قسمة كثيرات الحدود، والباقي والعوامل
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | مبرهنة العامل |
كيف يحرر جذر واحد معادلة تكعيبية؟
- يقطع الرسم البياني للتكعيبي المحور عند نقطة معلومة. يسمح لنا هذا الجذر بتقليل المعادلة التكعيبية إلى معادلة تربيعية بدلاً من تخمين الجذور الأخرى.
- تدرس هذه الدرس نظرية العامل: العبارة القائلة بأن (x−a) هو عامل لكثير الحدود P(x) إذا وفقط إذا كانت P(a)=0.
اختر البنية الرياضية
- اكتب P(x)=(x−a)Q(x)+R، حيث R ثابت. بالتعويض عن x=a نحصل على R=P(a). قسّم الحدود الرئيسية، واضرب القاسم الكامل، اطرح باستخدام الأقواس، وأعد العملية. شمل معاملات الصفر للدرجات المفقودة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا يخبرنا P(1)=0 بأن x-1 هو قاسم لـ P(x)؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بتعويض x=a في P=(x-a)Q+R يُختزل حد القسمة، متروكاً R=P(a). الباقي صفر يعني القسمة الصحيحة - وهذا تطبيق لنظرية القواسم.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ P(x)=x³−2x²−5x+6، عند القسمة على x−1 نحصل على Q(x)=x²−x−6 والباقي 0. في الواقع (x−1)(x²−x−6)=P(x). حلل Q=(x−3)(x+2)، إذن الجذور هي 1,3،−2. بقسمة نفس P على x−2 نحصل على المقسوم عليه x²−5 والباقي −4: P=(x−2)(x²−5)−4. ومنه P/(x−2)=x²−5−4/(x−2)، من أجل x≠2.
قسمة كثيرات الحدود، والباقي والعوامل
اكتب P(x)=(x−a)Q(x)+R، حيث R ثابت
صنّف الخطوات الجبرية وحدد المتطابقة أو شرط المجال وراء كل قرار.
للدالة P(x)=x³−2x²−5x+6، أوجد P(1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
P(1)=1−2−5+6=0.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الإشارة في (x−a) مهمة: بالنسبة لـ x+2، اختبر P(−2). الباقي غير الصفري لا يختفي. اطرح المنتج الكامل في كل خطوة قسمة؛ omitting الأقواس يغير الإشارات.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
إذا كانت P(a) غير صفري، فإن (x−a) لا يزال عاملاً لـ P. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه هذا الادعاء.
أوجد الباقي عند قسمة P على x−2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
R=P(2)=8−8−10+6=−4.
إذا كانت P(a) لا تساوي صفراً، فإن x−a يظل عاملاً لـ P.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الإشارة في x−a مهمة: بالنسبة لـ x+2، اختبر P(−2). الباقي غير الصفري لا يختفي. اطرح حاصل الضرب الكامل في كل خطوة قسمة؛ إن حذف الأقواس يغير الإشارات.
تفسير موقف جديد
- تحقق من القسمة عن طريق ضرب المقسوم فيه في القسمة المأخوذة زائد الباقي. يمكن التحليل حل P(x)=0، بينما يجب أن تحتفظ قسمة التعبير الكسري بكل المدخلات المستبعدة الأصلية.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
قّم قيمة الكسر x²−x−6 عند x=4.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Q(4)=16−4−6=6.
طابق كل مفهوم قسمة مع نصه.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
انتبه للإشارة: x+2 يقابل اختبار P(-2). والباقي غير الصفري يبقى في التعبير النهائي.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · B. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
العبارة التي تنص على أن x−a هو عامل لكثير الحدود P(x) إذا وفقط إذا P(a)=0. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.