الهندسة والقياسات

رياضيات AQA GCSE 8300 موضوع 3.4 (النسخة 1.0، 12 سبتمبر 2014، أول الامتحانات 2017). صفوف المستوى الأساسي G1–G25 تعمل على ثلاث مستويات؛ الإضافات الخاصة بالمستوى المتقدم فقط هي معاملات التكبير السالبة (G7)، وصف التغير و الثبات تحت تركيبات التحويلات (G8)، وإثبات نظريات الدائرة القياسية theorems (G10), constructing plans and elevations (G13), surface area and volume of spheres, pyramids, cones and composite solids incl. frustums (G17), the $k : k^2 : k^3$ similarity ladder (G19), right and general triangles in 3D (G20), قوانين الجيب وجيب التمام (G22)، $\tfrac12 ab\sin C$ (G23) والمتجه الهندسي البرهان (G25). يوفر مجموعة يونيو 2024 المتقدمة المراسل المؤكد أدناه.

ما يجب معرفته لموضوع 3.4:

استخدم المصطلحات والرموز التقليدية — النقاط، الخطوط، الرؤوس، الأضلاع، المستويات، الخطوط المتوازية، الخطوط العمودية، الزوايا القائمة، المضلعات، المضلع المنتظم (جميع الأضلاع وجميع الزوايا متساوية) والمضلعات ذات تناظر الانعكاس و/أو الدوران (G1)؛ عيّن أضلاع وزوايا المثلثات بالطريقة القياسية ($AB$ ضلع، زاوية $ABC$ عند الرأس $B$) وارسم مخططات بناءً على وصف كتابي. الزوايا المتناظرة و الزوايا البديلة تتطلب ذكر خطوط متوازية، ولا يُستخدم مصطلح "زوايا Z" (G3): زوايا نقطة مجموعها $360^\circ$، على خط مستقيم $180^\circ$، والزوايا المتقابلتان بالرأس تكون متساوية؛ استنتج مجموع زوايا المثلث $180^\circ$ (خط يمر برأس ومتوازي مع القاعدة المقابلة ينقل زاويتي القاعدة على خط مستقيم) ومنه المجموع نقل القاعدة المقابلة للزاويتين القاعدتين على خط مستقيم) وبالتالي فإن polygon interior sum $(n-2) \times 180^\circ$ — a pentagon splits into three مثلثات: $540^\circ$؛ له السداسي المنتظم زوايا داخلية قدرها $120^\circ$ و دوران خارجية قدرها $60^\circ$؛ دوران خارجي قدره $45^\circ$ يعني 8 أضلاعاً.

استنتج وطبق خصائص وتعريفات الأشكال الرباعية الخاصة (G4): للمربع 4 أضلاع متساوية، 4 زوايا قائمة، 4 خط تناظر وترتيب تدوير 4; المتقابلة متساوية (قطر يقسمه إلى مثلثين متطابقين بـ ASA)؛ للوردة 4 أضلاع متساوية وأقطار تتقاطع عمودياً في نصفيها؛ متوازي الأضلاع أضلاعه المتقابلة متساوية (يجزئه القطر إلى مثلثين متطابقين بـASA); للوردة زوجان من الأضلاع المجاورة المتساوية؛ شبه المنحرف يحتوي على زوج واحد من الأضلاع المتوازية الأضلاع. المثلثات: متساوي الساقين (ضلعان متساويان، زوايا قاعدة متساوية)، متساوي الأضلاع، متباين الأضلاع، قائم الزاوية، حاد الزاوية، منفرج الزاوية.

