Geometri dan ukuran

AQA GCSE Matematika 8300 topik 3.4 (spesifikasi Versi 1.0, 12 September 2014, ujian pertama 2017). Baris Fondasi G1–G25 berjalan dalam tiga tingkatan; penambahan khusus Higher meliputi faktor skala pembesaran negatif (G7), menjelaskan perubahan dan invariansi di bawah kombinasi transformasi (G8), membuktikan teorema lingkaran standar (G10), menyusun denah dan elevasi (G13), luas permukaan dan volume bola, limas, kerucut, dan paduan padat termasuk frustum (G17), serta tangga kemiripan $k : k^2 : k^3$ (G19), segitiga siku-siku dan umum dalam 3D (G20), aturan sinus dan kosinus (G22), $\tfrac12 ab\sin C$ (G23) dan vektor geometris pembuktian (G25). Set Higher Juni 2024 menyediakan jangkar terverifikasi di bawah ini.

Wajib tahu untuk topik 3.4:

Gunakan istilah dan notasi konvensional — titik, garis, titik sudut, sisi, bidang, garis sejajar, garis tegak lurus, sudut siku-siku, poligon, poligon beraturan (semua sisi dan semua sudut sama) serta poligon dengan simetri pantulan dan/atau rotasi (G1); beri label sisi dan sudut segitiga dengan cara standar ($AB$ sisi, sudut $ABC$ di titik sudut $B$) dan buat diagram dari deskripsi tertulis. Sudut bersesuaian dan sudut berseberangan memerlukan garis sejajar yang disebutkan, jangan gunakan "sudut-Z" (G3): sudut pada titik berjumlah $360^\circ$, pada garis $180^\circ$, sudut bertolak belakang adalah sama; turunkan jumlah sudut segitiga $180^\circ$ (garis melalui titik sudut sejajar dengan alas yang berlawanan memindahkan kedua sudut alas ke garis lurus) dan oleh karena itu jumlah sudut dalam poligon $(n-2) \times 180^\circ$ — sebuah limas lima belah terbagi menjadi tiga segitiga: $540^\circ$; heksagon beraturan memiliki sudut dalam $120^\circ$ dan putaran luar sebesar $60^\circ$; putaran luar $45^\circ$ berarti 8 sisi.

Turunkan dan terapkan sifat serta definisi bangun empat sisi khusus (G4): segi empat sama memiliki 4 sisi sama, 4 sudut siku-siku, 4 garis simetri dan urutan rotasi 4; persegi panjang bukan persegi memiliki sisi berhadapan sama dan diagonal yang saling membagi dua sama; sebuah belah ketupat memiliki 4 sisi sama dan diagonal yang saling tegak lurus dan membagi dua; jajar genjang memiliki sisi berhadapan sama (diagonal membaginya menjadi dua segitiga kongruen berdasarkan ASA); layang-layang memiliki dua pasang sisi bersebelahan yang sama; trapesium memiliki satu pasang sisi sejajar sisi. Segitiga: sama kaki (dua sisi sama, sudut alas sama), sama sisi, sembarang, siku-siku, lancip, tumpul.

Gunakan konstruksi penggaris dan kompas standar (tambahan fondasi, G2): yang bagian tegak lurus dari sebuah segmen (busur sama dari kedua ujung, jari-jari lebih dari setengah segmen), garis tegak lurus dari atau pada titik tertentu, dan bagi dua sudut yang diberikan; bangun sudut $60^\circ$ dari dua jari-jari sama panjang (segi tiga sama sisi). Gunakan ini untuk mengonstruksi gambar yang diberikan dan menyelesaikan masalah lokus — titik-titik yang berjarak sama dari dua titik terletak pada bagian bagi dua; pada jarak tetap $r$ dari sebuah titik, pada lingkaran; berjarak sama dari dua garis, pada bagian sudut. Jarak tegak lurus dari titik ke garis adalah terpendek (rute miring apa pun merupakan hipotenusa yang lebih panjang). Biarkan busur konstruksi tetap sebagai bukti.

