Equations quadratic in another expression
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | التعويض |
يمكن لمعادلة من الدرجة الرابعة أن تخفي تربيعية عادية. حل المتغير الجديد هو نصف المهمة فقط.
- يمكن لمعادلة من الدرجة الرابعة أن تخفي تربيعية عادية. حل المتغير الجديد هو نصف المهمة فقط.
- يدرس هذا الدرس التعويض: استبدال تعبير مكرر بمتغير جديد لكشف معادلة أبسط.
اختر البنية الرياضية
- حدد تعبيراً مكرراً واكتب u بدلاً منه، بما في ذلك أي قيود. حل المعادلة التربيعية الناتجة بالنسبة لـ u. ثم حل التعبير الأصلي مساوياً لكل قيمة مسموحة من u. عوض بكل مرشح نهائي في المعادلة الأصلية؛ فالحل الخاص بـ u ليس بالضرورة حلاً لـ x.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
For x⁴-5x²+4=0 with u=x², why must u=-2-style roots be rejected?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The substitution carries its own domain: u≥0. Each valid u then gives TWO x values from the square root; a rejected u gives none. u-values are never themselves the x-solutions.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ x⁴−5x²+4=0، ضع u=x² بحيث u≥0. إذن u²−5u+4=(u−1)(u−4)=0، مما يعني أن x²=1 أو 4 و x=±1, ±2. أما بالنسبة لـ x⁴+x²−2=0، فإن معادلة u هي (u−1)(u+2)=0: حيث u=−2 مستحيلة لـ x حقيقية، تاركاً x=±1. وبالنسبة لـ (x+1)²−5(x+1)+6=0، ضع u=x+1: تعطي u=2 أو 3 قيم x=1 أو 2. وأخيراً، بالنسبة لـ 3^(2x)−4×3^x+3=0، ضع u=3^x>0: تعطي u=1 أو 3 قيم x=0 أو 1.
Equations quadratic in another expression
Identify a repeated expression and write u for it, including any restrictions
Find the first valid or invalid step in a quadratic method.
Find the largest real solution of x⁴−5x²+4=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The u roots 1 and 4 give x=±1,±2; the largest is 2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا تقم بإبلاغ u=1 و u=4 كحلول لـ x للمعادلة من الدرجة الرابعة. أخذ الجذر التربيعي يتطلب كلتي الإشارتين، لكن تعبير الجذر التربيعي الرئيسي يكون غير سالب. يمكن لمعادلة تربيعية في u أن يكون لها جذران حقيقيان بينما يخالف أحدهما أو كليهما مجال u.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
جذران في المتغير المُستبدَل يعطيان دائماً حليين حقيقيين بالضبط في x. هذه العبارة خاطئة. اشرح التعريف أو الافتراض الذي تخالفه.
Find the smaller solution of (x+1)²−5(x+1)+6=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
u=x+1 gives u=2 or 3, hence x=1 or 2.
Two roots in the substituted variable always give exactly two real solutions in x.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not report u=1 and u=4 as the x solutions of the quartic. Taking a square root needs both signs, but a principal square-root expression is nonnegative. A quadratic in u can have two real roots while one or both violate u’s domain.
تفسير موقف جديد
- اختر تعويضاً يتكرر بدقة: 3^(2x)=(3^x)²، بينما 3^(x²) هو تعبير مختلف. عِد الحلول الحقيقية المختلفة لـ x بعد العودة إلى x، وليس قبل ذلك. تحقق بالتعويض المباشر: x=−2 يعطي 16−20+4=0 في معادلة الدرجة الرابعة الأولى.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
How many distinct real solutions does x⁴−5x²+4=0 have?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The four distinct values −2,−1,1,2 all satisfy the original equation.
Match each substitution step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Every candidate returns to the original variable and is checked; the restriction on u comes from what u stands for.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · B. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
استبدال تعبير مكرر بمتغير جديد لكشف معادلة أبسط. اختر العلاقة، أشر إلى الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.