استخدم الإنشاءات المعيارية بالمسطرة والفرجار (الإنشاءات) (إضافة أساسية، G2): المنصف العمودي لقطعة مستقيمة (قوسان متساويان من كل endpoint، نصف قطر أكبر من نصف القطعة)، والعمود على خط من نقطة معطاة أو عند نقطة معطاة، و منصف زاوية معطاة؛ أنشئ زاوية قدرها $60^\circ$ من خلال قوسين بنصف قطر متساوي (مثلث متساوي الأضلاع). استخدم هذه لإنشاء الأشكال المعطاة وحل مشاكل الموقع — النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن نقطتين تقع على المنصف منصف؛ على مسافة ثابتة $r$ من نقطة، على دائرة؛ وبمسافة متساوية من نقطتين على منصف زاوية. المسافة العمودية من نقطة إلى خط هي الأقصر (أي مسار مائل هو وتر أطول). احتفظ بقوس الإنشاء كدليل.

حدد ووصف وأنشئ أشكالاً مطابقة ومتشابهة عن طريق الدوران، انعكاس، انتقال وتكبير (G7)، بما في ذلك على محاور الإحداثيات; تضيف الإضافة الأساسية معاملات مقياس كسرية؛ وتضيف المرحلة الأعلى سالبية. بالنسبة لـ المركز $C = (1,1)$، النقطة $P = (3,2)$ والعامل $k$، الصورة هي $C + k(P - C)$: $k = 2$ يعطي $(5,3)$، و$k = \tfrac12$ يعطي $(2, 1.5)$، و التكبير $k = -2$ يعطي $(-3,-1)$، على الجانب الآخر من المركز. التكبير (G8) يصف التغيرات والخصائص الثابتة المحققة من خلال تركيبات الدوران، الانعكاس والانزلاق: تُحفظ الأطوال والزوايا (المسافات الباقية)؛ انعكاسان في خطين متوازيين $x = 0$ ثم $x = 2$ يرسلان $(3,2)$ إلى $(-3,2)$ ثم $(7,2)$ — وهو انزلاق بمقدار $(4,0)$؛ في الخطوط المتقاطعة ينتج عن ذلك دوران بزاوية موجهة تساوي ضعف الزاوية بين المرآتين. الانزلاقات تُكتب باستخدام تمثيل متجه عمودي. تُكتب باستخدام ترميز المتجهات العمودية.

طبق معايير التطابق الأساسية للمثلثات — SSS، SAS، ASA، RHS (G5) — مع مطابقة الرؤوس بالترتيب؛ AAA يعطي التشابه وليس التطابق، و SSA ليس معياراً. مقياس.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q12، معدّل. مثلثان يشاركان ثلاثة زوايا متساوية الأضلاع المقابلة. السبب المفرد للمطابقة: SSS.

تطبيق حقائق الزوايا، ومطابقة المثلثات، والتشابه، وخصائص الرباعيات لـ صياغة الفرضيات واستنتاج النتائج، بما في ذلك نظرية فيثاغورس والمساواة في زوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين، واستخدام النتائج المعروفة للحصول على إثباتات بسيطة (G6). بالنسبة لمثلث متساوي الساقين $ABC$ حيث $AB = AC$ و$D$ هما منتصف $BC$: المثلثان $ABD$ و$ACD$ متطابقان في $AB = AC$ و$BD = DC$ والزاوية المشتركة $AD$، وبالتالي SSS متساوية مما يعطي تطابقاً وزوايا قاعدة مطابقة $ABC = BCA$؛ الزاويتان عند $D$ هما متساويتان ومجموعهما $180^\circ$، لذا كل منهما $90^\circ$. ينسب نظرية فيثاغورس من أربعة مثلثات قائمة متطابقة تحيط بمربع مائل داخل مربع ضلعه $a + b$: $(a+b)^2 = 4 \cdot \tfrac{ab}2 + c^2$، وبالتالي $a^2 + b^2 = c^2$.

القطر (9)، محيط، مع إضافة أساسية إضافية للمماس، قطر ($d = 2r$)، محيط، مع إضافة أساسية إضافية للخط المماس، قوس، قطاع و جزء — القطاع محصور بين نصفي قطر وقوس؛ الـ القطعة المستقيمة تقع بين وتر وقوس. العمود المنسوب من المركز على وتر يُنصّفه: وتر يبعد 3 سم عن مركز دائرة نصف قطرها 5 يكون طوله $2\sqrt{5^2 - 3^2} = 8$ سم.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q1، معدّل. سمِّ كل منطقة مظللة من: قوس, chord, sector, segment, tangent — the sliver between a chord and the arc is the قطعة؛ القطعة الدائرية هي الجزء المحصور بين شعاعين وقوسهما.

