جبر

AQA GCSE الرياضيات 8300 موضوع 3.2 (المواصفة الإصدار 1.0، 12 سبتمبر 2014، الاختبارات الأولى 2017). الصفوف الأساسية تمضي A1–A25 في ثلاث مستويات (أساسي/ إضافي أساسي / أعلى فقط)؛ الإضافات الخاصة بالأعلى فقط هي الجذور التربيعية والكسور الجبرية (A4)، المتطابقات والإثبات (A6)، الدوال العكسية والمركبة مع f, fg وتعبير f⁻¹ (A7)، المستقيمات العمودية (A9)، النقاط المحورية بإكمال المربع (A11)، الرسوم البيانية لكوبية ومقلوبة وأسيّة ومثلثية (A12)، و معادلة الدائرة مع المماسات (A16)، القانون العام للمعادلة التربيعية (A18)، التزامن الخطي/التربيعي (A19)، التكرار (A20)، رموز المجموعات ومناطق المتباينات البيانية (A22) والمتتاليات التربيعية/الهندسية/الجذرية (A24–A25). مجموعة المستوى الأعلى في يونيو 2024 تزود بالمرسيات المؤكدة أدناه.

ما يجب معرفته لموضوع 3.2 (ورقة الصيغ تقدم معادلة تربيعية فقط):

التدوين الجبري يكتب $ab$ بدلاً من $a \times b$، و$3y$ بدلاً من $y + y + y$، و$a^2$، و$a^3$، و$a^2b$، و$\tfrac ab$ بدلاً من $a \div b$ — كمعاملات ككسور، وليس كأعداد عشرية — و الأقواس؛ يُتوقع أن تكون الإجابات أبسط صورة دون أن يُطلب ذلك صراحةً. عوض في الصيغ بما فيها تلك العلمية (الصيغ غير المألوفة مذكورة في السؤال). المفردات — عبارة، معادلة، صيغة، متباينة، متطابقة، حد، عامل — تحمل معنى: المعادلة تطلب القيم التي تحققها؛ المتطابقة صحيحة لكل قيمة.

بسط وعالج بجمع الحدود المتشابهة، وضرب حد واحد داخل قوس، وإخراج العوامل المشتركة، واستخدام قوانين الأسس. يضيف المستوى الأساسي إضافي الأقواس، استخراج العوامل المشتركة واستخدام قواعد الأسس. المستوى الأساسي الإضافي يضيف فك قوسين وضربين وعملية تحليل $x^2 + bx + c$ بالفرق بين مربعين مربعين. المستوى المتقدم يضيف الجذور والكسور الجبرية: فك القوس وتبسيط $(3 + \sqrt2)(1 - 2\sqrt2) = 3 - 6\sqrt2 + \sqrt2 - 4 = -1 - 5\sqrt2$; الـمتطابقة تثبت التكافؤ لجميع القيم: $6x^2 - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)$، و

المطابقة تثبت التكافؤ لجميع القيم: $(x + 2)^2 \equiv x^2 + 4x + 4$، و يطلب 3 June 2024 المرسى هذا بالضبط ("هذا صحيح لجميع قيم $x$"). البراهين فك الضرب وقارن كلا الطرفين — الأمثلة العددية لا تثبت المتطابقة. أعد الترتيب الصيغ لتغيير الموضوع ($v = u + at \Rightarrow t = \tfrac{v-u}a$)، بما في ذلك من مواضيع أخرى بالكلمات أو الرموز.

الدالة تربط المدخلات بالمخرجات؛ فسر التعبيرات البسيطة كدوال (A7، الأساس). المستوى الأعلى يضيف الدالة العكسية — عكس العمليات، أو بدل ترتيبها وأعد ترتيبها — و المركبة $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$، طبق $g$ أولاً، باستخدام $f(x)$، $fg(x)$ و$f^{-1}(x)$ كرموز. حالة محلولة: $f(x) = 3x - 5$، $g(x) = x^2$: $\mathrm{fg}(2) = f(4) = 7$؛ من $y = 3x - 5$، $x = \tfrac{y+5}3$، لذا $f^{-1}(x) = \tfrac{x+5}3$. تحقق من $f^{-1}(f(x)) = x$.

الإحداثيات في الأرباع الأربعة جميعها؛ ارسم خطوطاً مستقيمة من $y = mx + c$. الـ المستوى الأساسي الإضافي يحدد الخطوط المتوازية من الميل المتساوي؛ المستوى الأعلى يجد المعادلة عبر نقطتين أو نقطة واحدة بميل معطى ويحدد الخطوط العمودية ($m_1 m_2 = -1$): عبر $(1, 7)$ و $(2, 9)$ الخط هو $y = 2x + 5$، والعمودي عبر $(1, 7)$ هو $y - 7 = -\tfrac12(x - 1)$. حدد الميل والمقاطع بيانياً وجبرياً (A10).

