Rasio, proporsi, dan laju perubahan

AQA GCSE Matematika 8300 topik 3.3 (spesifikasi Versi 1.0, 12 September 2014, ujian pertama 2017). Baris Dasar R1–R16 berjalan dalam tiga tingkatan; yang Higher-only Tingkat Lanjut adalah unit majemuk (densitas, tekanan) dalam konteks numerik DAN aljabar (R1), bekerja dengan persentase di atas 100% dan masalah nilai awal (R9), $k : k^2 : rasio kesamaan k^3$ (R12), menyusun persamaan untuk proporsionalitas langsung dan terbalik (R13), laju perubahan instan sebagai gradien garis singgung (R15), dan umum proses iteratif di luar bunga majemuk (R16). Set Higher Juni 2024 menyediakan jangkar yang diverifikasi di bawah ini.

Penting untuk topik 3.3:

Ubah bebas antara satuan standar terkait (waktu, panjang, luas, volume/kapasitas, massa) dan unit majemuk (kecepatan, upah per jam, harga) dalam konteks numerik; fondasi tambahan menambahkan kepadatan dan tekanan, dan Higher menerapkan mereka dalam konteks numerik DAN aljabar — silinder dengan volume $V = 2x^3$ dan massa $m = 5x^2$ memiliki kepadatan $\tfrac{5x^2}{2x^3} = \tfrac{5}{2x}$.

Notasi rasio disederhanakan ke bentuk paling sederhana ($45 : 60 = 3 : 4$); nyatakan satu besaran sebagai pecahan dari yang lain (pecahan di atas atau di bawah 1); bagi suatu besaran dalam bagian : bagian atau rasio bagian : keseluruhan — £350 dalam $2 : 5$ menghasilkan £100 dan £250. Nyatakan hubungan perkalian sebagai rasio atau pecahan (R6); perbandingan sebagai kesamaan rasio (R7); hubungkan rasio dengan pecahan dan FUNGSI LINEAR (R8: metode satuan dan $y = kx$ adalah tangga yang sama). Terapkan rasio pada konteks nyata — konversi, perbandingan, penskalaan, pencampuran, konsentrasi, masalah nilai terbaik/best-buy (R5): bandingkan harga satuan sebelum memutuskan.

Contoh terpecahkan. Pembelian terbaik: karung berat 2.5 kg berharga £6.40 (harga satuan £6.40 ÷ 2.5 = £2.56/kg) dibandingkan kotak berat 400 g seharga £1.12 (£1.12 ÷ 0.4 = £2.80/kg) — karung yang lebih besar lebih hemat, dan perbandingan ini hanya valid jika KEDUANYA dinyatakan per kilogram. Nyatakan harga satuan: penguji menginginkan pembagian ditunjukkan, bukan sekadar pilihan.

Persentase adalah bagian per seratus; tafsirkan persentase dan perubahan persentase sebagai pecahan/desimal DAN MULTIPLIKATIF (R9). Tambahan fondasi: nyatakan satu kuantitas sebagai persentase dari kuantitas lain, bandingkan dua kuantitas, kerjakan di atas 100%, peningkatan/penurunan persentase, masalah nilai awal dan bunga sederhana. Disiplin multiplier: +12% adalah ×1.12; −17% adalah ×0.83; nilai awal diperoleh dengan membagi nilai akhir dengan multiplier.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q2, diadaptasi. Penduduk suatu kota turun sebesar 12% menjadi 2200. Nilai awal $= 2200 \div 0.88 = 2500$. Pengecekan multiplier sendiri MS: $2{,}200{,}000 \div 0.88 = 2.5 \times 10^6$ dalam bentuk baku — pembagian yang sama, angka-angka yang diskala-kecil.

Selesaikan masalah proporsionalitas langsung dan terbalik dengan representasi GRAFIK DAN ALJABARIS (R10). Level Tinggi menginterpretasikan dan MENYUSUN persamaan yang mendeskripsikan berarti 13. Jika $X \propto Y$ sebanding dengan $X = kY$ pada $X$, maka konstanta perbandingan adalah $Y$; jika $X = k/Y$ sebanding dengan $y \propto x^3$ pada $y = 24$, maka $x = 2$ dan $k = 3$. $p \propto \tfrac1{x^2}$ dengan $p = 8$ pada $x = 2$, kemudian $k = 32$ dan $p = \tfrac{32}{x^2}$. Kenali dan interpretasikan grafik: proporsionalitas langsung adalah garis lurus melalui titik asal (pangkat lebih tinggi melengkung ke atas); proporsionalitas terbalik adalah kurva berbentuk resiprokal (R14 menghubungkan gradien garis lurus dengan laju perubahan).