ينطبق المبدأ الأعلى (G10) ويُثبِّت نظريات الدائرة القياسية: الزاوية في المركز هي ضعف الزاوية في محيط الدائرة على نفس القوس (يُثبت باستخدام مثلثين متساويي الساقين triangles on equal radii: $\angle AOB = 360^\circ - (180^\circ - 2\alpha) - (180^\circ - 2\beta) = 2(\alpha + \beta)$); the angle in a semicircle is $90^\circ$؛ الزوايا في نفس القطعة متساوية؛ مجموع الزوايا المتقابلة في رباعي دائري يساوي $180^\circ$؛ المماس عند أي نقطة عمودي على القطر هناك؛ المماسات من نقطة خارجية متساوية (RHS للمثلثين الملمسين)؛ و العمود من المركز على الوتر ينصفه؛ ونظرية القطعة البديلة — زاوية المماس-الوتر تساوي الزاوية في القطعة المقابلة (زاوية ماس-وتر قيمتها $35^\circ$ تعطي $35^\circ$ في تلك القطعة).

مثال محلول: 1H يونيو 2024 Q22، معدّل. مماسان من $P$ يلمسان دائرة عند $A$ و$B$؛ زاوية $APB = 24^\circ$. ارسم $AO$ و$BO$: الرباعي $OAPB$ له زاويتا تلامس $90^\circ$، لذا فإن الزاوية في المركز هي $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 24^\circ = 156^\circ$ (منفرجة، وليست منعكسة). الزاوية في المحيط على نفس القوس تساوي نصفها: $x = \tfrac{156^\circ}{2} = 78^\circ$ (المفتاح الإجابي لـ $2x = 156^\circ$).

استخدم وحدات القياس المعيارية والمفاهيم ذات الصلة (G14). حدد الأوجه، والأسطح، والحواف، والرؤوس للمكعبات، والأصناف المستطيلة، والموشورات، والأسطوانات، والأهرامات، والمخاريط والكرات (G12)؛ فسر — وبالمستوى الأعلى بنِ — المخططات والارتفاعات للـ 3D الأشكال (G13): بالنسبة لأصنف مستطيل $4 \times 3 \times 2$، المخطط هو $4 \times 3$، و الارتفاع الأمامي elevation $4 \times 2$، الارتفاع الجانبي $3 \times 2$. قس القطع المستقيمة والزوايا في الأشكال الهندسية، بما في ذلك تفسير الخرائط والمخططات المقيّدة و استخدام الاتجاه (G15): اتجاهات ثلاثية أرقام تقاس عقارب الساعة من الشمال — east $090^\circ$, and the reverse of $070^\circ$ is $070^\circ + 180^\circ = 250^\circ$؛ على خريطة بمقياس 1 : 10000، يمثل 3 سم 300 م.

اعرف وطبق صيغ المساحات للمثلثات ($\tfrac12 b \times$ ارتفاع عمودي)، والمتوازيات والأضلاع الرباعية، وحجم الأصناف المستطيلة والموشورات القائمة الأخرى بما فيها الأسطوانات (G16): مضلع رباعي أضلاع بأضلاع متوازية 6 و10 وارتفاع 4 له مساحة $\tfrac12(6+10) \times 4 = 32$ سم²؛ وموشور مثلثي مساحته الطرفية 12 سم² وطوله 10 سم له حجم 120 سم³. اعرف صيغ الدائرة (G17): $C = 2\pi r = \pi d$، $A = \pi r^2$؛ دائرة نصف قطرها 4 محيطها $8\pi$ ومساحتها $16\pi$؛ والنصف الدائري عليها مساحته $8\pi$ ومحيطه $4\pi + 8$; حلقة دائرية بنصفَي قطر 5 و3 مساحتها $\pi(25 - 9) = 16\pi$. إضافي أساسيات: المساحة السطحية والحجم للكرات والمخاريط والمثلثات الهرمية والأجسام المركبة الأجسام الصلبة، بما في ذلك مقطع المخروط — وهو مخروط به $r = 3$، نصف القطر $h = 4$ له طول مائل 5، وحجم $12\pi$، المساحة المنحنية $15\pi$ والمجموع الكلي $24\pi$؛ كرة نصف قطرها $r = 3$ لها حجم $36\pi$ ومساحة سطحها $36\pi$؛ مقطع مخروط ناتج عن طرح مخروط مماثل نصف قطره $6,8$ (الطول المائل 10) من مخروط مماثل نصف قطره $3,4$ (الطول المائل 5) له حجم $96\pi - 12\pi = 84\pi$. الحلول بـ حدود $\pi$ قد تُطلب.

