المنحنيات الأسية والمقلوبات اللوغاريتمية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | لوغاريتم |
دالة أسية ترسل الأس إلى مقدار موجب. أي مخطط يعكس زوج الإدخال-الإخراج هذا؟
- دالة أسية ترسل الأس إلى مقدار موجب. أي مخطط يعكس زوج الإدخال-الإخراج هذا؟
- تدرس هذه الدرس اللوغاريتم: الأس الذي يجب رفع الأساس المعني والصالح إليه لإنتاج إدخال موجب.
اختر البنية الرياضية
- من أجل a>0، فإن y=a^x لها كل إدخال حقيقي ومخرجات موجبة. تمر عبر (0,1). من أجل a>1 فهي متزايدة؛ من أجل 0<a<1 it decreases. For a=1 it is the constant 1, with no inverse function. For a>0 و a≠1، فإن y=log_a x هي معكوس a^x: المجال x>0، والنطاق جميع الأعداد الحقيقية. ln x هو log_e x ويعكس e^x.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا لا يوجد معكوس لوغاريتمي لـ 1^x؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المعكوس موجود للدوال المتباينة فقط. الدالة الثابتة تُختزل كل x إلى 1، لذا لا يمكن وجود "لوغاريتم الأساس 1"؛ الأسس الصالحة هي a>0، a≠1.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
الرسم البياني 2^x يحتوي على النقاط (−1,1/2),(0,1),(1,2),(2,4). اللوغاريتم العكسي log₂x يحتوي على (1/2,−1),(1,0),(2,1),(4,2)، وهو انعكاس عبر y=x. الرسم البياني (1/2)^x يعطي 2,1,1/2 عند x=−1,0,1، بينما لوغاريتمه العكسي log_(1/2)x متناقص. بالنسبة لـ e^x و ln x، النقطتان (0,1) و (1,0) شريكان منعكسان؛ ln e=1 و ln(e³)=3. لأي حقيقي u، ln(e^u)=u؛ من أجل x>0، e^(ln x)=x. اللوغاريتمات تقترب ولا تصل إلى حدودها الرأسي x=0؛ e^x يقترب من y=0 كلما اقترب x من سالب ما لا نهاية.
المنحنيات الأسية والمقلوبات اللوغاريتمية
بالنسبة لـ a>0، فإن y=a^x لها كل مدخل حقيقي ومخرجات موجبة
حدد المدخل الصالح أو المتغير المرسوم أو وحدة الزمن قبل استخدام العلاقة اللوغاريتمية/الأسية.
أوجد log₂(1/8).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2^(−3)=1/8، لذا فإن اللوغاريتم هو −3.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا يوجد ln0 ولا لوغاريتم عدد حقيقي سالب في منهج الأعداد الحقيقية. يُسمح بمخرجات لوغاريتم سالبة: ln(1/e)=−1. القاعدة 1 مسموحة كمستقبل ثابت أسي ولكن ليس للوغاريتم. بالنسبة لقاعدة أقل من 1، يقترب الدالة الأسية من الصفر عندما تؤول x إلى ما لا نهاية، ويكون العكس له اتجاه تصاعد/تناقص معاكس لحالة a>1.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
الأسي الثابت 1^x له لوغاريتم عكسي لجميع المدخلات الموجبة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
أوجد ln(e³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ln هو المقلوب لـ e مرفوعة لأس، لذا ln(e³)=3.
للدالة الأسية الثابتة 1^x مقلوب لوغاريتمي لجميع المدخلات الموجبة.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لا يوجد ни ln0 nor لوغاريتم عدد حقيقي سالب في منحنى الأعداد الحقيقية. يُسمح بمخرج لوغاريتم سالب: ln(1/e)=−1. القاعدة 1 مسموحة لدالة أسية ثابتة لكنها غير مسموحة للوغاريتم. بالنسبة لقاعدة أقل من 1، تقترب الدالة الأسية من الصفر عندما يؤول x إلى ما لا نهاية موجب، ويكون العكس له اتجاه زيادة/نقصان معاكس لحالة a>1.
تفسير موقف جديد
- حدد القاعدة والمجال والمدى قبل أخذ العكس. قلب إحداثيات النقاط الأسية الدقيقة لبناء رسم اللوغاريتم. حافظ على الحدود المفتوحة والتقارب. المصدر F3 يطبع x≥0؛ شرط إدخال اللوغاريتم الصحيح المستخدم هنا هو x>0، لأن a^u موجب ولا يساوي صفراً أبداً.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد e^(ln5).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الدخل الموجب 5 يقع في مجال ln، لذا e^(ln5)=5.
طابق كل زوج بالعلاقة العكسية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تمر الدالة الأسية بالنقطة 0,1؛ وعكسها يمر بالنقطة 1,0. اللوغاريتمات تقبل مدخلات موجبة فقط، بينما قد تكون مخرجاتها سالبة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · F. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
الأس الذي يجب رفع قاعدة صالحة معينة إليه لإنتاج مدخل موجب. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.