بالنسبة للدوال التربيعية (A11)، حدد الجذور والقطع والمحاور والنقاط الحرجة بيانياً؛ الإضافة للمستوى الأساسي تستنتج الجذور جبرياً؛ للمستوى المتقدم تستنتج النقاط الحرجة عن طريق والتماثل $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$. تعرّف على الرسوم البيانية الخطية والتربيعية ورسمها (A$(3, -4)$)؛ إضافةً إلى أن المستوى الإضافي يضيف مكعبات بسيطة ودالة المقلوب $x = 3$ (12)؛ المستوى الإضافي يضيف المكعبات البسيطة والمقلوب $y = \tfrac1x$ ($x \ne 0$); المستوى المتقدم يضيف الدوال الأسية $y = k^x$ ($k > 0$) و$y = \sin x$، $\cos x$، $\tan x$ لـ الرسوم البيانية غير القياسية ذات السياق الحقيقي بما في ذلك المسافة/السرعة/العجلة الحركية (A13، والدالة المقلوبة والأسية $y = f(x) + a$ لأعلى، $y = f(x + a)$ لليسار. رسم وتفسير سياقات حقيقية غير قياسية مسافات (A14 — حيث تمثل مساحة السرعة-الزمن المسافة). في المستوى المتقدم؛ تقدير الميل والمساحات تحت المنحنيات وتفسيرها كمعدلات و المسافات (A15 — مساحة السرعة-الزمن الموقعة تعطي الإزاحة؛ إضافة المساحات المطلقة تعطي المسافة الكلية).

A16 في المستوى المتقدم: الدائرة ذات المركز في نقطة الأصل لها $x^2 + y^2 = r^2$، والمماس عند $(x_1, y_1)$ له ميل $-\tfrac{x_1}{y_1}$ عندما $y_1\ne0$. عندما يكون كلا الميلين محدوداً، يكون ميل نصف القطر $\tfrac{y_1}{x_1}$ وحاصل ضربهما هو $-1$. عند $y_1=0$، المماس عمودي.

حل معادلات خطية بمتغير واحد (A17) — المتغير على أي جانب، مع وجود أقواس ضمنها: $7x - 22 = 4x + 29$ يعطي $3x = 51$ و$x = 17$ (مرجع امتحان يونيو 1H 2024 Q8). Quadratics (A18): factorise $x^2 + bx + c$ (Foundation additional, including إعادة الترتيب)، لذا كل جذر ينشأ من عامل يساوي الصفر؛ المستوى المتقدم يضيف إكمال المربع وقانون الجذور التربيعية، مع المميز تحديد عدد الجذور — $x^2 + 6x + 2 = 0$ يعطي $x = -3 \pm \sqrt7$. حلول تقريبية من الرسوم البيانية في كل مستوى.

مثال محلول: المستوى المتقدم. $2x^2 - 5x - 4 = 0$: $b^2 - 4ac = 25 + 32 = 57 > 0$، لذا اثنان منفصلان؛ $x = \tfrac{5 \pm \sqrt{57}}{4}$، وفي السطر الأخير فقط $x = 3.14$ أو $-0.64$ (2 منازل عشرية) — احتفظ بـ $\sqrt{57}$ دقيقاً حتى الإجابة النهائية، وأذكر دقة الإجابة.

التزامن (A19): حل معادلتين خطيتين جبرياً وبيانياً عن طريق الحذف (أساسي).

مثال محلول. $3x + 2y = 16$ و $5x - 2y = 8$: حدود $y$ تحتوي على إشارات متعاكسة، لذا اجمع — $8x = 24$، $x = 3$؛ أعِد التعويض بـ $9 + 2y = 16$، لذا $y = 3.5$. نفس الإشارات: اطرح. لا يوجد تطابق: اضرب إحدى المعادلات في معامل أولاً.

الأعلى يضيف خطي/تربيعي — $y = 2x + 5$ مع $y = x^2$: بالتعويض يحصل على $x^2 - 2x - 5 = 0$، لذا $x = 1 \pm \sqrt6$ — احتفظ بكلا نقطتي التقاطع.

التكرار (A20، الأعلى): حل عدديًا باستخدام تدوين اللاحقة — من $x^3 - 3x - 1 = 0$، أعد ترتيب $x = \sqrt[3]{3x + 1}$ وأعد التكرار $x_{n+1} = \sqrt[3]{3x_n + 1}$ من $x_1 = 1$: $x_2 = 1.587$، $x_3 = 1.793$، $x_4 = 1.855$، $x_5 = 1.872$، تتقارب نحو الجذر $1.879$ (3 د.ب.). اعرض القيم بدقة محددة تحقق القيمة النهائية في المعادلة الأصلية.