Identifikasi, deskripsikan, dan bangun bentuk-bentuk kongruen serta serupa melalui rotasi, pencerminan, translasi, dan pembesaran (G7), termasuk pada sumbu koordinat; tambahan dasar menambahkan faktor skala pecahan; Higher menambahkan faktor negatif. Untuk pusat $C = (1,1)$, titik $P = (3,2)$ dan faktor $k$, citranya adalah $C + k(P - C)$: $k = 2$ menghasilkan $(5,3)$, $k = \tfrac12$ menghasilkan $(2, 1.5)$, dan Higher $k = -2$ menghasilkan $(-3,-1)$, di sisi berlawanan dari pusat. Higher (G8) mendeskripsikan perubahan dan sifat invarian yang dicapai oleh kombinasi rotasi, refleksi, dan translasi: panjang dan sudut dipertahankan (isometri); dua refleksi terhadap garis sejajar $x = 0$ kemudian $x = 2$ mengirim $(3,2)$ ke $(-3,2)$ kemudian $(7,2)$ — sebuah translasi sejauh $(4,0)$; pada garis berpotongan mereka menghasilkan rotasi sebesar dua kali sudut terarah antara cermin. Translasi ditulis dengan notasi vektor kolom.

Terapkan kriteria kongruensi dasar untuk segitiga — SSS, SAS, ASA, RHS (G5) — mencocokkan simpul secara berurutan; AAA memberikan kemiripan, bukan kongruensi, dan SSA bukan kriteria.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q12, diadaptasi. Dua segitiga memiliki tiga kesamaan sesuai yang sama. Alasan kongruensi satu kata: SSS.

Terapkan fakta sudut, kekongruenan segitiga, kemiripan, dan sifat segiempat untuk merumuskan dan menurunkan hasil, termasuk teorema Pythagoras dan kesamaan sudut alas segitiga sama kaki, serta gunakan hasil yang diketahui untuk memperoleh sederhana bukti (G6). Untuk segitiga sama kaki $ABC$ dengan $AB = AC$ dan $D$ titik tengah dari $BC$: segitiga $ABD$ dan $ACD$ sepakat pada $AB = AC$, $BD = DC$ dan $AD$ bersama, jadi SSS memberikan sudut alas kongruen dan sama $ABC = BCA$; dua sudut di $D$ adalah sama dan jumlah mereka $180^\circ$, sehingga masing-masing adalah $90^\circ$. Teorema Pythagoras dapat dibuktikan dari empat segitiga siku-siku kongruen di sekitar sebuah persegi miring di dalam persegi dengan sisi $a + b$: $(a+b)^2 = 4 \cdot \tfrac{ab}2 + c^2$, sehingga $a^2 + b^2 = c^2$.

Identifikasi dan terapkan definisi serta sifat lingkaran (G9): pusat, jari-jari, tali busur, diameter ($d = 2r$), keliling, dengan tambahan landasan berupa garis singgung, busur, juring dan tali busur — juring dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur; sebuah tali busur terletak antara tali busur dan busurnya. Garis tegak lurus dari pusat ke sebuah tali busur membaginya: tali busur 3 cm dari pusat lingkaran berjari-jari 5 memiliki panjang $2\sqrt{5^2 - 3^2} = 8$ cm.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q1, diadaptasi. Beri nama setiap daerah arsiran dari: busur, tali busur, juring, tali busur, garis singgung — irisan tipis antara tali busur dan busurnya adalah tali busur; irisan berbentuk potongan pie antara dua jari-jari dan busurnya adalah juring.

Tingkat Tinggi (G10) menerapkan dan MEMBUKTIKAN teorema lingkaran standar: sudut di pusat adalah dua kali sudut di keliling pada busur yang sama (buktikan dengan dua segitiga sama kaki (360^\circ - 180\beta) = 2(\alpha + \beta)$); sudut dalam setengah lingkaran adalah (180^\circ - 2\beta) = 2(\alpha + \beta)$); sudut dalam setengah lingkaran adalah ke $90^\circ$; garis singgung pada titik mana pun tegak lurus terhadap jari-jari di titik tersebut; ke $180^\circ$; garis singgung di titik manapun tegak lurus terhadap jari-jari di titik tersebut; garis singgung dari titik luar sama panjang (RHS pada kedua segitiga sentuh); garis tegak lurus dari pusat ke tali busur membaginya dua; dan teorema segmen berselang-seling — sudut tali busur-singgung sama dengan sudut di dalam segmen berlawanan (sudut tali busur-singgung $35^\circ$ menghasilkan $35^\circ$ di segmen tersebut).

Contoh terpecahkan: 1H Juni 2024 Q22, diadaptasi. Dua garis singgung dari $P$ menyentuh sebuah lingkaran di $A$ dan $B$; sudut $APB = 24^\circ$. Gambar $AO$ dan $BO$: segiempat $OAPB$ memiliki dua sudut kontak $90^\circ$, sehingga sudut di pusat lingkaran adalah $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 24^\circ = 156^\circ$ (tumpul, bukan refleks). Sudut di keliling pada busur yang sama adalah setengahnya: $x = \tfrac{156^\circ}{2} = 78^\circ$ (skema nilai $2x = 156^\circ$).

