Aljabar

AQA GCSE Matematika 8300 topik 3.2 (spesifikasi Versi 1.0, 12 September 2014, ujian pertama 2017). Baris Dasar berjalan A1–A25 dalam tiga tingkatan (dasar dasar / fondasi tambahan / Hanya Tinggi); penambahan Hanya Tinggi adalah bentuk akar dan pecahan aljabar pecahan (A4), identitas dan pembuktian (A6), fungsi invers dan komposit dengan f, fg dan notasi f⁻¹ (A7), garis tegak lurus (A9), titik balik dengan melengkapkan kuadrat sempurna (A11), grafik kubik, resiprokal, eksponensial dan trigonometri (A12), persamaan lingkaran dengan garis singgung (A16), rumus kuadrat (A18), kesamaan linear/kuadrat sekala (A19), iterasi (A20), notasi himpunan dan daerah ketaksamaan grafik (A22) and quadratic/geometric/surd sequences (A24–A25). The June 2024 Higher set jangkar terverifikasi di bawah ini.

Harus diketahui untuk topik 3.2 (Lembar Rumus hanya memberikan rumus kuadrat):

Notasi aljabar menulis $ab$ untuk $a \times b$, $3y$ untuk $y + y + y$, $a^2$, $a^3$, $a^2b$, $\tfrac ab$ untuk $a \div b$ — koefisien sebagai pecahan, bukan desimal — dan kurung; jawaban diharapkan dalam bentuk paling sederhana tanpa diminta. Substitusikan ke rumus termasuk rumus ilmiah (rumus baru akan dikutip dalam soal). Yang kosakata — ekspresi, persamaan, rumus, ketaksamaan, identitas, suku, faktor — memiliki makna: persamaan menanyakan nilai mana yang berlaku; identitas berlaku untuk setiap nilai.

Sederhanakan dan manipulasi dengan mengelompokkan suku sejenis, mengalikan satu suku pada kurung, mengeluarkan faktor persekutuan, dan menggunakan hukum eksponen. Additional Foundation menambahkan perkalian dua binomial dan pemfaktoran $x^2 + bx + c$ dengan selisih dua kuadrat. Higher menambahkan bentuk akar dan pecahan aljabar: jabarkan dan sederhanakan $(3 + \sqrt2)(1 - 2\sqrt2) = 3 - 6\sqrt2 + \sqrt2 - 4 = -1 - 5\sqrt2$; pemfaktoran $6x^2 - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)$.

Sebuah identitas menyatakan kesetaraan untuk SEMUA nilai: $(x + 2)^2 \equiv x^2 + 4x + 4$, dan jangkar 3H Juni 2024 menanyakan hal yang sama persis ("ini benar untuk semua nilai $x$"). Pembuktian perluas dan bandingkan kedua sisi — contoh numerik tidak pernah membuktikan identitas. Susun ulang rumus untuk mengubah subjek ($v = u + at \Rightarrow t = \tfrac{v-u}a$), termasuk dari mata pelajaran lain dalam kata-kata atau simbol.

Fungsi memetakan input ke output; tafsirkan ekspresi sederhana sebagai fungsi (A7, Dasar). Tingkat Lanjut menambahkan fungsi invers — balikkan operasi, atau tukar dan susun ulang — serta komposit $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$, terapkan $g$ terlebih dahulu, menggunakan notasi $f(x)$, $fg(x)$ dan $f^{-1}(x)$. Contoh worked: $f(x) = 3x - 5$, $g(x) = x^2$: $\mathrm{fg}(2) = f(4) = 7$; dari $y = 3x - 5$, $x = \tfrac{y+5}3$, sehingga $f^{-1}(x) = \tfrac{x+5}3$. Periksa $f^{-1}(f(x)) = x$.

Koordinat di keempat kuadran; gambar garis lurus dari $y = mx + c$. Yang tambahan tingkat dasar mengidentifikasi garis sejajar dari gradien yang sama; Tingkat Lanjut menemukan persamaan melalui dua titik atau satu titik dengan gradien tertentu dan mengidentifikasi garis tegak lurus ($m_1 m_2 = -1$): melalui $(1, 7)$ dan $(2, 9)$ garisnya adalah $y = 2x + 5$, dan garis tegak lurus melalui $(1, 7)$ adalah $y - 7 = -\tfrac12(x - 1)$. Identifikasi gradien dan intersep secara grafis DAN aljabar (A10).

