie
- Choisir les coordonnées selon la symétrie avant d'écrire les opérateurs. Pour une fonction radiale en coordonnées sphériques, ∇²f=f″+(2/r)f′, et la divergence d'un champ radial A=A_r r̂ est (1/r²)d(r²A_r)/dr.
- Vérification : A=k r̂/r² a pour divergence (1/r²)dk/dr=0 loin de l'origine, et f=1/r satisfait ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 loin de l'origine. Les formes cartésiennes ne s'appliquent qu'aux dépendances cartésiennes.
For a radial function f(r) in spherical coordinates, the Laplacian is:
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Spherical radial dependence gives ∇²f=(1/r²)d(r²f′)/dr=f″+(2/r)f′.
Séparer les modes
- La séparation des variables transforme un problème aux limites en modes ordinaires. Pour une corde fixée aux deux extrémités, écrire u=X(x)T(t) ; l'équation des ondes donne X″/X=(1/c²)T″/T=−k².
- Les extrémités fixes imposent X=sin(nπx/L), et les fréquences autorisées sont ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Chaque mode doit satisfaire les conditions aux limites avant toute somme sur les modes.
The explicit Euler update y_(n+1)=(1−10×0.25)y_n for y′=−10y:
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The factor is −1.5; its magnitude exceeds 1 and its sign alternates.
Borne la pas de temps
- Une mise à jour explicite d'Euler pour y′=−λy est y_{n+1}=(1−λh)y_n, bornée lorsque |1−λh|≤1, c'est-à-dire 0<h≤2/λ for λ>0 ; une décroissance asymptotique nécessite 0<h<2/λ.
- Avec λ=10 /s, h ne doit pas dépasser 0.2 s ; h=0.25 s multiplie par −1.5 à chaque étape et diverge avec signe alterné. La stabilité est une propriété de la récurrence, pas de la solution exacte.
Vérification radiale : f=1/r donne f″+2f′/r=0 loin de l'origine. Une corde de L=0.5 m et c=100 m/s a f₁=c/(2L)=100 Hz. Stabilité d'Euler pour λ=10 /s nécessite h≤0.2 s ; raffiner y′=−4y avec y(0)=8 à t=1 s, de h=0.2 à 0.1 à 0.05 donne 0.00256, 0.0483, 0.0922, approchant la valeur exacte 0.1465.
A string fixed at both ends has L=0.5 m and wave speed 100 m/s. Its fundamental frequency is ____ Hz.
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f₁=c/(2L)=100/1=100 Hz.
Vérifier la réponse
- Vérifier une réponse numérique de trois manières avant de la faire confiance : unités de chaque terme (λh doit être sans dimension), convergence sous raffinement (diviser h par deux et comparer ; l'erreur d'Euler explicite est du premier ordre), et un cas limite avec une réponse exacte connue.
- Pour y′=−4y avec y0=8 et h=0.2, cinq étapes donnent 8×0.2⁵=0.00256 contre la valeur exacte 8e^(−4)≈0.1465 : stable mais inexacte, donc affiner.
Appliquer le laplacien cartésien à une fonction radiale, sommer des modes qui violent les conditions aux limites, ou qualifier une exécution bornée de convergente sans affiner le pas. Associer l'opérateur, les conditions aux limites et la condition de stabilité au problème réel.
Quelle réponse correspond à ce cas ?
Utiliser la divergence et le laplacien dans le système de coordonnées choisi par la symétrie
The field A=k r̂/r² has nonzero divergence at every point of space.
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Its divergence is zero away from the origin; all source strength sits at the origin as a distribution.
Conserver les distinctions
- séparation des variables — Résolution d'une équation aux dérivées partielles en écrivant l'inconnue comme produit de facteurs à une seule variable.
- condition de stabilité — Restriction sur le pas de temps qui empêche une récurrence numérique d'amplifier les erreurs.
- Utiliser la divergence et le laplacien dans le système de coordonnées choisi par la symétrie.
- Résoudre un problème simple de valeurs aux limites séparé en mode.
- Vérifier la convergence, les unités et la stabilité d'une mise à jour numérique originale.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulté 2/5 · 140 pièces + un petit bonus lors de la première réussite aujourd'hui
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
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The order follows the stated process; check each stage before the next.