رسوم بيانية لوغاريتمية لملاءمة القوى والدوال الأسية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | تقاطع |
يمكن للمنحنى أن يصبح خطاً مستقيماً بعد أخذ اللوغاريتمات. أي محور أفقي يميز نموذجاً أسياً عن نموذج قوّي؟
- يمكن للمنحنى أن يصبح خطاً مستقيماً بعد أخذ اللوغاريتمات. أي محور أفقي يميز نموذجاً أسياً عن نموذج قوّي؟
- تدرس هذه الدرس المقطع: القيمة العمودية المحولة عندما تكون المتغير الأفقي المختار صفراً.
اختر البنية الرياضية
- للملاحظات والمعايير الموجبة، y=ax^p مع x>0 يعطي ln y=ln a+p ln x. ارسم ln y مقابل ln x: الميل p، المقطع ln a. بالنسبة لـ y=kb^x مع k,b>0، ln y=ln k+x ln b. ارسم ln y مقابل x: الميل ln b، المقطع ln k. استخدم نفس أساس اللوغاريتم لمحوري اللوغاريتم وكلاهما واستعد المعايير باستخدام معكوس ذلك الأساس.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
في ضبط لوغاريتمي (log-log fit) للدالة y=ax^p، ماذا يعطي الميل؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تحويل الطرفين باللوغاريتم يحول قانون القوة إلى ln y=ln a+p·ln x: الميل هو p، والقاطع هو ln a. أما بالنسبة للأسية y=kb^x فارسم ln y مقابل x بدلاً من ذلك - فالمحاور تحدد معنى الميل.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
تعطى بيانات القوة (x,y)=(1,3),(2,12),(4,48) ميل [ln48−ln3]/[ln4−ln1]=2، وقطاع y ln3، ومنه y=3x². تعطي بيانات الأسية (0,5),(1,10),(2,20),(3,40) ميلًا نصفي-لوغاريتميًا ln2 وقطاع ln5، ومنه y=5×2^x. مع لوغاريتمات الأساس ⟨10⟩ يكون نفس الميل الأسي log₁₀2≈0.30103، لذا b=10^0.30103≈2 بدلاً من e^0.30103. ملاحظة جديدة لبيانات القوة (3,30) تتجاوز التنبؤ المُنمذج 27 بمقدار المتبقي 3؛ لا يثبت مجموعة معايرة مستقيمة تمامًا النموذج خارج نطاق الرصد.
رسوم بيانية لوغاريتمية لملاءمة القوى والدوال الأسية
بالنسبة للملاحظات والمعاملات الموجعة، المعادلة y=ax^p مع x>0 تعطي ln y=ln a+p ln x
حدد المدخل الصالح أو المتغير المرسوم أو وحدة الزمن قبل استخدام العلاقة اللوغاريتمية/الأسية.
أوجد أس القوة لبيانات القوة المعطاة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الميل في المخطط اللوغاريتمي-اللوغاريتمي هو ln16/ln4=2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- بالنسبة لتأثير القوة، الميل هو الأس وليس لوغاريثمه. أما بالنسبة لتأثير الأسية، فالميل هو لوغاريث الأساس وليس الأساس نفسه. يقابل قطاع رسم القوة x=1 لأن ln x=0 عندئذٍ؛ بينما يقابل قطاع الأسية x=0. لا يمكن تسجيل البيانات غير الموجبة مباشرةً. قد يتضمن رسم اللوغاريتمي للنصفي-lo g-y قيم x=0 أو x السالبة؛ لكن رسم اللوغاريتمي المزدوج لقوة لا يمكن ذلك.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
رسم ln y مقابل x يُستقيم كل نموذج قوة y=ax^p. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد المعامل الضربي a.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
التقاطع هو ln3، لذا a=e^(ln3)=3.
تمثيل ln y مقابل x يحوّل كل نموذج أسّي y=ax^p إلى خط مستقيم.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
بالنسبة للت-fit الأسّي، الميل هو الأس نفسه، وليس لوغاريثمه. أما بالنسبة للت-fit الأسي، فالميل هو لوغاريثم الأساس، وليس الأساس نفسه. يتوافق تقاطع الرسم البياني للأسّي مع x=1 لأن ln x=0 عندئذ؛ أما تقاطع الأسي فيتوافق مع x=0. لا يمكن تسجيل الملاحظات غير الموجعة مباشرة. قد يتضمن مخطط log-y الأسي قيم x=0 أو قيم x السالبة؛ لكن مخطط log-log الأسّي لا يستطيع ذلك.
تفسير موقف جديد
- عوّن المحاور المُحوّلة وقدر الميل من نقاط متباعدة جيدًا على الخط المُنمذج، لا من نقطة بيانات واحدة. استعد كل معامل قطاع قبل العودة للوحدات الأصلية. عوض التنبؤات في النموذج الأصلي وفحص المتبقيات هناك. حدد النطاق المُنمذج، وعدم اليقين القياسي، وما إذا كان الاستقراء خارج النطاق مبررًا؛ الانحرافات المنهجية قد توحي بنموذج مختلف.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد الأساس الأسي b لبيانات الأسية معطاة.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الميل في المخطط شبه اللوغاريتمي هو ln2، لذا b=e^(ln2)=2.
طابق كل نموذج مع الرسم البياني الذي يخطّيه.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الرسم البياني للقوة لا يستطيع حساب لوغاريتم x غير الموجب، بينما يسمح الرسم البياني الأسي بأي قيمة لـ x؛ تتوافق نقاط التقاطع مع ln x=0 أو x=0 على التوالي.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · F. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
القيمة العمودية المُحوّلة عندما تكون المتغير الأفقي المختار صفرًا. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.