احسب أطوال الأقواس والزوايا ومناطق المقاطع الدائرية (G18، أساسيات إضافية): عند $r = 6$ و$\theta = 120^\circ$ الكسر هو $\tfrac13$، لذا القوس هو $4\pi$ ومنطقة القطاع هي $12\pi$؛ قطاع نصف قطره 6 ومساحته $9\pi$ له كسر $\tfrac14$، لذا $\theta = 90^\circ$.

مثال محلول: 1H يونيو 2024 Q12، معدّل. قطاع نصف قطره 12 سم وزاويته $60^\circ$: القوس $= \tfrac{60}{360} \times 2 \times 12 \times \pi = 4\pi$ سم — أثبت الكملة الكاملة للدائرة والكسر قبل الضرب.

طبق التطابق والتشابه، بما في ذلك العلاقات بين الأطوال، المساحات والحجوم في الأشكال المتشابهة (G19؛ المستوى الأعلى): السلم $k : k^2 : k^3$ مع عامل القياس $k$.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q25، معدّل. منشأ مثلث قائم الزاوية له edge ratio $a : b : c : d = 3 : 4 : 5 : 12$ and volume 1125 cm³. Write the edges كـ $3k, 4k, 5k, 12k$: الحجم $= \tfrac12(3k)(4k)(12k) = 72k^3 = 1125$، لذا $k^3 = 15.625$ and $k = 2.5$. Total edge length $= 2(3+4+5)k + 3 \times 12k = 60k = 150$ سم (حافتان من كل حافة مقطع عرضي، وثلاث حواف طولية).

اعرف نظرية فيثاغورس $a^2 + b^2 = c^2$ والنسب المثلثية (G20) — $\sin\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\textbf{hypotenuse}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ — وتطبيقها لإيجاد الزوايا والأطوال في المثلثات القائمة الزاوية في الأشكال 2D؛ المستوى المتقدم يطبقها (وقدر الإمكان، قواعد المثلث العام) في 2D و 3D. قاعدة 3-4-5 مستندة 3 m وتصل إلى $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ m. في 3D، عزل المثلث القائم: مكعب مستطيل $3 \times 4 \times 12$ له قطر قاعدة $\sqrt{9+16} = 5$، ومسافة فراغية المكاني $\sqrt{25 + 144} = 13$، وقطره المكاني يقطع القاعدة عند $\tan\alpha = \tfrac{12}{5}$، إذن $\alpha \approx 67.4^\circ$.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q18، معدّل. في مثلث قائم الزاوية تكون 23.7: $x$ (إعادة ترتيب لقانون الجيب $52^\circ$: $\cos 52^\circ = \tfrac{x}{23.7}$ (إعادة ترتيب لقانون الجيب $\tfrac{x}{\sin 38^\circ} = \tfrac{23.7}{\sin 90^\circ}$ تعمل أيضًا)، لذا اعرف القيمة الدقيقة لـ $x = 23.7 \cos 52^\circ = 14.6$ و 1 لـ

$\sin\theta$ و $\cos\theta$ لـ $\theta = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ (G$\tan\theta$، أساس إضافي) — استنتجها $0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ (G21، أساس إضافي) — اشتقها من المثلث المتساوي الأضلاع المقسوم نصفين ($1, \sqrt3, 2$) والمثلث القائم المتساوي الساقين triangle ($1, 1, \sqrt2$): $\sin 30^\circ = \tfrac12$, $\cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2}$, $\tan 30^\circ = \tfrac1{\sqrt3}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tan 60^\circ = \sqrt3$; $\tan 90^\circ$ هو غير معرف. غير معرف.

