Probabilitas

AQA GCSE Matematika 8300 topik 3.5 (spesifikasi Versi 1.0, 12 September 2014, ujian pertama 2017). Baris Dasar P1–P9 berjalan dalam tiga tingkatan; tambahan baris dasar adalah sampel takberbias empiris yang cenderung menuju teoritis distribusi (P5), diagram pohon sebagai alat sistematis (P6) dan peluang independen dan KEJADIAN BERGANTUNG gabungan beserta latar belakangnya asumsi (P8); baris Higher-only adalah probabilitas bersyarat melalui frekuensi yang diharapkan dengan tabel dua arah, diagram pohon dan diagram Venn (P9). Set Higher Juni 2024 menyediakan jangkar diverifikasi di bawah ini.

Wajib tahu untuk topik 3.5:

Rekam, deskripsikan dan analisis frekuensi hasil eksperimen probabilitas eksperimen menggunakan tabel dan pohon frekuensi (P1) — probabilitas ditulis sebagai pecahan, desimal atau persentase. Terapkan ide keacakan, kemanfaatan dan kesetaraan kemungkinan kejadian untuk menghitung HASIL YANG DIHARAPKAN dari banyak masa depan eksperimen (P2): untuk probabilitas yang dinyatakan $p$, jumlah yang diharapkan dalam $n$ masa depan percobaan adalah $np$ — rata-rata jangka panjang, bukan jaminan. Pemutar mendarat merah 18 kali dalam 60 putaran memperkirakan $P(\text{red}) = \tfrac{18}{60} = 0.3$, sehingga 200 putaran masa depan diharapkan $0.3 \times 200 = 60$ merah; 48 atau 54 kepala dalam 100 adil mungkin walaupun 50 diharapkan.

Contoh terpecahkan: 3H Juni 2024 Q10, dimodifikasi. Peluang hujan pada suatu Jun di sebuah bandar ialah 0.38. Daripada 150 hari, bilangan hari kering yang dijangka: $1 - 0.38 = 0.62$, lalu $0.62 \times 150 = 93$.

Memahami bahawa sampel empirikal tidak berat sebelah cenderung kepada taburan teori distribusi dengan peningkatan ukuran sampel (P5) — 6 kepala dalam 10 lemparan memperkirakan 0.6; 502 dalam 1000 memperkirakan 0.502 — sampel lebih besar lebih stabil, tidak pernah tepat.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q7, dimodifikasi. Empat siswa melempar koin berbilangan kali berbeza; seorang mendapat 52 muka atas dalam 200 balingan. Anggaran terbaik untuk $P(\text{head})$ ialah $\tfrac{52}{200}$ — ia berasal daripada bilangan balingan terbesar.

Hubungkan frekuensi relatif yang diharapkan dengan peluang teoritis menggunakan bahasa yang sesuai dan skala kebarangkalian 0-ke-1 (P3); terapkan sifat bahawa kebarangkalian bagi satu set outcomes (saling eksklusif) yang menyeluruh atau peristiwa hasil tambah kepada 1 (P4). Jika merah, biru dan hijau adalah menyeluruh dengan kebarangkalian 0.3 dan 0.45, yang ketiga ialah $1 - 0.75 = 0.25$.

Contoh terpecahkan: 2H Juni 2024 Q4(b), dimodifikasi. Daftar peluang yang diklaim untuk pemutar hasil tambah kepada 1.1 — mustahil: kebarangkalian bagi satu set outcomes yang menyeluruh dari hasil yang saling lepas berjumlah 1 (0.1 terlalu banyak).

Contoh kerja: 3H Juni 2024 Q16, disesuaikan. Dua dadadilempar 72 kali; jumlah total 7 terjadi 14 kali. Teoritis $= \tfrac{6}{36} = \tfrac16$ (diharapkan $72 \times \tfrac16 = 12$); frekuensi relatif $= \tfrac{14}{72} = \tfrac7{36}$, yang melebihi $\tfrac16$. Hasil ini saja tidak membuktikan bias: variasi pengambilan sampel biasa dapat menjelaskan perbedaan dari frekuensi harapan.

Jumlahkan himpunan dan kombinasi himpunan SECARA SISTEMATIS, menggunakan tabel, grid dan diagram Venn, termasuk diagram pohon pada fondasi tambahan (P6). Bangun ruang kemungkinan teoritis untuk percobaan tunggal dan gabungan dengan hasil yang sama mungkin dan gunakan untuk menghitung probabilitas teoritis (P7): sebuah koin dan sebuah dadu menghasilkan 12 hasil berurutan yang sama mungkin, muka-genap adalah $\tfrac3{12} = \tfrac14$; dua dadu menghasilkan 36 pasangan berurutan — total tujuh memiliki $\tfrac6{36} = \tfrac16$ dan minimal-sebelas memiliki $\tfrac3{36} = \tfrac1{12}$. Nyatakan apakah urutan penting, dan mengapa hasil yang dicatat sama mungkin, sebelum membagi jumlah.

Contoh terpecahkan: 3H Juni 2024 Q22, diadaptasi. Kode menggunakan empat digit berbeda, dari lima: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ kode mungkin — hitung secara sistematis ke bawah setiap tahap, tidak pernah $5^4 = 625$, yang memungkinkan pengulangan digit. (Jumlahnya kebetulan sama dengan $5! = 120$ hanya karena, setelah empat digit dipilih, digit kelima dipaksakan.)

