Angka

Pengajaran yang didukung dan batas tingkatan

8300: Nomor. Versi: Versi 1.0, September 12 2014; ujian pertama 2017.

Pengajaran Tingkat Dasar dan Tambahan Tingkat Lanjut diberi label di bawah ini. Paket referensi ini menggabungkan pemetaan silang pelajaran asli yang ada. Ini tidak mensertifikasi baris spesifikasi yang belum ditinjau atau kualifikasi secara keseluruhan. Diagnostik asli terpisah dan tidak dipublikasikan kembali.

Aritmatika eksak dan estimasi · Tingkat Dasar

Faktor prima mengungkapkan struktur bersama. Gunakan pangkat prima persekutuan terkecil untuk FPB dan terbesar untuk KPK. Estimasi sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.

72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pena masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360. Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih besar dari 1 dan memiliki tepat dua faktor positif. Bilangan 1 bukan prima; bilangan bulat positif komposit lebih besar dari 1 memiliki lebih dari dua faktor positif. Setiap bilangan bulat lebih besar dari 1 memiliki produk faktor prima yang unik kecuali urutan mereka. Sebagai contoh, 60=2²×3×5. Faktor membagi suatu bilangan; kelipatan adalah hasil mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan bulat. FPB menggunakan pangkat persekutuan terkecil, sedangkan KPK menggunakan pangkat terbesar.

FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya. Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda. Estimasi desimal bukan pecahan eksak.

Untuk kertas tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan pembatalan. Untuk kertas dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.

Indeks bilangan bulat dan notasi ilmiah · Tingkat Lanjut

Faktor prima mengungkapkan struktur bersama. Gunakan pangkat prima persekutuan terkecil untuk FPB dan terbesar untuk KPK. Estimasi sebelum menghitung; gunakan tanda kurung untuk mempertahankan urutan operasi.

72=2^3×3^2 dan 90=2×3^2×5. FPB mereka adalah 2×9=18. Buat 18 tas dengan 4 pensil dan 5 pena masing-masing. KPK mereka adalah 2^3×3^2×5=360. Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih besar dari 1 dan memiliki tepat dua faktor positif. Bilangan 1 bukan prima; bilangan bulat positif komposit lebih besar dari 1 memiliki lebih dari dua faktor positif. Setiap bilangan bulat lebih besar dari 1 memiliki produk faktor prima yang unik kecuali urutan mereka. Sebagai contoh, 60=2²×3×5. Faktor membagi suatu bilangan; kelipatan adalah hasil mengalikan bilangan tersebut dengan bilangan bulat. FPB menggunakan pangkat persekutuan terkecil, sedangkan KPK menggunakan pangkat terbesar.

FPB membagi kedua bilangan; KPK adalah kelipatan dari keduanya. Mereka menjawab pertanyaan yang berbeda. Estimasi desimal bukan pecahan eksak.

Untuk kertas tanpa kalkulator, pertahankan pecahan eksak dan tunjukkan pembatalan. Untuk kertas dengan kalkulator, masukkan ekspresi penuh dan bandingkan dengan estimasi Anda.

Indeks bilangan bulat dan notasi ilmiah · Tingkat Dasar

Gunakan pangkat bilangan bulat, akar kuadrat dan kubik, serta notasi ilmiah dengan 1≤a<10. Dalam mengalikan pangkat dengan basis yang sama, tambahkan indeks; dalam pembagian, kurangi mereka.

0.000072=7.2×10^(-5). Juga 2³×2⁴=2⁷=128. Akar kuadrat dari 81 adalah 9. Periksa jawaban bentuk standar dengan menuliskannya sebagai desimal. Pangkat yang berguna meliputi 3³=27, 4³=64, 5³=125, 15²=225 dan 10⁶=1,000,000. Hukum bilangan bulat memberikan 2⁰=1, 2^(-3)=1/8 dan (2³)²=2⁶=64. Untuk perkalian bentuk standar, (3×10⁵)(4×10^(-3))=12×10²=1.2×10³. Pembagian menghasilkan (6×10⁵)/(2×10²)=3×10³. Untuk penjumlahan, selaraskan eksponen terlebih dahulu: 3×10⁴+2×10³=3.2×10⁴.

Hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7. Jangan membulatkan bentuk akar ketika jawaban eksak diminta.

Pelajaran Dasar/Core ini mengecualikan pangkat pecahan dan rasionalisasi bentuk akar. Estimasi hasil sebelum menggunakan kalkulator dan pertahankan presisi yang diperlukan.

Eksponen, bentuk akar dan notasi ilmiah · Tingkat Lanjut

Untuk basis positif yang sama, perkalian menjumlahkan eksponen dan pembagian menguranginya. Eksponen negatif berarti kebalikan; eksponen pecahan merepresentasikan akar. Notasi ilmiah memiliki 1≤a<10.

0.000072=7.2×10^(-5). Juga 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. Sederhanakan √72=6√2, kemudian rasionalisasi 1/√2=√2/2. Pangkat yang berguna meliputi 3³=27, 4³=64, 5³=125, 15²=225 dan 10⁶=1,000,000. Hukum bilangan bulat memberikan 2⁰=1, 2^(-3)=1/8 dan (2³)²=2⁶=64. Untuk perkalian bentuk standar, (3×10⁵)(4×10^(-3))=12×10²=1.2×10³. Pembagian menghasilkan (6×10⁵)/(2×10²)=3×10³. Untuk penjumlahan, selaraskan eksponen terlebih dahulu: 3×10⁴+2×10³=3.2×10⁴. Untuk basis positif, a^(m/n)=(akar ke-n dari a)^m. Dengan demikian 27^(2/3)=3²=9 dan 16^(-1/2)=1/4. Untuk memperkirakan √20 tanpa kalkulator, 4²<20<5² menghasilkan 4<√20<5; menguji 4.5²=20.25 menunjukkan √20 sedikit di bawah 4.5. Jangan gunakan estimasi kasar sebagai jawaban akar yang presisi.

Hukum indeks tidak mengubah penjumlahan menjadi satu pangkat tunggal: 2^3+2^4=24, bukan 2^7. Jangan membulatkan bentuk akar ketika jawaban eksak diminta.

Periksa pangkat sepuluh terhadap besaran aslinya. Gunakan bentuk akar untuk geometri eksak, dan bulatkan hanya panjang akhir jika soal meminta desimal.

Ketelitian, batas nilai dan ukuran majemuk · Tingkat Lanjut

Nilai yang dibulatkan ke satuan terdekat u berada dari nilai yang dinyatakan-u/2 hingga, tetapi biasanya tidak termasuk, nilai yang dinyatakan+u/2. Untuk besaran positif, gabungkan nilai ekstrem sesuai dengan operasi tersebut.

Panjang-panjang memenuhi 7.95≤L<8.05 dan 4.95≤W<5.05. Karena A=LW, 39.3525≤A<40.6525. Untuk kecepatan d/t, kecepatan terbesar menggunakan jarak terbesar dan waktu positif terkecil.

Had atas tidak dicapai secara automatik. Membahagikan jarak atas dengan masa atas tidak memberikan kelajuan terbesar. Simpan cukup digit dalam pengiraan perantaraan.

Bedakan ketidakpastian pengukuran dari pembulatan aritmatika. Presisi pelaporan yang masuk akal tidak boleh lebih halus daripada yang dapat dibenarkan oleh pengukuran.

Bilangan bertanda, tempat nilai dan urutan operasi · Tingkat Dasar

Angka yang lebih besar terletak semakin jauh ke kanan pada garis bilangan. Menambahkan bilangan negatif menggeser ke kiri; mengurangkan bilangan negatif menggeser ke kanan. Kalikan atau bagi tanda terlebih dahulu, lalu besaran. Hitung kurung, pangkat, dan akar sebelum perkalian/pembagian, kemudian penjumlahan/pengurangan, bekerja dari kiri ke kanan dalam prioritas yang sama.