Gunakan satuan ukuran standar dan konsep terkait (G14). Identifikasi sisi-sisinya, permukaan, sisi, dan titik sudut kubus, balok, prisma, silinder, limas, kerucut dan bola (G12); interpretasikan — dan pada tingkatan tinggi bangunlah — denah dan elevasi 3D bentuk (G13): untuk balok $4 \times 3 \times 2$, denahnya adalah $4 \times 3$, elevasi depan elevasi $4 \times 2$, elevasi samping $3 \times 2$. Ukur garis segmen dan sudut dalam bangun geometri, termasuk menginterpretasikan peta dan gambar skala serta penggunaan azimut (G15): azimut tiga angka diukur searah jarum jam dari utara — timur $090^\circ$, dan kebalikan dari $070^\circ$ adalah $070^\circ + 180^\circ = 250^\circ$; pada peta 1 : 10000, 3 cm mewakili 300 m.

Tahu dan terapkan rumus luas untuk segitiga ($\tfrac12 b \times$ tinggi tegak), jajargenjang dan trapesium, serta volume balok dan prisma tegak lainnya termasuk silinder (G16): sebuah trapesium dengan sisi sejajar 6 dan 10 dan tinggi 4 memiliki luas $\tfrac12(6+10) \times 4 = 32$ cm²; sebuah prisma segitiga dengan luas ujung 12 cm² dan panjang 10 cm memiliki volume 120 cm³. Tahu rumus lingkaran (G17): $C = 2\pi r = \pi d$, $A = \pi r^2$; lingkaran berjari-jari-4 memiliki keliling $8\pi$ dan luas $16\pi$; setengah lingkaran padanya memiliki luas $8\pi$ dan keliling $4\pi + 8$; cincin dengan jari-jari 5 dan 3 memiliki luas $\pi(25 - 9) = 16\pi$. Tambahan fondasi: luas permukaan dan volume bola, limas, kerucut, dan benda majemuk padat, incl. kerucut terpancung — kerucut dengan $r = 3$, $h = 4$ memiliki miring 5, volume $12\pi$, area melengkung $15\pi$ dan total $24\pi$; bola dengan $r = 3$ memiliki volume $36\pi$ dan permukaan $36\pi$; kerucut terpancung dari kerucut $6,8$ (miring 10) dikurangi kerucut serupa $3,4$ (garis pelukis 5) memiliki volume $96\pi - 12\pi = 84\pi$. Solusi dalam suku $\pi$ mungkin diminta.

Hitung panjang busur, sudut, dan luas juring (G18, tambahan dasar): pada $r = 6$ dan $\theta = 120^\circ$ pecahannya adalah $\tfrac13$, sehingga busurnya $4\pi$ dan luas juringnya $12\pi$; sebuah juring dengan jari-jari 6 dan luas $9\pi$ memiliki pecahan $\tfrac14$, sehingga $\theta = 90^\circ$.

Contoh kerja: 1H Juni 2024 Q12, disesuaikan. Sebuah juring berjari-jari 12 cm memiliki sudut $60^\circ$: busur $= \tfrac{60}{360} \times 2 \times 12 \times \pi = 4\pi$ cm — tunjukkan jumlah lingkaran penuh dan pecahan sebelum mengalikan.

Terapkan kekongruenan dan keserupaan, termasuk hubungan antara panjang, luas, dan volume pada bangun serupa (G19; Lanjutan): tangga $k : k^2 : k^3$ dengan faktor skala $k$.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q25, dimodifikasi. Sebuah prisma segitiga siku-siku memiliki rasio rusuk $a : b : c : d = 3 : 4 : 5 : 12$ dan volume 1125 cm³. Tuliskan rusuk-rusuknya sebagai $3k, 4k, 5k, 12k$: volume $= \tfrac12(3k)(4k)(12k) = 72k^3 = 1125$, sehingga $k^3 = 15.625$ dan $k = 2.5$. Total panjang rusuk $= 2(3+4+5)k + 3 \times 12k = 60k = 150$ cm (dua dari setiap rusuk penampang, tiga rusuk panjang).