Dalam kelas 30, 18 bersepeda, 12 berenang dan 7 melakukan keduanya: area Venn diisi tumpang tindih-dahulu — hanya bersepeda 11, hanya berenang 5, setidaknya satu $= 23$, tidak ada pun 7; tabel dua arah memeriksa kembali ke 18, 12, 30. Gabungan, irisan dan komplemen menerjemahkan kata-kata keduanya, salah satu/paling sedikit satu, hanya dan tidak ada ke dalam area yang dihitung; arsiran pada area yang benar.

Contoh kerja: 2H Juni 2024 Q9, disesuaikan. Pada diagram Venn dua himpunan, "baik A maupun B" mengarsir IRISAN — lensa tumpang tindih saja.

Hitung probabilitas peristiwa gabungan independen dan bergantung, termasuk menggunakan diagram pohon dan representasi lainnya, serta mengetahui dasar (P8) — termasuk KAPAN MENAMBAHKAN dan kapan mengalikan: kalikan sepanjang jalur (tahap berturut-turut), tambahkan melintasi jalur yang saling lepas (jalur yang saling meniadakan jalur). Tas berisi 3 koin merah dan 2 koin biru: dengan pengembalian $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac35 = \tfrac9{25}$; tanpa pengembalian $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac24 = \tfrac3{10}$ dan $P(\text{one of each}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac35$. Independen peristiwa saling bebas menjaga penyebut setiap tahap tetap — justifikasikan independensi dari konteks (penggantian, uji terpisah) sebelum menggunakan perkalian langsung; dua peristiwa yang saling lepas dengan probabilitas positif TIDAK independen.

Contoh terpecahkan: 3H Juni 2024 Q12(b), diadaptasi. Mesin gagal pada suatu titik hari dengan probabilitas 0.05, secara independen setiap hari. $P(\text{paling sedikit satu kerusakan dalam dua hari}) = 1 - 0.95 \times 0.95 = 1 - 0.9025 = 0.0975$ — jalur komplement lebih unggul daripada menjumlahkan tiga jalur kerusakan.

Tingkat Lanjut (P9): hitung dan interpretasikan probabilitas bersyarat melalui frekuensi yang diharapkan dengan tabel silang, diagram pohon, dan diagram Venn — frekuensi dengan tabel dua arah, diagram pohon dan diagram Venn — MEMBATASI penyebut hanya pada kelompok yang diberikan. Dari kelas $P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ($P(B) > 0$ bersepeda, MEMBATASI penyebut hanya pada kelompok yang diberikan. Dari kelas 30 (18 siklus, 12 berenang, 7 keduanya): $P(\text{swim} \mid \text{cycle}) = \tfrac7{18}$ sementara $P(\text{cycle} \mid \text{swim}) = \tfrac7{12}$ — membalikkan kondisi mengubah penyebut, dan tidak sama dengan nilai tanpa syarat $\tfrac{12}{30}$. Dengan frekuensi yang diharapkan: suatu kondisi yang memengaruhi 20% dari 1000 orang, tes positif untuk 90% dari mereka yang mengalaminya dan 10% dari mereka yang tidak, memberikan $180 + 80 = 260$ positif, di mana $\tfrac{180}{260} = \tfrac9{13} \approx 0.692$ memiliki kondisi tersebut — bukan 90%. Diberikan-positif dan positif-diberikan-kondisi soal yang berbeda.

Contoh terpecahkan: Tier Tinggi. Tas merah-3-biru-2, tanpa pengembalian, TERBALIK: diketahui penarik KEDUA berwarna merah, berapakah probabilitas penarik pertama biru? $P(\text{second R}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac{12}{20}$; $P(\text{blue then red}) = \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac6{20}$; so $P(\text{first B} \mid \text{second R}) = \tfrac6{20} \div \tfrac{12}{20} = \tfrac12$. Penghitungan sesuai: 12 dari 20 pasangan berurutan berakhir dengan merah; 6 di antaranya dimulai dengan biru.

• Tabel frekuensi dan pohon frekuensi untuk eksperimen; probabilitas sebagai pecahan, desimal, persentase (P1).
• Keacakan, keadilan, kejadian sama kemungkinan; hasil yang diharapkan dari banyak eksperimen masa depan (P2; Q10 penanda: $0.62 \times 150 = 93$).
• Frekuensi relatif vs probabilitas teoritis pada skala 0 hingga 1 (P3; Q16 penanda: $\tfrac{14}{72}$ vs $\tfrac16$).
• Hasil saling lepas yang lengkap berjumlah 1; komplemen (P4; Q4b penanda).
• Sampel empiris tak bias cenderung menuju teori dengan sampel yang lebih besar (P5; Q7 penanda: $\tfrac{52}{200}$ dari paling banyak lemparan).
• Enumerasi sistematis dengan tabel, grid, diagram Venn, pohon (P6; Q22 penanda: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$).
• Ruang kemungkinan teoritis untuk eksperimen tunggal dan gabungan yang sama kemungkinannya (P7; Q4a penanda: $\tfrac26$).
• Kejadian gabungan independen dan dependen; kalikan sepanjang jalur, jumlahkan rute tak bersinggungan; asumsi dinyatakan (P8; Q12b penanda: $1 - 0.95^2 = 0.0975$).
• Probabilitas bersyarat melalui frekuensi yang diharapkan dengan tabel dua arah, pohon keputusan, dan diagram Venn (P9: $\tfrac7{18}$ vs $\tfrac7{12}$).

Catatan Batas: tidak ada bagian di sini yang muncul di Lembar Rumus; "diharapkan" adalah rata-rata jangka panjang; justifikasi independensi dari konteks sebelum melakukan perkalian. Contoh terpecahkan diadaptasi dari ujian Juni 2024 Papers Higher atau asli.