Saldo adalah -12+35-9=14 yuan. Juga -4-(-7)=3 dan (-6)×(-3)=18. Resiprokal dari -4 adalah -1/4, karena hasil kali mereka adalah 1. Untuk 18÷3×2, kerjakan dari kiri ke kanan untuk mendapatkan 12. Dalam 3.047, digit 4 berarti empat per seratus dan digit 7 berarti tujuh per seribu. Untuk perkalian desimal, pertama-tama hitung 24×35: 24×30+24×5=720+120=840. Perkalian asli 2.4×0.35 memiliki tiga tempat desimal secara total, menghasilkan 0.840. Untuk 5.04÷0.12, kalikan kedua bilangan dengan 100 untuk mendapatkan 504÷12; 12×40=480 menyisakan 24, sehingga jawabannya adalah 42. Untuk mengurutkan pecahan negatif, -3/4=-0.75 dan -4/5=-0.8, oleh karena itu -4/5<-3/4. Simbol ≤ dan ≥ mencakup kesamaan; ≠ berarti tidak sama.

Pengurangan tidak komutatif: 3 - 8 dan 8 - 3 berbeda. Tanda negatif di luar kuadrat tidak berada di dalam basisnya: -3² = -9, tetapi (-3)² = 9. Nol tidak memiliki resiprokal.

Gunakan saldo awal bertanda, kredit positif dan debet negatif. Toko membeli seharga 48 yuan dan menjual seharga 60 menghasilkan keuntungan 12 yuan; membalikkan harga memberikan kerugian 12-yuan. Perkirakan tandanya sebelum menghitung.

Pecahan eksak dan operasi pecahan campuran · Tingkat Dasar

Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa. Tambahkan atau kurangkan menggunakan penyebut persekutuan; kalikan pembilang dan penyebut; bagilah dengan pecahan tak nol dengan mengalikan kebalikannya. Sederhanakan faktor persekutuan, bukan suku yang dijumlahkan. Aturan ini juga berlaku untuk pecahan negatif.

1½-¾=6/4-3/4=3/4. Juga (-2/3)×(9/4)=-18/12=-3/2 dan (3/4)÷(5/8)=(3/4)×(8/5)=6/5. Penyebut yang sama menghasilkan 5/6+3/4=10/12+9/12=19/12. Periksa pembagian dengan mengalikan 6/5 dengan 5/8 untuk mendapatkan kembali 3/4. Kelipatan eksak dari π mengikuti aritmatika biasa: 3π+2π=5π dan 6π/3=2π. Tinggalkan jawaban seperti 5π secara eksak jika diminta; π≈3.14 akan memperkenalkan pendekatan. Untuk pengurangan, 5/6-3/4=10/12-9/12=1/12; untuk pecahan campuran negatif, -1½ berarti -(1+1/2)=-3/2.

Menjumlahkan penyebut tidak mempertahankan ukuran satuan: 1/2+1/3 bukan 2/5. Sederhanakan hanya faktor dari pembilang dan penyebut utuh. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Untuk soal tanpa kalkulator tunjukkan langkah penyebut persekutuan atau kebalikan. Ubah 19/12 menjadi 1 7/12 jika diminta pecahan campuran; bulatkan hanya jika soal secara eksplisit membutuhkan desimal.

Daftar sistematis dan grid kemungkinan · Tingkat Dasar

Tetapkan pilihan pertama terlebih dahulu dan daftarkan setiap pilihan kedua yang diperbolehkan sebelum beralih ke pilihan pertama berikutnya. Gunakan tabel untuk memeriksa bahwa tidak ada hasil yang hilang atau duplikat. Jika kombinasi dilarang, hapus entri tersebut dari daftar.

Daftarkan teh-apel, teh-pisang, teh-melon, jus-apel, jus-pisang, jus-melon: enam pilihan. Menghapus teh-melon menyisakan lima. Kode yang menggunakan 1,2,3 sekali masing-masing adalah 123,132,213,231,312,321: enam. Jawaban-jawaban ini berasal dari daftar lengkap.

Nyatakan apakah urutan penting dan apakah pengulangan diperbolehkan. Memilih A kemudian B bisa berbeda dari B kemudian A untuk kode, tetapi bukan untuk tim dua orang yang tidak berurutan. Batasan dapat membuat produk sederhana tidak valid.