ترجمة المواقف إلى جبر (A21) — اشتقاق وحل، بما في ذلك مسائل الهندسة و السياق.

مثال محلول. علي أكبر من بن سنين 4؛ كارا ضعف عمر بن العمر؛ مجموع أعمارهم 44. ليكن عمر بن $x$: $x + (x + 4) + 2x = 44$، إذن $4x = 40$، $x = 10$ — عمر بن 10، عمر علي 14، عمر كارا 20؛ تحقق من $10 + 14 + 20 = 44$. أجب عن السؤال مطلوبة (الأعمار)، وليس فقط $x$.

المتباينات (A22): حل المتباينات الخطية في متغير واحد (الأساس) مع التمثيل على خط الأعداد (دائرة مفتوحة للمساواة الصارمة، دائرة مغلقة مضمون); المستوى المتقدم يحل المتباينات الخطية بمتغير واحد أو متغيرين والمتباينات التربيعية المتباينات، مع رمز المجموعات والمناطق البيانية — $x^2 - x - 6 > 0$ عوامل لـ $(x - 3)(x + 2) > 0$، لذا $x < -2$ أو $x > 3$، تُكتب $\{x{:}\ x < -2\} \cup \{x{:}\ x > 3\}$؛ خطوط حدود متقطعة للمتباينات الصارمة.

*الحل هو نقطة التقاطع: x = 7, y = 5 تحقق كلا المعادلتين

توليد الحدود من قواعد الحد إلى الحد وقواعد الموقع إلى الحد، بما في ذلك الأنماط و المخططات (A23). التعرف على الأعداد المثلثة والمربعة والمكعبة والمتتاليات الحسابية البسيطة تسلسلات أخرى/معرفة بتكرارية ونسب جذور. استنتج الحدود النونية (A24): خطية والتناصبات الهندسية progressions $ar^n$ ($r$ عدد نسبي موجب); المستوى المتقدم يضيف متتاليات أخرى/مُعرَّفة بتكرار ونسب جذرية. استنتاج حدود الناقلة (A25): خطية $an + b$ (الأساسية)، تربيعية $an^2 + bn + c$ في المستوى المتقدم — لـ $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$ the second difference is $4$, so $a = 2$ and the sequence is $2n^2 - 2n + 5$ (تحقق $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$).

• الترميز $ab$، $3y$، $a^2$، $\tfrac ab$؛ التعويض في المعادلات العلمية؛ المفردات بما فيها المتطابقة (A1–A3).
• تجميع الحدود، الأقواس، العوامل المشتركة، قوانين الأسس؛ حدين ومقدار $x^2 + bx + c$ (المستوى الأساسي)؛ الجذور التربيعية والكسور الجبرية (الأعلى) (A4).
• الصيغ القياسية وتغيير الموضوع (A5)؛ المتطابقات والبراهين والأدلة (A6).
• الدوال بالمداخل والمخرجات؛ العكسية والمركبة مع $f$، fg، $f^{-1}$ الترميز (A7، الأعلى).
• الإحداثيات، الرسم البياني، الخطوط المتوازية (المستوى الأساسي)؛ معادلة تمر بنقطتين/نقطة+ميل، خطوط عمودية (الأعلى) (A8–A9).
• الميل والتقاطع طرزين (A10)؛ الجذور، التقاطعات، النقاط الحرجة — بإكمال المربع في المستوى الأعلى (A11).
• رسم بياني للدوال الخطية والتربيعية والمكعبة والمقلوبة والأسية والمثلثية؛ التحويلات/الانعكاسات؛ الرسوم البيانية ذات السياق الحقيقي والحركية؛ تفسير الميل/المساحة (A12–A15).
• دائرة $x^2 + y^2 = r^2$ مع ميل المماس (A16، الأعلى).
• معادلات خطية من طرفين (Q8 Anchor)؛ تربيعية بالتحليل، بالصيغة، بإكمال المربع؛ خطية وخطية/تربيعية متزامنة مع الاحتفاظ بالجذرين (A17–A19).
• التكرار بترميز اللاحقة بدقة محددة (A20)؛ النمذجة ومعادلات السياق (A21)؛ المتباينات بمخططات الأعداد، ترميز المجموعات والمناطق البيانية (A22).
• أنواع المتتاليات بما فيها فيبوناتشي، التربيعية، الهندسية بنسب جذرية؛ حدود nth خطية وتربيعية (A23–A25).

ملاحظات حدودية: يوفر نموذج الصيغ الصيغة التربيعية؛ إجابات التكرار يجب أن تنص على الدقة؛ قواعد المتباينات البيانية (متقطع صارم، متصل مشمول) مطلوبة. الأمثلة المحلولة أعلاه مستوحاة من أوراق يونيو 2024 الأعلى (راجع أدلة التقييم في السجل الوصفي) أو أصلية.