مثال محلول: 1H يونيو 2024 Q25، معدّل. أثبت أن $6\sin 30^\circ + 2\cos 30^\circ \times 4\tan 30^\circ$ عدد صحيح: $6 \times \tfrac12 + \sqrt3 \times \tfrac4{\sqrt3} = 3 + 4 = 7$ — تتلاشى الجذور قبل أي تقريب.

Higher knows and applies the sine rule $\tfrac{a}{\sin A} = \tfrac{b}{\sin B} = \tfrac{c}{\sin C}$ and the cosine rule $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (G22), and قانون المساحة $A = \tfrac12 ab\sin C$ مع الزاوية المحصورة بين $a$ و$b$ (G23). Sides 6 and 8 enclosing $60^\circ$ give $c^2 = 36 + 64 - 96 \times \tfrac12 = 52$ so $c = 2\sqrt{13}$, and area $\tfrac12 \times 6 \times 8 \times \tfrac{\sqrt3}{2} = 12\sqrt3$. Sine rule: with $a = 4$ opposite $A = 30^\circ$ و$B = 45^\circ$، $b = \tfrac{4\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 4\sqrt2$. عند استخدام دالة الجيب العكسية قد تعطي زاوية حادة ومكملاً منفرجاً — تحقق من مجموع الزوايا قبل الاختيار.

مثال محلول: المستوى الأعلى. $a = 7$، $b = 10$، $A = 40^\circ$: $\sin B = \tfrac{10 \sin 40^\circ}{7} = 0.918$، لذا $B = 66.7^\circ$ أو $113.3^\circ$ — الآلة الحاسبة تُظهر الحادة فقط. كلاهما يحافظ على مجموع الزوايا legal ($C = 73.3^\circ$ or $26.7^\circ$), so TWO triangles fit the data and the ambiguous answer must be given. Ambiguity can only arise when the given opposite side is the SHORTER one ($a < b$) and $A$ is acute — a bigger side faces a bigger angle, so $a \geq b$ forces $B \leq A$ and kills the supplement; a ten-second sketch settles it before any arithmetic.

وصف الإزاحات كمتجهات 2D (G24) — صيغة العمود، العنصر العلوي الأفقي. تطبيق جمع وطرح المتجهات، والضرب في عدد قياسي، والتمثيل البياني والعمودي (G25): مع $\mathbf a = (4,1)$ و $\mathbf b = (1,3)$, $\mathbf a + \mathbf b = (5,4)$ and $2\mathbf a - \mathbf b = (7,-1)$; from $A = (1,2)$ to $B = (5,5)$, $\overrightarrow{AB} = (4,3)$ مع طول 5. الاستخدامات الأعلى للمتجهات لبناء الحجج والأدلة الهندسية: م ضرب قياسي $\overrightarrow{MN} = \tfrac12\overrightarrow{AB}$ يثبت $MN$ موازٍ لـ $AB$ ونصف طوله (متوسط متجهات الموضع للنقاط الوسطى); النقاط المستقيمة تتطلب علاقة ضرب قياسي AND نقطة مشتركة.

مثال محلول: 2H يونيو 2024 Q23، معدّل. مع $\overrightarrow{CD} = 6\mathbf a + \mathbf b$، $\overrightarrow{CE} = 14\mathbf a - 3\mathbf b$ و$\overrightarrow{CF} = 16\mathbf a - 4\mathbf b$: الإزاحة $\overrightarrow{DE} = (14\mathbf a - 3\mathbf b) - (6\mathbf a + \mathbf b) = 8\mathbf a - 4\mathbf b$، بينما $\overrightarrow{EF} = (16\mathbf a - 4\mathbf b) - (14\mathbf a - 3\mathbf b) = 2\mathbf a - \mathbf b$. إذن $\overrightarrow{DE} = 4\,\overrightarrow{EF}$ — موازية لنقطة مشتركة $E$، لذا $DEF$ خط مستقيم.