Tingkat Dasar harus membenarkan jawaban dengan daftar terurut lengkap atau grid. Tingkat Lanjut mungkin memadatkan struktur yang diverifikasi menggunakan aturan perkalian, tetapi tetap harus memeriksa batasan.

Daftar sistematis dan aturan perkalian · Tingkat Lanjut

Tetapkan pilihan pertama terlebih dahulu dan cantumkan setiap pilihan kedua yang diperbolehkan sebelum beralih ke pilihan pertama berikutnya. Tabel memberikan struktur yang sama. Ketika setiap dari m pilihan pertama memungkinkan n pilihan kedua, aturan hasil kali tingkat lanjut menghasilkan mn kemungkinan. Jika pembatasan mengubah opsi, hitung baris yang diizinkan secara terpisah.

Daftar tersebut adalah teh-apel, teh-pisang, teh-melon, jus-apel, jus-pisang, jus-melon: enam hasil. Jika teh-melon tidak tersedia, tersisa lima. Untuk kode tiga digit dengan digit 1,2,3 dan tanpa pengulangan, pilih 3 kemudian 2 kemudian 1 kemungkinan, memberikan enam kode: 123,132,213,231,312,321.

Nyatakan apakah urutan penting dan apakah pengulangan diperbolehkan. Memilih A kemudian B bisa berbeda dari B kemudian A untuk kode, tetapi bukan untuk tim dua orang yang tidak berurutan. Batasan dapat membuat produk sederhana tidak valid.

Tingkat Dasar harus membenarkan jawaban dengan daftar terurut lengkap atau grid. Tingkat Lanjut mungkin memadatkan struktur yang diverifikasi menggunakan aturan perkalian, tetapi tetap harus memeriksa batasan.

Akar eksak dan merasionalkan penyebut · Tingkat Lanjut

Ekstraksi faktor kuadrat: √(a²b)=a√b untuk a≥0,b≥0. Jumlahkan hanya bagian akar yang cocok. Kalikan akar dengan radicand nonnegatif. Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan akar atau sekawan yang sesuai.

Sisinya adalah √12=√(4×3)=2√3 cm. Dengan demikian √12+√27=2√3+3√3=5√3. Juga 6/√3=6√3/3=2√3. Untuk 1/(2+√3), kalikan dengan (2-√3)/(2-√3): penyebut menjadi 4-3=1, menghasilkan 2-√3. Lingkaran dengan jari-jari 3 memiliki luas eksak 9π; desimal merupakan pendekatan.

√(a+b) umumnya berbeda dari √a+√b. Samakan radikan sebelum mengumpulkan suku. Merasionalkan penyebut mengubah bentuk, bukan nilai; mengalikan hanya penyebut akan mengubah nilai.

AQA N8 Tingkat Lanjut memerlukan akar eksak dan rasionalisasi. Fondasi mempertahankan pecahan eksak dan kelipatan π; jangan berikan pelajaran akar ini kepada Fondasi.

Desimal berhenti dan pecahan · Fondasi

Gunakan tempat nilai digit terakhir untuk menulis penyebut berpangkat-10, lalu sederhanakan. Bandingkan angka menggunakan tempat desimal yang sama atau penyebut bersama.

0.375=375/1000=3/8. Juga 3.5=35/10=7/2 dan 0.06=6/100=3/50. Untuk mengurutkan 3/8 dan 0.4, tulis 0.375 dan 0.400; oleh karena itu 3/8<0.4.

Pertahankan nilai tempat: 0.06 adalah enam per seratus, bukan enam per sepuluh. Pecahan dapat melebihi 1. Sederhanakan seluruh pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan yang sama.

AQA N10 Fondasi mencakup desimal berhenti dan pecahan, termasuk pengurutan. Konversi desimal berulang dicadangkan untuk pelajaran Tingkat Lanjut.

