احتمال

رياضيات AQA GCSE 8300 موضوع 3.5 (النظام الدراسي الإصدار 1.0، 12 سبتمبر 2014، أول امتحانات 2017). صفوف المستوى الأساسي P1–P9 تنقسم إلى ثلاث مستويات؛ الصفوف الأساسية الإضافية الفئات الأساسية هي عينات غير منحازة تميل نحو الاحتمالات النظرية احتمالات الأحداث المستقلة والمترابطة مع تكراراتها المتوقعة باستخدام جداول البيانات ثنائية الأبعاد، ومخططات الأشجار ومخططات ڤين (P5). يوفر اختبار يونيو 6 المستوى الأعلى أركانًا مؤكدة أدناه. احتمال الأحداث المستقلة والأحداث المترابطة المدمجة مع خلفياتها ما يجب معرفته لموضوع 8: التكرارات المتوقعة مع الجداول ثنائية الأبعاد، ومخططات الأشجار ومخططات ڤين (P9). The June 2024 Higher set supplies verified anchors below.

Must-know for topic 3.5:

سجل ووصح وحلل تكرار نتائج الاحتمال تجارب باستخدام جداول وشجرة التكرار (P1) — تُكتب الاحتمالات على شكل الكسور أو العشرات أو النسب المئوية. طبق مفاهيم العشوائية والعدالة و الأحداث المتساوية الاحتمالية لحساب النتائج المتوقعة لعدة أحداث مستقبلية. (P2): بالنسبة للاحتمال المُعطى $p$، العدد المتوقع في $n$ تجربة مستقبل هو $np$ — وهو متوسط طويل الأمد، وليس ضمانًا. إذا هبط مقياس الدوران على الأحمر 18 مرات في 60 دوران، فإن هذا يُقدّر $P(\text{red}) = \tfrac{18}{60} = 0.3$، لذا 200 دوران مستقبلي يتوقع $0.3 \times 200 = 60$ أحمر؛ ظهور 48 أو 54 من الرءوس في 100 رمي منصف ممكن حتى لو كان 50 هو المتوقع.

مثال محلول: 3H يونيو 2024 Q10، مُعدّل. احتمال هطول الأمطار في توزيع يونيو في بلدة هو 0.38. من بين 150 يومًا، العدد المتوقع للأيام الجافة: $1 - 0.38 = 0.62$، ثم $0.62 \times 150 = 93$.

فهم أن العينات التجريبية غير المتحيزة تميل نحو التوزيع النظري ذو حجم عينة متزايد (P5) — 6 رؤوس في 10 رميات يُقدّر 0.6؛ 502 في 1000 يُقدّر 0.502 — العينات الأكبر أكثر استقراراً، وليست دقيقة أبداً.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q7، مُعدّل. أربع طلاب يرمون عملة معدنية عدد مختلف من المرات؛ أحدهم يحصل على 52 رؤوس في 200 رميات. أفضل تقدير لـ $P(\text{head})$ هو $\tfrac{52}{200}$ — لأنه ناتج عن أكبر عدد من ربط التكرارات المتوقعة النسبية بالاحتمال النظري باستخدام

ارتبط التواترات المتوقعة النسبية بـالاحتمال النظري باستخدام اللغة المناسبة ومقياس 0-إلى-1 احتمالية (P3)؛ طبق الخاصية أن احتمالات مجموعة شاملة من النتائج (المتبادلة للاستبعاد) أو الأحداث مجموعها 1 (P4). إذا كان الأحمر والأزرق والأخضر يشكلون مجموعة شاملة مع احتمالات 0.3 و0.45، فإن الثالثة تساوي $1 - 0.75 = 0.25$.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q4(b)، مُعدّل. قائمة احتمالات مدّعى بها للعجلة المزدحرفة تجمع إلى 1.1 — مستحيل: احتمالات مجموعة شاملة من نتائج متبادلة للاستبعاد مجموعها 1 (0.1 زائدة).

