قوانين اللوغاريتم، والأسس السالبة، ومجالات المعادلات
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | مقدار اللوغاريتم |
دمج لوغاريمينين يمكن أن ينتج كثيرة حدود بجذر إضافي. أي شرط إدخال أصلي يرفضه؟
- دمج لوغاريمينين يمكن أن ينتج كثيرة حدود بجذر إضافي. أي شرط إدخال أصلي يرفضه؟
- تدرس هذه الدرس الحجة: الإدخال داخل اللوغاريتم، والذي يجب أن يكون موجباً للوغاريتم الحقيقي.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لـ a>0، a≠1 و u,v موجبتان: log_a(uv)=log_a u+log_a v، log_a(u/v)=log_a u−log_a v، و log_a(u^k)=k log_a u لكل k حقيقي. تنبع هذه من ضرب/قسمة/قوى الأسس. على وجه الخصوص، تعطي k=−1 مقلوبًا و k=−1/2 جذر مربع عكسيًا. حل معادلة a^x=b حيث b>0 باستخدام x=ln b/ln a.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
ln(x-1)+ln(x+1)=ln 8 يعطي x²=9. لماذا تم رفض x=-3؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يتطلب المعادلة الأصلية أن يكون x-1>0 و x+1>0، أي x>1. الصيغة المدمجة ln(x²-1) تقبل -3، لكن هذا الحل لا يحقق مقادير اللوغاريتم الأصلية - تحقق دائمًا من الحلول المستنتجة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
لـ x>0، ln(x^(-1))=−ln x و ln(x^(-1/2))=−(1/2)ln x. حل ln(x−1)+ln(x+1)=ln8: المجال الأصلي هو x>1. بدمج الطرفين نحصل على ln(x²−1)=ln8، ومنه x²=9 والقيم المحتملة ±3؛ فقط x=3 تحقق المدخلات الأصلية. بالنسبة لـ 3^x=20، فإن x=ln20/ln3. إذا كان 2^(2x)−2^x−2=0، نفرض u=2^x>0: (u−2)(u+1)=0، لذا يعطي u=2 قيمة x=1، بينما u=−1 أمر مستحيل. أيضاً ln(2+3)=ln5، في حين أن ln2+ln3=ln6؛ لا يمكن تفكيك مجموع داخل اللوغاريتم بهذه الطريقة.
قوانين اللوغاريتم، والأسس السالبة، ومجالات المعادلات
من أجل a>0، a≠1 و u,v موجبتان: log_a(uv)=log_a u+log_a v، log_a(u/v)=log_a u−log_a v، و log_a(u^k)=k log_a u من أجل k حقيقية
حدد المدخل الصالح أو المتغير المرسوم أو وحدة الزمن قبل استخدام العلاقة اللوغاريتمية/الأسية.
حل 3^x=27.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
27=3³، لذا x=3.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- دمج أو توسيع اللوغاريتمات لا يمحو مجالاتها الأصلية. ln(u²)=2ln|u| من أجل u≠0؛ كتابة 2lnu تتطلب additionally u>0. لا تأخذ لوغاريتم حقيقي لصفر أو طرف أيمن سالب في a^x=b. من أجل قاعدة 1، 1^x=b له جميع x الحقيقية عندما b=1 ولا حلول إلا ذلك؛ الكسر اللوغاريتمي غير متاح.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل جذر لكثير حدود يتم الحصول عليه بعد دمج اللوغاريتمات يحقق معادلة اللوغاريتم الأصلية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
لـ x>0 اكتب ln(x^(-1/2))=klnx. أوجد k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تأخذ قانون القوى الأس -1/2 خارجاً: k=−1/2.
كل جذر得多 polynomial يُحَصَل عليه بعد دمج اللوغاريتمات يحقق معادلة اللوغاريتم الأصلية.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
دمج أو توسيع اللوغاريتمات لا يلغي مجالاتها الأصلية. ln(u²)=2ln|u| من أجل u≠0؛ وكتابة 2lnu يتطلب additionally u>0. لا تأخذ لوغاريتم حقيقي للصفر أو الطرف الأيمن السالب في a^x=b. بالنسبة للأساس 1، 1^x=b له كل x حقيقية عندما b=1 ولا يوجد حلول غير ذلك؛ الكسر اللوغاريتمي غير متاح.
تفسير موقف جديد
- اذكر قيود الموجبية أولاً، استخدم أساساً واحداً مشتركاً، ثم طبق قاعدة صالحة. بعد الجبر، عوض بكل مرشح في المعادلة اللوغاريتمية/الأسية الأصلية. احتفظ بنسب اللوغاريتم دقيقة ما لم يُطلب رقم عشري. تغيير أساس اللوغاريتم لا يغير حل معادلة أسية عندما تستخدم كل من لوغاريتمي الكسر نفس الأساس الصالح.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد قيم x الصالحة لـ ln(x−1)+ln(x+1)=ln8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x²=9 تعطي ±3، لكن كلا مدخلات اللوغاريتم الأصلي موجبة فقط عندما x>1؛ تقبل 3.
طابق كل قاعدة لوغاريتم مع نصها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تُستنتج القواعد من قواعد الأسس وتطبق فقط على المدخلات الموجبة؛ يتطلب ln(x²)=2ln|x| استخدام القيمة المطلقة عندما يمكن أن يكون x سالبًا.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · F. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
المدخل داخل اللوغاريتم، والذي يجب أن يكون موجباً لوجود لوغاريتم حقيقي. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.