C · Coordinate geometry

رياضيات مستوى AQA 7357، القسم ج (الهندسة الإحداثية)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

المواصفات السابقة: المستقيمات في GCSE، ونظرية فيثاغورس والمعادلات التربيعية.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• مقطع عرضي طبققاة قمر صناعي وحافة عجلة كلاهما دوائر، لكن الحافة فقط يمكن كتابتها بصيغة (x − a)² + (y − b)² = r² بمركز يُقرا بلمحة. ماذا يمنحك ذلك المعادلة؟
• قبل الاستمرار في القراءة، اذكر ما يتحكم فيه كل من المعاملين a وb وr، وكيف يمكن إيجاد اتجاه المماس بدون اشتقاق.

الطريقة

• مستقيم يمر بالنقطة (x₁, y₁) بميل m هو y − y₁ = m(x − x₁). تتشارك المستقيمات المتوازية نفس m؛ بينما تحقق الميلان المنتهيان المتعامدان الشرط m₁ × m₂ = −1.
• دائرة مركزها (a, b) ونصف قطرها r هي (x − a)² + (y − b)² = r². نصف القطر نحو نقطة التماس يكون عمودياً على المماس هناك، لذا فإن ميل المماس هو المقلوب السالب لميل نصف القطر. يقطع القطر زاوية قائمة عند المحيط.
• الميل: التغير في y لكل وحدة تغير في x؛ الدائرة: مجموعة النقاط على مسافة ثابتة من المركز؛ المماس: مستقيم يلمس الدائرة في نقطة واحدة، وعمودي على نصف القطر هناك.

*ميل نصف القطر 4/3 وميل المماس −3/4 حاصل ضربهما يساوي −1: مستقيمات متعامدة

التحقق من عملك

• تحقق من أن نقطة مقترحة تقع على الدائرة بالتعويض في (x − a)² + (y − b)² = r² قبل إنشاء مماس عليها. أكمل المربع لإنقاذ المركز من الصيغة الموسعة x² + y² + px + qy + s = 0 — وعدّل الجانب الأيمن أيضاً.
• تقاطع مستقيم مع دائرة بالتعويض: الجذر المكرر يعني التماس، وجذران يعني وتراً، ومميز سالب يعني عدم التقاطع.

حالة محلولة

• معلوم: الدائرة x² + y² = 25 والنقطة (3, 4) عليها (3² + 4² = 25 ✓). ميل نصف القطر من (0, 0) إلى (3, 4) هو 4/3، لذا فإن ميل المماس هو −3/4 حسب m₁ × m₂ = −1. المماس هو y − 4 = −(3/4)(x − 3)، والذي يعيد الترتيب ليصبح 3x + 4y = 25.

مثال:

أوجد المركز ونصف قطر x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 باستخدام نفس التسلسل: جمّع الحدود → أكمل مربع كل منها → اقرأ الصيغة. (الإجابة: (x − 2)² + (y + 1)² = 25، لذا المركز هو (2, −1) ونصف القطر هو 5؛ لاحظ أن إشارات الأقواس تنعكس في المركز.)

حدود ومخاطر

• قاعدة المقلوب السالب تتطلب ميول منتهية وغير صفرية؛ نصف قطر أفقي يعطي مماساً رأسياً، يُكتب بصيغة x = ثابت. وتر ينصفه عمود من المركز هو اختصار للمثلث القائم: نصف الوتر ونصف القطر ومسافة المركز تخضع لنظرية فيثاغورس.

تحذير:

المماس عند نقطة على الدائرة له نفس ميل نصف القطر نحو تلك النقطة. هذا الادعاء خاطئ: نصف القطر والمماس متعامدان عند نقطة التماس، لذا حاصل ضرب ميليهما يساوي −1 — عند (3, 4)، ميل نصف القطر هو 4/3 وميل المماس هو −3/4.

المفتاح:

الهندسة الإحداثية: خطوط بنقطة-ميل، ودوائر بصيغة (x − a)² + (y − b)² = r². المماسات تستخدم علاقة التعامد مع نصف القطر؛ والتقاطعات تستخدم التعويض والمميز.