Iterasi numerik untuk akar persamaan · Tingkat Lanjut
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | iterasi |
Adakah pengiraan berulang akan stabil?
- Satu persamaan tiada pemfaktoran yang sesuai. Bolehkah pengiraan berulang mencari penyelesaian tanpa mengesyaki nilai rawak?
- Pelajaran ini mengkaji iterasi: Ulangkan satu peraturan, menggunakan keluaran sebelumnya sebagai input seterusnya.
Pilih struktur matematika
- Susun semula persamaan sebagai x=g(x), pilih x₀ dan gunakan x_(n+1)=g(x_n). Rekodkan ketepatan kerja yang mencukupi. Urutan yang kelihatan stabil masih perlu disemak dalam persamaan asal; bukan semua susunan semula mengekang. Perubahan tanda merentasi input berterusan boleh memeriksa punca pembundaran.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Dari x₀=3, penyusunan ulang x next=x²-2 menyimpang sementara x next=√(x+2) konvergen. Mengapa?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Persamaan yang sama x²-x-2=0 memberikan banyak bentuk x=g(x). Dekat titik tetap, konvergensi memerlukan |g′|<1; x²-2 gagal syarat ini di akar, sehingga iterasinya meledak sementara √(x+2) mendekati 2.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk x²-x-2=0, gunakan x next=√(x+2) dengan x₀=1: x₁=√3≈1.73205, x₂≈1.93185, x₃≈1.98289. Titik tetap positif ialah 2 kerana 2=√4 dan 2²-2-2=0. Susunan semula hanya mencari punca bukan negatif; persamaan asal juga mempunyai punca -1. Menggunakan x next=x²-2 dari 3 sebaliknya memberikan 7 kemudian 47, jadi susunan semula yang berbeza mungkin tidak mengekang.
Iterasi numerik untuk mencari akar persamaan
Susun ulang persamaan menjadi x=g(x), pilih x₀ dan gunakan x_(n+1)=g(x_n)
Bandingkan model dengan kasus yang diselesaikan dan jelaskan satu perubahan.
Temukan x₁ dari x next=√(x+2), x₀=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(1+2)=√3.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Gunakan iterasi sebelumnya, bukan nilai permulaan setiap kali. Simpan lebih banyak digit daripada jawapan akhir. Perubahan tanda memerlukan keterputusan; lompatan merentasi asimtot menegak tidak menjamin punca.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Setiap susunan semula persamaan mengekang dari setiap nilai permulaan. Klaim ini adalah salah. Jelaskan definisi atau anggapan mana yang dilanggar.
Temukan titik tetap positif.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Selesaikan L²-L-2=0 dan pertahankan solusi nonnegatif.
Setiap penyusunan ulang persamaan konvergen dari setiap nilai awal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Gunakan iterasi sebelumnya, bukan nilai awal setiap kali. Pertahankan lebih banyak digit daripada jawaban akhir. Perubahan tanda memerlukan kontinuitas; lompatan melintasi asimtot vertikal tidak menjamin adanya akar.
Interpretasikan situasi baru
- AQA A20 Higher menggunakan iterasi numerik dan notasi suffiks. Gunakan kalkulator untuk mengikuti aturan yang disebutkan, lalu laporkan pembulatan yang diminta beserta pengecekan. Turunan Newton berada di luar pelajaran GCSE ini.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan residual persamaan asli pada x=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2²-2-2=0.
Cocokkan setiap langkah iterasi dengan tujuannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Batas yang tampak harus memenuhi L=g(L) DAN persamaan asli; pengecekan residual mendeteksi penyusunan ulang yang menyimpang atau salah akar.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 8300 · Tingkat Lanjut · 3.2. Sesuaikan tingkatan target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Ulangi sebuah aturan, dengan menggunakan output sebelumnya sebagai input berikutnya. Pilih hubungannya, tunjukkan metodenya, periksa asumsinya dan interpretasikan hasilnya.