Konversi desimal berhenti dan berulang · Tingkat Lanjut

Desimal terbatas menggunakan penyebut berpangkat-10 sebelum disederhanakan. Untuk desimal berulang, kalikan dengan pangkat-10 agar ekor yang berulang sejajar, lalu kurangkan. Gunakan tempat desimal yang sama untuk membandingkan angka. Desimal dibulatkan yang ditampilkan mungkin bukan pecahan eksaknya.

0.375=375/1000=3/8. Untuk x=0.272727..., 100x=27.272727..., sehingga 99x=27 dan x=27/99=3/11. Untuk y=0.16666..., 100y-10y=16.666...-1.666...=15, sehingga y=15/90=1/6. Dalam pecahan yang disederhanakan, penyebut yang hanya mengandung faktor 2 dan 5 akan menghasilkan desimal berakhiran.

Selaraskan ekor berulang sebelum melakukan pengurangan. 0.333333 adalah bilangan terhingga dan berbeda dari 0.333333... . Awalan yang tidak berulang memerlukan pangkat kedua dari sepuluh; membagi setiap blok digit secara buta dengan 99 akan gagal.

AQA N10 Tingkat Lanjut mencakup konversi berulang. Kedua tingkatan mengonversi dan mengurutkan desimal berhenti dan pecahan. Periksa konversi dengan pembagian panjang; 3 dibagi 8 menghasilkan 0.375.

Konversi satuan metrik dan satuan majemuk · Fondasi

Konversikan setiap dimensi. Karena 1 m=100 cm, 1 m²=10,000 cm² dan 1 m³=1,000,000 cm³. Juga 1 liter=1000 cm³, 1 kg=1000 g dan 1 jam=3600 detik. Untuk satuan majemuk konversikan pembilang dan penyebut, menjaga besaran fisik tetap tidak berubah.

0.4 m=40 cm, sehingga luas ubin adalah 40×40=1600 cm², sesuai dengan 0.16×10,000. Wadah 0.002 m³ menampung 2000 cm³=2 liter. Kecepatan 72 km/j adalah 72,000/3600=20 m/dtk. Tulis satuan di setiap tahap agar konversi dapat dicek.

Faktor pengali luas adalah kuadrat dari faktor pengali panjang; faktor pengali volume adalah pangkat tiganya. Satu jam adalah 60 menit, bukan 100. Mengonversi hanya pembilang dari kecepatan menghasilkan satuan yang tidak konsisten.

AQA N13 dan R1 mencakup panjang, luas, volume, kapasitas metrik, dan ukuran majemuk. Gunakan faktor konversi yang diberikan untuk satuan imperial yang tidak dikenal; jangan menebaknya.

Estimasi, pembulatan, dan interval kesalahan sederhana · Fondasi

Untuk pemeriksaan kasar gunakan angka terdekat yang mudah: 50×20÷10=100. Tempat desimal menghitung digit setelah titik; angka signifikan dimulai dari digit nol pertama. Bulatkan hanya hasil akhir. Pembulatan unit terdekat memiliki interval yang meluas setengah unit ke kedua arah; pemotongan positif mempertahankan nilai dari nilai yang dinyatakan hingga unit berikutnya.

Perhitungan tentang 96.18, konsisten dengan perkiraan 100. Angka 0.004786 dibulatkan menjadi 0.0048 pada 2 angka penting, tetapi menjadi 0.005 pada 3 tempat desimal. Jika panjang L dibulatkan menjadi 8.0 cm pada 1 tempat desimal, maka 7.95≤L<8.05. Jika nilai positif ditrunkasi menjadi 8.0 pada 1 tempat desimal, maka 8.0≤L<8.1 sebagai gantinya. Presisi yang dilaporkan harus sesuai dengan pertanyaan. Sembilan belas item dikemas enam per kotak memerlukan tiga kotak utuh, karena dua kotak hanya menampung dua belas item. Membulatkan 17/6 menjadi dua kotak akan gagal memenuhi persyaratan fisik. Untuk pembacaan terdekati-0.1 dari 8.0, setiap kemungkinan nilai berbeda dari laporan sebesar paling banyak 0.05; klaim 8.08 berada di luar interval. Pertahankan presisi kalkulator penuh hingga persyaratan uang, panjang, atau akurasi akhir diterapkan.