*Frustum = kerucut utuh − kerucut kecil; kerucut kecil memiliki setengah tinggi, sehingga ⅛ dari volumenya

*Balok 4 × 3 × 2: setiap tampak menunjukkan dua dari tiga dimensinya

Pahami teorema Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ dan rasio trigonometri (G20) — $\sin\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\textbf{hypotenuse}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ — dan terapkan untuk menemukan sudut dan panjang dalam segitiga siku-siku pada gambar 2D; Higher menerapkannya (dan, jika memungkinkan, aturan segitiga umum) dalam gambar 2D DAN 3D. Tangga 3-4-5 diletakkan 3 m menjauh dari dinding mencapai ketinggian $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m. Dalam 3D, pisahkan segitiga siku-siku: balok $3 \times 4 \times 12$ memiliki diagonal alas $\sqrt{9+16} = 5$, diagonal ruang $\sqrt{25 + 144} = 13$, dan diagonal ruang bertemu alas pada $\tan\alpha = \tfrac{12}{5}$, sehingga $\alpha \approx 67.4^\circ$.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q18, dimodifikasi. Dalam segitiga siku-siku, hipotenusa adalah 23.7 dan $x$ adalah sisi samping dari sudut yang ditandai $52^\circ$: $\cos 52^\circ = \tfrac{x}{23.7}$ (penyusunan ulang aturan sinus $\tfrac{x}{\sin 38^\circ} = \tfrac{23.7}{\sin 90^\circ}$ juga berlaku), sehingga $x = 23.7 \cos 52^\circ = 14.6$ (1 dp).

Tahu nilai tepat dari $\sin\theta$ dan $\cos\theta$ untuk $\theta = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ dan dari $\tan\theta$ untuk $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ (G21, fondasi tambahan) — turunkan dari segitiga sama sisi terbagi dua ($1, \sqrt3, 2$) dan segitiga siku-siku sama kaki ($1, 1, \sqrt2$): $\sin 30^\circ = \tfrac12$, $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan 30^\circ = \tfrac1{\sqrt3}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt3$; $\tan 90^\circ$ tidak terdefinisi.

Contoh terpecahkan: 1H Juni 2024 Q25, dimodifikasi. Buktikan bahwa $6\sin 30^\circ + 2\cos 30^\circ \times 4\tan 30^\circ$ adalah bilangan bulat: $6 \times \tfrac12 + \sqrt3 \times \tfrac4{\sqrt3} = 3 + 4 = 7$ — bentuk akar saling menghilangkan sebelum pembulatan apa pun.

Higher mengetahui dan menerapkan aturan sinus $\tfrac{a}{\sin A} = \tfrac{b}{\sin B} = \tfrac{c}{\sin C}$ and the cosine rule $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (G22), dan rumus luas $A = \tfrac12 ab\sin C$ dengan sudut apit antara $a$ dan $b$ (G23). Sides 6 and 8 enclosing $60^\circ$ give $c^2 = 36 + 64 - 96 \times \tfrac12 = 52$ so $c = 2\sqrt{13}$, and area $\tfrac12 \times 6 \times 8 \times \tfrac{\sqrt3}{2} = 12\sqrt3$. Sine rule: with $a = 4$ opposite $A = 30^\circ$ and $B = 45^\circ$, $b = \tfrac{4\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 4\sqrt2$. An sinus invers dapat menghasilkan sudut lancip dan pelengkapnya tumpul — periksa sudutnya jumlah sebelum memilih.

Contoh terpecahkan: Tier Tinggi. $a = 7$, $b = 10$, $A = 40^\circ$: $\sin B = \tfrac{10 \sin 40^\circ}{7} = 0.918$, sehingga $B = 66.7^\circ$ ATAU $113.3^\circ$ — kalkulator hanya menampilkan yang lancip. Keduanya tetap mempertahankan jumlah sudut memenuhi syarat ($C = 73.3^\circ$ atau $26.7^\circ$), sehingga DUA segitiga sesuai dengan data tersebut dan jawaban ambigu harus diberikan. Ambiguitas hanya muncul ketika sisi yang diberikan sisi adalah yang LEBIH PENDEK ($a < b$) dan $A$ adalah lancip — sisi yang lebih besar menghadap sudut yang lebih besar sudut, sehingga $a \geq b$ memaksa $B \leq A$ dan meniadakan pelengkapnya; sebuah sepuluh detik menyelesaikannya sebelum perhitungan apa pun.