Untuk kuadrat (A11) identifikasi akar, intersep, dan titik belok secara grafis; tambahan tingkat dasar menurunkan akar secara aljabar; Tingkat Lanjut menurunkan titik belok dengan melengkapi kuadrat: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ memiliki minimum $(3, -4)$ dan simetri $x = 3$. Kenali dan sketsakan grafik linear serta kuadratik (A12); yang tingkat tambahan menambahkan kubik sederhana dan resiprokal $y = \tfrac1x$ ($x \ne 0$); Tingkat Lanjut menambahkan fungsi eksponensial $y = k^x$ ($k > 0$) dan $y = \sin x$, $\cos x$, $\tan x$ untuk sudut dengan ukuran berapa pun. Sketsakan translasi dan refleksi dari suatu fungsi yang diberikan (A13) — $y = f(x) + a$ ke atas, $y = f(x + a)$ ke kiri. Plot dan interpretasikan grafik konteks riil non-standar termasuk jarak/kecepatan/percepatan kinematik (A14, resiprokal dan eksponensial di Tingkat Lanjut); estimasi gradien dan luas di bawah grafik serta interpretasikan sebagai laju dan jarak (A15 — luas bertianda kecepatan-waktu yang bertanda memberikan perpindahan; menjumlahkan luas absolut memberikan jarak total).

Tingkat Lanjut A16: lingkaran berpusat di titik asal memiliki $x^2 + y^2 = r^2$, dan garis singgung pada $(x_1, y_1)$ memiliki gradien $-\tfrac{x_1}{y_1}$ ketika $y_1\ne0$. Ketika kedua gradien berhingga, gradien jari-jari adalah $\tfrac{y_1}{x_1}$ dan hasil kalinya adalah $-1$. Pada $y_1=0$, garis singgungnya vertikal.

Selesaikan persamaan linear dalam satu variabel (A17) — variabel tak diketahui di kedua sisi, termasuk tanda kurung: termasuk: $7x - 22 = 4x + 29$ menghasilkan $3x = 51$ dan $x = 17$ (jangkar 1H Juni 2024 Q8). Kuadrat (A18): faktorkan $x^2 + bx + c$ (Dasar tambahan, termasuk melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadratik, dengan diskriminan melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat, dengan diskriminan menentukan jumlah akar — $x^2 + 6x + 2 = 0$ menghasilkan $x = -3 \pm \sqrt7$. Solusi pendekatan dari grafik pada setiap tingkat.

Contoh terpecahkan: Tier Tinggi. $2x^2 - 5x - 4 = 0$: $b^2 - 4ac = 25 + 32 = 57 > 0$, sehingga dua akar-akar berbeda; $x = \tfrac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$, dan hanya pada baris terakhir $x = 3.14$ atau $-0.64$ (2 t.d.) — pertahankan $\sqrt{57}$ eksak hingga jawaban akhir, dan nyatakan ketepatannya.

Kesimultanan (A19): dua persamaan linear secara aljabar dan grafik melalui eliminasi (Dasar).

Contoh terpecahkan. $3x + 2y = 16$ dan $5x - 2y = 8$: suku-suku $y$ memiliki tanda berlawanan, jadi TAMBAH — $8x = 24$, $x = 3$; substitusi balik $9 + 2y = 16$, sehingga $y = 3.5$. Tanda sama: kurangkan. Tidak ada yang cocok: kalibrasi satu persamaan terlebih dahulu.

Tingkat Lanjut menambahkan linear/kuadrat — $y = 2x + 5$ dengan $y = x^2$: substitusi menghasilkan $x^2 - 2x - 5 = 0$, sehingga $x = 1 \pm \sqrt6$ — pertahankan kedua titik potong.

Iterasi (A20, Tingkat Lanjut): selesaikan secara numerik dengan notasi suffiks — dari $x^3 - 3x - 1 = 0$, susun ulang $x = \sqrt[3]{3x + 1}$ dan iterasikan $x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n + 1}$ dari $x_1 = 1$: $x_2 = 1.587$, $x_3 = 1.793$, $x_4 = 1.855$, $x_5 = 1.872$, konvergen ke akar $1.879$ (3 d.p.). Tampilkan nilai sesuai ketepatan yang ditentukan dan periksa nilai akhir kembali ke persamaan asli.

Terjemahkan situasi ke dalam aljabar (A21) — turunkan dan selesaikan, termasuk geometri dan soal kontekstual.