مثال محلول: 3H يونيو 2024 Q16، مُعدّل. رُُميت نردان 72 مرات، مجموع 7 ظهر 14 مرة. نظريًا $= \tfrac{6}{36} = \tfrac16$ (النتيجة المتوقعة $72 \times \tfrac16 = 12$)؛ التكرار النسبي $= \tfrac{14}{72} = \tfrac7{36}$، والتي تتجاوز $\tfrac16$. هذا النتيجة وحدها لا تُثبت التحيز: التباين العشوائي العادي يمكن أن يفسر فرقاً عن التكرار المتوقع.

عدّ المجموعات ومجموعاتها MANUALLY باستخدام الجداول والشبكات و مخططات فين، بما في ذلك المخططات الشجرية في المرحلة الأساسية الإضافية (P6). بنِ فضاءات الممكنات النظرية للتجارب الفردية والمركبة مع نتائج متساوية الاحتمال واستخدمها لحساب الاحتمالات النظرية (P7): عملة ونرد يعطيان 12 نتيجة مرتبة متساوية الاحتمال، ظهور-مع-زوجي هو $\tfrac3{12} = \tfrac14$؛ حجرَي نرد يعطيان 36 أزواجاً مرتبة — المجموع سبعة له $\tfrac6{36} = \tfrac16$ و"على الأقل-أحد عشر" يحتويان على $\tfrac3{36} = \tfrac1{12}$. حدد ما إذا كان الترتيب مهماً، ولماذا تكون النتائج المدرجة متساوية الاحتمالية، قبل قسمة العدادات.

مثال محلول: 3H يونيو 2024 Q22، مُعدّل. كود يستخدم أربعة أرقام مختلفة من خمسة: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ رمزاً ممكناً — احسبها منهجياً عبر كل مرحلة، دون تكرار $5^4 = 625$، مما يسمح بتكرار الأرقام. (يحدث أن يساوي العدد $5! = 120$ فقط لأنه بمجرد اختيار أربعة أرقام، يكون الخامس مقيداً.)

في فصل يتكون من 30 طالباً، 18 يمارسون الدراجات، و12 يسبحون، و7 يقومان بال الاثنين: مناطق Venn تمتلئ تداخل-أولاً — ركوب فقط 11، سباحة فقط 5، على الأقل واحد $= 23$، لا 7؛ الجدول الثنائي يتحقق من 18، 12، 30. الاتحاد والتقاطع والمكمّل يترجمان كلمتي "كلا"، "أحد/على الأقل" واحد، فقط ولا أي منهما إلى مناطق معداد؛ ظلّل المنطقة الصحيحة.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q9، مُعدّل. على مخطط فين لمجموعتين، "A و B معاً" يشير إلى التقاطع — عدسة التداخل فقط.

*املأ منطقة التداخل أولاً: 11 + 7 + 5 = 23 يقومون بواحد على الأقل، لذا 7 لا يقومون بأي منهما

احتمل احتمال الأحداث المركبة المستقلة والمت التابعة، بما في ذلك استخدام المخططات الشجرية وتمثيلات أخرى، ومعرفة الأساس افتراضات (P8) — بما في ذلك متى نجمع ومتى نضرب: نضرب على طول مسار (مراحل متتالية)، ونجمع عبر مسارات منفصلة (طرق متباينة الطرق). حقيبة تحتوي على 3 أحمر و2 أزرق: مع الإعادة $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac35 = \tfrac9{25}$؛ بدون إعادة $P(RR) = \tfrac35 \times \tfrac24 = \tfrac3{10}$ و $P(\text{one of each}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac35$. الأحداث المستقلة تحافظ على ثبات مقام كل مرحلة — برر الاستقلال من خلال السياق (الإرجاع، تجارب منفصلة) قبل استخدام الضرب المباشر؛ حدثان منفصلان احتماليتهما موجبة ليسا مستقلين.

مثال محلول: 3H يونيو 2024 Q12(b)، مُعدّل. تعطل آلة في وقت محدد معطى باحتمالية 0.05، بشكل مستقل كل يوم. $P(\text{حدث عطل واحد على الأقل في يومين}) = 1 - 0.95 \times 0.95 = 1 - 0.9025 = 0.0975$ — طريق المكملة أفضل من جمع المسارات الثلاثة المتعطلة.

