B · Algebra and functions

AQA A-level Mathematics 7357، القسم B (الجبر والدوال)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تعليمية أصلية.

المؤهلات المسبقة: جبر GCSE: الأسس، الجذور التربيعية غير النسبية، التحليل إلى عوامل، وحل المعادلات التربيعية.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• طالبان يحلان x² − 4x + 1 = 0. أحدهما يكمل المربع ويحصل على إجابات دقيقة؛ والآخر يعوض في الصيغة ويقرب مبكرًا، مما يجعله يبعد بمقدار جزء من عشرة. ما الذي يفصل بين الطريقة الدقيقة والطريقة التي تنحرف؟
• قبل القراءة، قل ما المعلومات التي تحتاجها كل طريقة حل، وكيف تتحقق من إجابة نهائية.

الطريقة

• يمكن حل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل، إكمال المربع (a(x − h)² + k مما يعطي الرأس (h, k)) أو الصيغة. المميز b² − 4ac يعدد الجذور الحقيقية قبل أي حل.
• الدالة تعين لكل مدخل من مجالها ناتجًا واحدًا بالضبط. يوجد معكوس فقط إذا كانت الدالة تقابلية على مجالها — حدّ x² إلى x ≥ 0 أولاً. تركيب fg(x) = f(g(x)) يطبق g أولاً، وfg وgf يختلفان عادة. تحويلات الرسم البياني تُقرأ من الصورة faktored a·f(b(x − h)) + k: قِس بالمعامل 1/b و a، ثم أزل بمقدار h و k.
• إكمال المربع: إعادة كتابة معادلة تربيعية على الشكل a(x−h)²+k لقراءة الرأس وحلها بدقة؛ المميز: الكمية b²−4ac التي تحدد عدد الجذور الحقيقية الموجودة؛ دالة: قاعدة تعطي ناتجًا واحدًا بالضبط لكل إدخال مسموح به؛ مجال: مجموعة المدخلات المسموحة للدالة.

التحقق من عملك

• تحقق من كل حل مرشح في المعادلة الأصلية، خاصة بعد التربيع (الذي قد يضيف جذور كاذبة) أو القسمة على تعبير (الذي قد يفقد حالة الصفر). احتفظ بالجذور غير النسبية دقيقة حتى التقريب المطلوب؛ التقريب أثناء الحساب هو كيف يُفقَد جزء من عشرة.
• لمعكوس مُدَّعى، تحقق من f(f⁻¹(x)) = x على مجال المعكوس، واذكر ذلك المجال صراحة — معكوس x² موجود فقط على فرع محدد.

حالة محلولة

• معلوم: x² − 4x + 1 = 0. أكمل المربع: (x − 2)² − 4 + 1 = 0، إذن (x − 2)² = 3. بإعادة الترتيب: x − 2 = ±√3. التعويض يعطي x = 2 + √3 ≈ 3.732 أو x = 2 − √3 ≈ 0.268. التحقق: (2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓.

مثال:

بالنسبة لـ f(x) = x² − 4 مع مجال x ≥ 0، أوجد المعكوس ومجاله بنفس التسلسل: العلاقة المعلومة → إعادة الترتيب → اختيار الفرع → تحديد المجال والمدى. (الإجابة: من y = x² − 4، x = √(y + 4) باستخدام فرع x ≥ 0، إذن f⁻¹(x) = √(x + 4) مع مجال x ≥ −4 ومدى y ≥ 0.)

حدود ومخاطر

• الصيغة تعمل دائمًا لكن الأشكال الدقيقة أفضل عندما تكون الجذور جذوراً غير نسبية؛ العدد العشري تقريب. التركيب حساس للترتيب، ويجب التحقق من الرسم المحوّل بتتبع نقطة واحدة معروفة، وليس فقط الصيغة.

تحذير:

الدالة f(x) = x² لها معكوس على جميع الأعداد الحقيقية. هذا الادعاء خاطئ: مدخلان يشتركان في كل ناتج (2 و −2 كلاهما يعطي 4)، لذا فإن التحويل العكسي ليس دالة — يجب تقييد المجال أولاً، على سبيل المثال إلى x ≥ 0، مما يعطي f⁻¹(x) = √x.

المفتاح:

الجبر والدوال: أكمل المربع أو استخدم الصيغة مع المميز كعداد للجذور؛ تحقق من المرشحين في المعادلة الأصلية. تحتاج الدوال إلى مجالات معلنة؛ وتحتاج الدوال العكسية إلى فروع أحادية، وتُقرأ تحولات الرسم البياني من الصيغة المحللة.