التكرار العددي لجذور المعادلة · مستوى متقدم
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | التكرار |
هل الحساب المتكرر سيستقر؟
- المعادلة ليس لها تحليل عامل مناسب. هل يمكن للحساب المتكرر تحديد حل دون تخمين قيم عشوائية؟
- تدرس هذه الدرس التكرار: تطبيق قاعدة بشكل متكرر باستخدام الخرج السابق كمدخل التالي.
اختر البنية الرياضية
- أعد ترتيب المعادلة على شكل x=g(x)، اختر x₀ واستخدم x_(n+1)=g(x_n). سجّل دقة عمل كافية. يجب التحقق من تسلسل يبدو مستقراً في المعادلة الأصلية؛ ليس كل إعادة ترتيب تتقارب. تغيير الإشارة عبر مدخلات متصلة يمكن أن يتحقق من جذر مقرب.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
من x₀=3، فإن الترتيب重新排列 x next=x²-2 يتباعد بينما x next=√(x+2) يتقارب. لماذا؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
نفس المعادلة x²-x-2=0 تعطي صيغاً متعددة x=g(x). بالقرب من نقطة ثابتة، يتطلب التقارب |g′|<1؛ x²-2 يفشل هذا الشرط عند الجذر، لذا تتفجر تكراراتها بينما √(x+2) تستقر عند 2.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ x²-x-2=0، استخدم x_next=√(x+2) مع x₀=1: x₁=√3≈1.73205، x₂≈1.93185، x₃≈1.98289. النقطة الثابتة الموجبة هي 2 لأن 2=√4 و2²-2-2=0. إعادة الترتيب هذه تبحث فقط عن جذر غير سالب؛ المعادلة الأصلية تحتوي أيضاً على جذر -1. استخدام x_next=x²-2 من 3 بدلاً منه يعطي 7 ثم 47، لذا إعادة ترتيب مختلفة قد تتباعد.
التكرار العددي لجذور المعادلة
أعد ترتيب المعادلة على صورة x=g(x)، واختر x₀ واستخدم x_(n+1)=g(x_n)
قارن النموذج بالحالة المحلولة واشرح تغييراً واحداً.
أوجد x₁ من x_next=√(x+2)، مع x₀=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(1+2)=√3.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- استخدم التكرار السابق، لا القيمة الابتدائية كل مرة. احتفظ بأكبر عدد من الأرقام من الإجابة النهائية. تغيير الإشارة يحتاج اتصال؛ قفزة عبر تقارب رأسي لا تضمن وجود جذر.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل إعادة ترتيب لمعادلة تتقارب من كل قيمة ابتدائية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.
أوجد نقطة التثبيت الموجبة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
حل L²-L-2=0 واحفظ الحل غير السالب فقط.
كل إعادة ترتيب لمعادلة تتقارب من أي قيمة ابتدائية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
استخدم التكرار السابق، لا القيمة الابتدائية في كل مرة. احتفظ بآلاف عشر أكثر من الإجابة النهائية. تغير الإشارة يتطلب الاستمرارية؛ والقفزة عبر تقارب رأسي لا تضمن وجود جذر.
تفسير موقف جديد
- يستخدم AQA A20 المستوى العالي التكرار العددي والرموز اللاحقة. استخدم الآلة الحاسبة لمتابعة القاعدة المعلنة، ثم أبلغ عن التقريب المطلوب مع إجراء التحقق. مشتقات نيوتن خارج هذا الدرس من GCSE.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد قيمة البقية للمعادلة الأصلية عند x=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2²-2-2=0.
طابق كل خطوة تكرار مع غرضها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
يجب أن يحقق الحد الظاهر L=g(L) AND المعادلة الأصلية؛ التحقق من البواقي يكتشف إعادة الترتيب المتباعدة أو خاطئة الجذر.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 8300 · أعلى · 3.2. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين التوسعات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
أعد تطبيق قاعدة ما، مستخدماً الناتج السابق كمدخل التالي. اختر العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.