الأعلى (P9): احسب وفسّر الاحتمال الشرطي من خلال التكرارات المتوقعة باستخدام الجداول الثنائية، ومخططات الأشجار ومخططات فين — $P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ مع $P(B) > 0$: الشرطية تُقيّد المقام لمجموعة المعطاة. من مجموعة 30 (18 دورة سباحة, 12 سباحة، 7 كلاهما): $P(\text{swim} \mid \text{cycle}) = \tfrac7{18}$ بينما $P(\text{cycle} \mid \text{swim}) = \tfrac7{12}$ — عكس الشرط يغيّر المقام، ولا يساوي أي منهما الاحتمال غير المشروط $\tfrac{12}{30}$. مع التكرارات المتوقعة: شرط يؤثر على 20% من 1000 أشخاص، اختبار إيجابي لـ 90% ممن لديهم الشرط و10% ممن لا يملكونه، gives $180 + 80 = 260$ positives, of which $\tfrac{180}{260} = \tfrac9{13} \approx 0.692$ لديهم الشرط — وليس 90%. المعطى-إيجابي والإيجابي-معطى-بالشرط هما سؤالان مختلفان.

مثال محلول: المستوى المتقدم. الحقيبة 3-حمراء-2-زرقاء، بدون استبدال، عكس: إذا كان العنصر الثاني أحمر، فما احتمال أن يكون الأول blue? $P(\text{second R}) = \tfrac35 \times \tfrac24 + \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac{12}{20}$; $P(\text{blue then red}) = \tfrac25 \times \tfrac34 = \tfrac6{20}$; so $P(\text{first B} \mid \text{second R}) = \tfrac6{20} \div \tfrac{12}{20} = \tfrac12$. العد يتوافق: 12 من 20 الأزواج المرتبة تنتهي بالأحمر؛ 6 منها تبدأ بالأزرق.

• جداول التكرار وأشجار التكرار للتجارب؛ الاحتمالات بكسور وأعداد عشرية ونسب مئوية (P1).
• العشوائية والعدالة والأحداث المتساوية الاحتمال؛ النتائج المتوقعة لتجارب مستقبلية متعددة (P2؛ مرجع Q10: $0.62 \times 150 = 93$).
• التكرار النسبي مقابل الاحتمال النظري على مقياس 0 إلى 1 (P3؛ مرجع Q16: $\tfrac{14}{72}$ مقابل $\tfrac16$).
• مجموع النتائج الشاملة والمتنافية يساوي 1؛ المكملات (P4; Q4 مرجع).
• العينات التجريبية غير المتحيزة تميل نحو النظرية مع زيادة حجم العينة (P5; Q7 مرجع: $\tfrac{52}{200}$ من أكثر قلبات).
• العد المنهجي باستخدام الجداول، والشبكات، ومخططات فين، والأشجار (P6; Q22 مرجع: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$).
• فضاءات الاحتمالات النظرية للتجارب المفردة والمجمّعة ذات الاحتمال المتساوي (P7; Q4a مرجع: $\tfrac26$).
• الأحداث المستقلة والمرتبطة المجمّعة؛ الضرب على طول المسارات، والجمع بين الطرق المنفصلة؛ صياغة الافتراضات (P8; Q12b مرجع: $1 - 0.95^2 = 0.0975$).
• الاحتمال الشرطي عبر التواترات المتوقعة باستخدام جداول ثنائية الأبعاد، والأشجار، ومخططات فين (P9: $\tfrac7{18}$ مقابل $\tfrac7{12}$).

ملاحظات حدودية: لا يظهر شيء هنا في ورقة القوانين؛ "المتوسط" هو متوسط طويل الأمد؛ برهن الاستقلالية من السياق قبل إجراء عملية الضرب. الأمثلة المحلولة مستوحاة من امتحانات يونيو 2024 المستوى الأعلى أو أصلية.