Contoh terpecahkan. Ali berumur 4 tahun lebih tua dari Ben; Cara berumur dua kali umur Ben Ben; jumlah usia mereka 44. Misalkan Ben adalah $x$: $x + (x + 4) + 2x = 44$, sehingga $4x = 40$, $x = 10$ — Ben 10, Ali 14, Cara 20; periksa $10 + 14 + 20 = 44$. Jawab pertanyaan yang ditanya (umur-umur mereka), bukan hanya $x$.

Pertidaksamaan (A22): selesaikan pertidaksamaan linear dalam satu variabel (Dasar) dengan representasi garis bilangan (lingkaran terbuka tegas, lingkaran tertutup) termasuk); Tingkat Lanjut menyelesaikan pertidaksamaan linear dalam satu atau dua variabel dan kuadrat pertidaksamaan, dengan notasi himpunan dan daerah grafik — $x^2 - x - 6 > 0$ faktor untuk $(x - 3)(x + 2) > 0$, sehingga $x < -2$ atau $x > 3$, ditulis $\{x{:}\ x < -2\} \cup \{x{:}\ x > 3\}$; garis batas putus-putus untuk pertidaksamaan ketat.

*Solusinya adalah titik potong: x = 7, y = 5 memenuhi kedua persamaan

Menghasilkan suku dari aturan suku ke suku dan posisi ke suku, termasuk pola dan diagram (A23). Mengenal angka segitiga, persegi, dan kubus serta aritmatika sederhana progresi (A24); tambahan fondasi menambah urutan tipe Fibonacci, sekuens kuadrat dan progresi geometris $ar^n$ ($r$ bilangan rasional positif); Tingkat Lanjut menambahkan urutan lain/terdefinisi rekursif dan rasio bentuk akar. Menurunkan suku ke-n (A25): linear $an + b$ (Fondasi), kuadrat $an^2 + bn + c$ pada Tingkat Lanjut — untuk $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$ the second difference is $4$, so $a = 2$ and the sequence is $2n^2 - 2n + 5$ (cek $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$).

• Notasi $ab$, $3y$, $a^2$, $\tfrac ab$; substitusi ke dalam rumus ilmiah; kosakata termasuk identitas (A1–A3).
• Mengelompokkan suku, kurung, faktor persekutuan, hukum indeks; dua binomial dan $x^2 + bx + c$ (Dasar); bentuk akar dan pecahan aljabar (Tingkat Lanjut) (A4).
• Rumus standar dan mengubah subjek persamaan (A5); identitas, argumen, dan pembuktian (A6).
• Fungsi dengan masukan/keluaran; invers dan komposit dengan $f$, fg, notasi $f^{-1}$ (A7, Tingkat Lanjut).
• Koordinat, plotting, garis sejajar (Dasar); persamaan melalui dua titik/titik+gradien, garis tegak lurus (Tingkat Lanjut) (A8–A9).
• Gradien dan intersep dari kedua arah (A10); akar, intersep, titik balik — dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada Tingkat Lanjut (A11).
• Sketsa grafik linear, kuadratik, kubik, resiprokal, eksponensial, dan trigonometri; translasi/refleksi; grafik konteks nyata dan kinematika; interpretasi gradien/luas (A12–A15).
• Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ dengan gradien tangen (A16, Tingkat Lanjut).
• Persamaan linear di kedua ruas (Q8 jangkar); kuadratik dengan pemfaktoran, rumus, melengkapkan kuadrat sempurna; kesamaan linear dan linear/kuadratik yang mempertahankan kedua akar (A17–A19).
• Iterasi dengan notasi sufiks hingga ketelitian tertentu (A20); pemodelan dan persamaan konteks (A21); pertidaksamaan dengan garis bilangan, notasi himpunan, dan daerah grafik (A22).
• Jenis barisan termasuk Fibonacci, kuadratik, geometrik dengan rasio bentuk akar; suku ke-n linear dan kuadratik (A23–A25).

Catatan Batas: Lembar Rumus menyediakan rumus kuadratik; jawaban iterasi harus menyatakan ketelitian; konvensi pertidaksamaan grafik (garis putus-putus ketat, garis padat) diperlukan. Contoh terpecahkan di atas diadaptasi dari kertas Juni 2024 Tingkat Lanjut (lihat bukti penilaian meta) atau asli.