F · Exponentials and logarithms

AQA A-level Mathematics 7357، القسم F (الدوال الأسية واللوغاريتمية)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

المتطلبات السابقة: قوانين الأس والآلات الحاسبة العلمية من GCSE.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• يتناقص العينة النصف كل 3.5 ساعات، لكن المختبر يحتاج المستوى عند 5 ساعات — لا جدول يعطيه. كيف يمكن لصيغة واحدة استبدال الجدول المفقود؟
• قبل القراءة، قل ما يحتاجه النموذج y = Ae^(kt) كمدخلات، وكيف يمكن لمخطط لوغاريتمي استعادة k من البيانات.

الطريقة

• في y = Ae^(kt)، A هي الكمية الأولية وk هو المعدل النسبي: موجب للنمو، سالب للاضمحلال. نصف العمر هو ln 2/|k|؛ وقت التضاعف هو ln 2/k.
• اللوغاريتم هو عكس الدالة الأسية: y = a^x تعني x = log_a y، معرفة فقط لـ y الموجبة. تتبع قواعد اللوغاريتم من قوانين الأس: log(uv) = log u + log v، log(u/v) = log u − log v، log(uᵏ) = k log u. حل a^x = b يعطي x = ln b / ln a. رسم ln y مقابل t يحول y = Ae^(kt) إلى خط مستقيم ln y = ln A + kt.
• نصف العمر: الوقت الذي تستغرقه كمية متحللة لتصل إلى نصف قيمتها الأولية؛ لوغاريتم: الأس الذي يجب رفع قاعدة معينة إليه لإنتاج عدد موجب معين.

التحقق من عملك

• النموذج الأسي الملائم هو نموذج: تحقق من وحدة الزمن والمدى المذكور قبل التنبؤ، وقارن تنبؤاً بقياسة جديدة (باقي) قبل الوثوق به. الـ k السالب يعني الاضمحلال؛ مقدار ابتدائي سلبي عادة ما يتعارض مع السياق.
• في المعادلات اللوغاريتمية، سجل المجال الأصلي أولاً: يجب أن يكون كل مُدخل لكل لوغاريتم موجباً، لذا يجب فحص المرشحين الناتجين بعد دمج اللوغاريتمات ضده.

حالة محلولة

• معلوم: y = 80e^(−0.2t)، حيث y بالجم، و t بالساعات. النصف يعني 40 = 80e^(−0.2t)، إذن e^(−0.2t) = 1/2. بأخذ اللوغاريتم الطبيعي: −0.2t = −ln 2، ومنه t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 ساعة. نفس ثابت k يعطي نصف العمر لأي كمية ابتدائية.

مثال:

حل 3^x = 20 بنفس التسلسل: خذ اللوغاريتمات ← طبق قانون القوى ← قسّم ← فسر. (الحل: x ln 3 = ln 20، إذن x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727. تحقق: 3^2.727 ≈ 20.)

حدود ومخاطر

• قوانين اللوغاريتم تطبق فقط على المجاديل الموجبة؛ ln(x + y) ليس له قانون الجمع (ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5). النموذج الأسي يحتاج توحيد وحدة الزمن مع k؛ معدل سنوي فعال قدره 10% يعني k = ln 1.1، وليس k = 0.1.

تحذير:

بالنسبة لـ x و y موجبين، ln(x + y) = ln x + ln y. هذه العبارة خاطئة: قانون الضرب هو ln(xy) = ln x + ln y؛ ولا يوجد قانون لمجموع داخل لوغاريتم، كما يوضح x = y = 1 (حيث ln 2 ≈ 0.69 ولكن ln 1 + ln 1 = 0).

المفتاح:

الدوال الأسية واللوغاريتمات: y = Ae^(kt) مع عمر نصف يساوي ln 2/|k|؛ اللوغاريتمات تعكس الدوال الأسية، وتلتزم بقوانين الضرب/القسمة/القوى، وتحول ملاءمة أسية إلى خط مستقيم. تحقق من المجالات والوحدات قبل الحل.