Gunakan satuan majemuk — kecepatan, tingkat upah, harga per unit (Tingkat Dasar tambahan); densitas dan tekanan (R11), termasuk perbandingan. Perjalanan 234 km dalam 2 jam 36 menit rata-rata $234 \div 2.6 = 90$ km/jam; £9.20/jam untuk 7.5 jam membayar £69; perbandingan nilai terbaik bagi harga dengan kuantitas dan bandingkan yang sebanding.

Gunakan faktor skala, diagram skala, dan peta (R2, incl. masalah geometris). Bandingkan panjang, luas, dan volume menggunakan notasi rasio dan faktor skala (R12): panjang $k$ : faktor skala luas $k^2$ : volume $k^3$, dengan tautan ke kesamaan termasuk rasio trigonometri; Tingkat Lanjut memperluas ke tangga $k : k^2 : k^3$ dalam masalah — patung yang sebangun dengan tinggi $3 : 5$ memiliki volume dalam rasio $27 : 125$, sehingga patung berukuran 216 cm³ lebih kecil diskalakan menjadi $216 \times \tfrac{125}{27} = 1000$ cm³.

Interpretasikan kemiringan grafik garis lurus sebagai laju perubahan (R14) — pada grafik jarak-waktu itu adalah kecepatan; pada grafik kecepatan-waktu kemiringannya adalah percepatan dan LUAS adalah jarak. Tingkat Lanjut (R15) membaca kemiringan pada titik pada KURVA sebagai laju perubahan sesaat: gambar garis singgung dan ambil kemiringan-nya sebagai naik/lari — dan menerapkan laju rata-rata (tali busur) dan laju sesaat (garis singgung) dalam konteks numerik, aljabar, dan grafika.

Susun, selesaikan, dan INTERPREMASI masalah pertumbuhan dan peluruhan termasuk bunga majemuk (R16): $A = P\left(1 \pm \tfrac r{100}\right)^n$. £2000 pada tingkat 3% majemuk selama 4 tahun bertambah menjadi $2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; mobil senilai £12000 yang kehilangan 15%/tahun turun menjadi $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q10, diadaptasi. Sebuah rumah bernilai £90000 naik sebesar 3% kemudian 8%: $90000 \times 1.03 \times 1.08 = £100116$ — di atas £100000, jadi ya. Kunci Jawaban jalur pengali: $1.03 \times 1.08 = 1.1124 > 1.111\ldots = 100000/90000$. Lebih tinggi menambahkan proses iteratif umum: $x_{n+1} = f(x_n)$ siklus untuk pengulangan persentase — suatu kuantitas bertambah 5% setiap siklus mengiterasi $x_{n+1} = 1.05x_n$, dan batas (jika ada) menyelesaikan $x = f(x)$. Interpretasikan jawaban dalam konteks: bulatkan secara wajar dan nyatakan satuannya.

*Suku bunga tunggal menambah 100 setiap tahun; suku bunga majemuk meningkat sebesar 10% dari saldo baru

*Bₙ₊₁ = 1.1Bₙ + 50: 1000, 1150, 1315, 1496.5, sehingga pertama kali melewati 1400 setelah 3 tahun

• Konversi satuan dan satuan majemuk incl. densitas dan tekanan, aljabar pada Tingkat Tinggi (R1, R11).
• Faktor skala, diagram, dan peta (R2); kuantitas sebagai pecahan; notasi rasio, pembagian, masalah konteks nyata dan nilai terbaik (R3–R5).
• Hubungan perkalian sebagai rasio/pecahan; proporsi sebagai kesamaan rasio; rasio ke pecahan dan fungsi linear (R6–R8).
• Pengali persentase incl. di atas 100%, perubahan, nilai asli, suku bunga tunggal (R9; Q2 penanda).
• Proporsi langsung dan invers secara grafis dan aljabar; interpretasi dan penyusunan persamaan proporsi (R10, R13).
• Gradien sebagai tingkat perubahan; chord (rata-rata) dan tangen (seketika) tingkat perubahan (R14–R15).
• Rasio panjang : luas : volume $k : k^2 : k^3$ dengan hubungan kesebangunan (R12).
• Pertumbuhan dan peluruhan termasuk bunga majemuk; proses iteratif umum dengan interpretasi (R16; Q10 penanda).

Catatan batas: Lembar Rumus tidak memberikan apa pun untuk topik ini; perbandingan pembelian terbaik harus menunjukkan harga per satuan; proses iteratif Tingkat Lanjut mencakup pemeriksaan konvergensi. Contoh contoh diadaptasi dari soal Higher Juni 2024 (lihat asesmen meta) bukti) atau asli.