WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

Une forme d'onde peut contenir de nombreux harmoniques sans aucun terme sinusoidal. La symétrie de réflexion indique quels coefficients s'annulent avant l'intégration.

Prérequis : 3, 47.

• Utiliser l'orthogonalité pour identifier les coefficients de Fourier
• Exploiter la parité paire et impaire sans exclure le terme constant
• Relier les amplitudes des composantes aux interférences et aux formes d'onde physiques

Pour une fonction réelle 2π-périodique suffisamment régulière, écrivez f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. Les coefficients sont a_n=(1/π)∫de−πàπ f(x)cos(nx)dx et b_n=(1/π)∫de−πàπ f(x)sin(nx)dx, avec a0 utilisant n=0. Les cosinus et sinus sont orthogonaux sur une période complète. La moyenne vaut a0/2, et non a0 ; conservez le terme constant même lorsque tous les coefficients de fréquence non nulle d'une famille s'annulent.

Si f est paire par rapport à l'origine choisie, f(x)sin(nx) est impaire et son intégrale symétrique est nulle, donc tous les b_n s'annulent. Si f est impaire, sa moyenne et tous les a_n s'annulent. La symétrie dépend de l'origine : déplacer le même signal physique peut mélanger les coefficients sinus et cosinus tout en laissant ses fréquences harmoniques inchangées. Une forme d'onde triangulaire non négative symétrique autour de x=0 peut donc avoir des harmoniques cosinus et une moyenne non nulle sans aucun harmonique sinus.

Pour la prolongation 2π-périodique de f(x)=|x| sur [−π,π], la moyenne est π/2. En intégrant x cos(nx) par parties sur [0,π], on obtient a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), donc les coefficients cosinus d'ordre pair sont nuls et ceux d'ordre impair valent −4/(πn²). Tous les coefficients sinus sont nuls. La décroissance 1/n² reflète une fonction continue présentant une discontinuité de pente. Une discontinuité de saut entraîne souvent une décroissance plus lente des coefficients et un dépassement de somme partielle ; ne tirez pas de conclusion identique sur le comportement de convergence pour chaque forme d'onde.

Une somme de Fourier additionne les amplitudes avec leurs phases. Pour des amplitudes monochromatiques cohérentes égales A se rencontrant avec une différence de phase φ, l'amplitude résultante au carré est 2A²(1+cosφ), donc l'intensité est 2I0(1+cosφ). Elle atteint 4I0 en phase et zéro à φ=π. La moyenne incohérente élimine le terme croisé, donnant 2I0. Des harmoniques à différentes fréquences peuvent composer une forme dans le temps ; leur somme instantanée n'est pas la somme de leurs intensités individuelles. Identifiez si la question porte sur une forme d'onde, une puissance moyenne temporelle ou une interférence cohérente.

Pour une fonction périodique réelle, utilisez $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. La symétrie paire annule tous les coefficients de sinus car l'intégrande est impair. Pour $f(x)=|x|$ sur $[-\pi,\pi]$,

L'intégration par parties fournit la seconde expression. La moyenne est $a_0/2=\pi/2$; seuls les harmoniques cosinus impairs subsistent. Un cuspid ne justifie pas l'omission du terme constant.

La symétrie paire supprime les coefficients sinus, pas le terme constant ni tous les harmoniques cosinus. Vérifier l'origine de la symétrie et si les champs sont cohérents avant d'additionner les intensités.

orthogonalité : Une intégrale nulle du produit de deux fonctions de base distinctes sur l'intervalle spécifié.

coefficient de Fourier : Poids d'un composant de base sinus, cosinus ou constant dans un développement périodique.