Deskripsikan translasi sebagai vektor D2 (G24) — notasi kolom, entri bagian atas horizontal. Terapkan penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian dengan skalar, dan representasi diagramatik serta kolom (G25): dengan $\mathbf a = (4,1)$ dan $\mathbf b = (1,3)$, $\mathbf a + \mathbf b = (5,4)$ dan $2\mathbf a - \mathbf b = (7,-1)$; from $A = (1,2)$ to $B = (5,5)$, $\overrightarrow{AB} = (4,3)$ dengan panjang 5. Penggunaan tingkat lanjut menggunakan vektor untuk menyusun argumen dan pembuktian geometris: sebuah perkalian skalar $\overrightarrow{MN} = \tfrac12\overrightarrow{AB}$ membuktikan $MN$ sejajar dengan $AB$ dan setengah panjangnya (rata-rata vektor posisi titik tengah); titik kolinear memerlukan hubungan perkalian skalar DAN memiliki titik bersama.

Contoh kerja: 2H Juni 2024 Q23, disesuaikan. Dengan $\overrightarrow{CD} = 6\mathbf a + \mathbf b$, $\overrightarrow{CE} = 14\mathbf a - 3\mathbf b$ dan $\overrightarrow{CF} = 16\mathbf a - 4\mathbf b$: perpindahan $\overrightarrow{DE} = (14\mathbf a - 3\mathbf b) - (6\mathbf a + \mathbf b) = 8\mathbf a - 4\mathbf b$, sementara $\overrightarrow{EF} = (16\mathbf a - 4\mathbf b) - (14\mathbf a - 3\mathbf b) = 2\mathbf a - \mathbf b$. Jadi $\overrightarrow{DE} = 4\,\overrightarrow{EF}$ — sejajar dengan titik bersama $E$, sehingga $DEF$ adalah garis lurus.

Selesaikan masalah geometris pada sumbu koordinat (G11): panjang horizontal/vertikal dengan mengurangkan koordinat, diagonal dengan Pythagoras, titik tengah dengan rata-rata — $A(1,2)$, $B(5,2)$, $C(5,5)$, $D(1,5)$ memiliki $AB = 4$, $BC = 3$, diagonal $AC = 5$ dan diagonal yang bertemu di titik tengah bersama $(3, 3.5)$: sebuah persegi panjang.

• Istilah dan notasi konvensional; pelabelan segitiga; diagram dari deskripsi tertulis (G1).
• Konstruksi penggaris dan kompas termasuk $60^\circ$; masalah lokus; jarak terpendek (G2).
• Fakta sudut pada titik/garis/silang; alternatif dan sebanding beserta alasannya; jumlah poligon diturunkan (G3).
• Sifat-sifat segiempat dan segitiga yang diturunkan dan diterapkan (G4); kriteria kekongruenan SSS SAS ASA RHS (G5; jangkar Q12); rantai konjektur-turunkan-buktikan termasuk Pythagoras dan sudut dasar isosceles (G6).
• Transformasi termasuk faktor skala pecahan dan negatif; perubahan dan invariansi di bawah kombinasi (G7–G8).
• Bagian lingkaran dinamai (G9; Q1 penanda); teorema lingkaran diterapkan DAN dibuktikan di tingkat Lanjut (G10; Q22 penanda).
• Geometri sumbu koordinat (G11); sisi/tepi/vertex padat (G12); denah dan elevasi (G13); satuan (G14); peta, gambar skala, arah mata angin (G15).
• Luas dan volume prisma/silinder (G16); ukuran lingkaran, bola, kerucut, piramida dan frustum, jawaban eksak $\pi$ (G17); busur dan sektor (G18; jangkar Q12); tangga $k : k^2 : k^3$ (G19; jangkar Q25).
• Aturan sinus dengan kasus ambigu: kedua sudut ketika sisi berhadapan lebih pendek; buat sketsa terlebih dahulu (G22, H).
• Pythagoras dan rasio trigonometri dalam 2D dan 3D (G20; jangkar Q18); nilai trigonometri eksak (G21; jangkar Q25); aturan sinus dan kosinus (G22); $\tfrac12 ab \sin C$ (G23).
• Translasi sebagai vektor; aritmatika vektor; bukti geometris termasuk kolinearitas (G24–G25; Q23 penanda).

Catatan batas: Lembar Rumus yang disertakan memuat luas trapesium, prisma volume, keliling/luas lingkaran, Pythagoras, tiga rasio trigonometri, aturan sinus dan kosinus serta $\tfrac12 ab\sin C$ — tidak memuat rumus busur/juring, volume kerucut/limas/bola, nilai trigonometri eksak atau teorema lingkaran; hal-hal tersebut harus diketahui. Alasan sudut harus menyebutkan nama teorema, bukan bentuk huruf. Contoh terpecahkan disesuaikan dari kertas Higher Juni 2024 (lihat bukti penilaian meta) atau asli.