Nol sebelum digit tak nol pertama tidak dihitung sebagai angka penting. Pembulatan dan pemotongan memberikan interval yang berbeda. Jangan ubah pemeriksaan perkiraan menjadi jawaban pasti, atau bulatkan setiap hasil perantara.

AQA N14–N16 memerlukan interpretasi ketepatan di kedua tingkatan. Fondasi menggunakan interval sederhana dan batas akurasi. Tingkat Lanjut menggabungkan batas atas dan bawah untuk kuantitas yang dihitung dalam pelajaran batas terpisah.

Bagian rasio dan operator pecahan · Dasar

Jumlahkan bagian rasio untuk mencari keseluruhan: 2:5 memiliki 7 bagian yang sama. Bagi total dengan 7, lalu kalikan dengan jumlah bagian yang diminta. Pecahan berfungsi sebagai pengali; persentase p bertindak sebagai p/100. Pisahkan perbandingan bagian-ke-bagian dan bagian-ke-total.

Setiap bagian adalah 84/7=12 yuan, memberikan porsi 24 dan 60. Tim pertama memiliki 2/7 dari keseluruhan, sementara portinya adalah 2/5 dari porsi lainnya. Sebagian 3/4 dari 28 adalah 21. Jumlah 120% dari 35 adalah 1.2×35=42, sehingga persentase dapat melebihi 100.

Rasio 2:5 tidak memberikan bagian pertama sebagai 2/5 dari total. Total memiliki 7 bagian. Pengali di atas 1 meningkatkan kuantitas positif; itu tidak secara otomatis berarti probabilitas.

AQA N11/N12 dan R3–R8 menghubungkan bagian rasio dengan pecahan dan operator. Pastikan bagian-bagian menjumlahkan total yang disebutkan dan sederhanakan rasio dengan membagi setiap bagian dengan faktor positif yang sama.

Transfer mandiri asli

Dasar

Seorang pemasok memiliki 84 pensil dan 126 pulpen. Temukan jumlah kemasan identik terbesar menggunakan semua barang. Nyatakan isi setiap kemasan. Biaya pengiriman 18.60 CNY dibagi rata kepada enam pembeli; temukan bagian masing-masing tanpa membulatkan nilai antara.

Penyelesaian contoh dasar

$84=2^2\cdot3\cdot7$ dan $126=2\cdot3^2\cdot7$, sehingga FPB adalah 42. Setiap dari 42 kemasan berisi $84/42=2$ pensil dan $126/42=3$ pulpen. Ini maksimal karena jumlah kemasan harus membagi habis kedua total. Setiap bagian pengiriman adalah $s=C/n=(18.60\ \mathrm{CNY})/6=3.10\ \mathrm{CNY}$; enam bagian mengembalikan biaya asli.

Lanjutan

Sebuah persegi panjang positif memiliki panjang tercatat 8.0 cm dan lebar 3.0 cm, masing-masing dibulatkan ke nearest 0.1 cm. Berikan batas bawah dan atas yang ketat untuk luas serta panjang dibagi lebar. Nyatakan inklusi titik akhir.

Penyelesaian contoh lanjutan

$7.95\le l<8.05$ dan $2.95\le w<3.05$, dalam cm. Kepositifan membuat perkalian dan pembagian bersifat monoton dalam arah yang diperlukan. Jadi $23.4525\le A<24.5525$ dalam sentimeter persegi. Untuk hasil bagi tak berdimensi, $7.95/3.05<l/w<8.05/2.95$, atau $159/61<l/w<161/59$. Tidak ada titik akhir hasil bagi yang tercapai, karena masing-masing memerlukan salah satu batas pengukuran atas yang tidak termasuk. Batas bawah luas tercapai, karena kedua batas bawah diperbolehkan. Menggunakan “atas dibagi bawah” secara buta tanpa pemeriksaan tanda dan titik akhir tidak cukup.

Istilah

faktor prima.

indeks.

batas bawah.

resiprokal.

pecahan tak wajar.

daftar sistematis.

surd.

desimal berhenti.

desimal berulang.

faktor konversi.

angka penting.

rasio.