ما يجب معرفته لموضوع 11: بطرح الإحداثيات، الأقطار بنظرية فيثاغورس، النقاط الوسطى بالمتوسط الحسابي — $A(1,2)$، $B(5,2)$، $C(5,5)$، $D(1,5)$ له $AB = 4$، $BC = 3$، قطر $AC = 5$ والأقطار التي تتقاطع في منتصفها المشترك $(3, 3.5)$: مستطيل.

• المصطلحات والمفاهيم التقليدية؛ تسمية المثلثات؛ المخططات من الأوصاف المكتوبة (G1).
• بناء المسطرة والفرجار بما في ذلك $60^\circ$؛ مسائل المحال; أقصر مسافة (G2).
• حقائق الزوايا عند نقطة/خط/متقابلتين بالرأس؛ المتبادلة والمتناظرة مع الأسباب؛ مجموع المضلعات مستنتج (G3).
• خصائص الرباعيات والمثلثات مستنتجة ومطبقة (G4); معايير التطابق SSS SAS ASA RHS (G5; Q12 مرجع); سلاسل الفرضية-الاستنتاج-الإثبات بما في ذلك فيثاغورس وزوايا قاعدة المثلث متساوي الساقين (G6).
• التحويلات بما في ذلك عوامل القياس الكسرية والسالبة؛ التغير والثبات تحت المجموعات (G7–G8).
• تسمية أجزاء الدائرة (G9; Q1 مرجع); تطبيق ونظرية الدوائر وإثباتها على المستوى المتقدم (G10; Q22 مرجع).
• هندسة المحاور الإحداثية (G11); وجوه/حواف/رؤوس المجسمات (G12); المخططات الأفقية والعمودية (G13); الوحدات (G14); الخرائط، الرسم بمقياس، الاتجاهات (G15).
• المساحات وأحجام المكعبات المستقيمة/الأسطوانات (G16); مقاييس الدوائر، الكرات، المخاريط، هرمون ومخاريط المقطوعة، إجابات دقيقة لـ$\pi$ (G17); الأقواس والمقاطع (G18; Q12 مرجع); سلم $k : k^2 : k^3$ (G19; Q25 مرجع).
• قانون الجيب مع الحالة الغامضة: كلا الزاويتين عندما يكون الضلع المقابل هو الأقصر؛ ارسم أولاً (G22, H).
• فيثاغورس ونسب المثلثات في 2D و3D (G20; Q18 مرجع); قيم مثلثية دقيقة (G21; Q25 مرجع); قوانين الجيب وجيب التمام (G22); $\tfrac12 ab \sin C$ (G23).
• الإزاحات كمتجهات؛ حساب المتجهات؛ البراهين الهندسية بما في ذلك الاستقامة (G24–G25; Q23 مرجع).

ملاحظات الحدود: تحتوي ورقة الصيغ المغلقة على مساحة شبه المنحرف، حجم المكعب المستقيم الحجم، محيط/مساحة الدائرة، فيثاغورس، النسب المثلثية الثلاثة، وقانون الجيب و قوانين جيب التمام $\tfrac12 ab\sin C$ — لا يتضمن صيغ القوس/القطعة الدائرية، أحجام المخروط/المهرّس/الكرة، أو القيم المثلثية الدقيقة أو نظريات الدائرة؛ بل يجب أن تكون معروفة. أسباب الزوايا يجب أن تذكر اسم النظرية، ولا تكتفي بأسماء الأشكال الحرفية. الأمثلة المحلولة مُعدَّلة من اختبارات يونيو 2024 المستوى الأعلى (راجع أدلة التقييم في المعلومات الوصفية)، أو أصلية.