A · Proof

رياضيات مستوى A من AQA 7357، القسم أ (البرهان)، الإصدار 1.3 (أول امتحان 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

المتطلبات السابقة: التلاعب الجبري من GCSE.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• المعادلة n² + n + 41 تعطي أعدادًا أولية من أجل n = 1، 2، 3، وصولاً إلى 39. يستنتج طالب أنها أولية دائمًا. كيف يمكن لعدد واحد أن يحطم أربعين تأكيدًا؟
• قبل القراءة، اذكر ما نوع الحجة التي يمكنها إثبات ادعاء يتعلق بكل حالة، وما الذي يمكنه دحض ادعاء يتعلق بحالة واحدة فقط.

الطريقة

• الاستنتاج يبدأ من التعريفات المعلنة ويتبع منطقياً: الأعداد الفردية 2a+1 و 2b+1 مجموعها 2(a+b+1)، وهو عدد زوجي — مثبت لكل زوج.
• المثال المضاد يدحض ادعاءً شاملاً بحالة واحدة صالحة تفشل: عند n = 41، القيمة هي 41 × 43 = 1763، وليست أولية. البرهان بالتناقض يفترض النفي ويشتق مستحيلاً: إذا كان √2 = p/q بأصغر حدود، فإن p² = 2q² تجبر p على أن يكون زوجياً، وكتابة p = 2r تجبر q على أن يكون زوجياً أيضاً — مما يتناقض مع أصغر الحدود، إذن √2 عدد غير نسبي.
• الاستنتاج: إثبات ادعاء عبر خطوات منطقية من حقائق مقبولة؛ المثال المضاد: حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً عاماً؛ التناقض: افتراض النقيض واستنتاج مستحيل.

التحقق من عملك

• التحقق من n = 0، 1، 2، …، 39 هو دليل قوي ولكنه ليس برهاناً: الادعاء يتعلق بكل عدد صحيح موجب. يجب أن يغطي البرهان جميع الحالات دفعة واحدة — جبرياً بشكل عام، أو بفحص قائمة نهائية كاملة، أو بالتناقض.
• قبل قبول البرهان، تحقق من بنيته: هل يبدأ من افتراضات بدلاً من النتيجة؟ هل يهاجم التناقض الافتراض المعلن؟ التحقق من الأمثلة يؤكد الحسابات لكنه لا يحل محل الحجة العامة.

حالة محلولة

• معلوم: المثال المضاد المقترح n = 41. التعويض: n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763. القيمة لها عامل 41، لذا فهي ليست أولية — يفشل الادعاء العام في حالة واحدة بالضبط.

مثال:

اختبر ما إذا كان مجموع عددين زوجيين يكون دائمًا زوجيًا باستخدام الاستنتاج: اكتب العددين على الشكل 2a و 2b وأظهر البنية. (الإجابة: 2a + 2b = 2(a + b)، وهو مضاعف لـ 2، وبالتالي زوجي لكل زوج — لا حاجة أمثلة.)

حدود ومخاطر

• لكل طريقة شكل مطلوب: الاستدلال يحتاج متغيرات عامة، والاستنزاف يحتاج قائمة حالات شاملة حقًا، والتناقض يحتاج أن تكون المستحيل نابعًا من النفي نفسه. برهان حول الأعداد الصحيحة لا يغطي تلقائيًا الأعداد الحقيقية، والمتطابقة المثبتة لجميع القيم تختلف عن المعادلة الصحيحة فقط عند حلول معينة.

تحذير:

التحقق من ادعاء لأول مائة عدد صحيح لا يثبت أنه صحيح لكل عدد صحيح موجب. هذا الادعاء خاطئ: العينة المحدودة هي دليل، وليست برهانًا — n² + n + 41 تمر عبر 40 فحوصات وتفشل في الفحص 41، لذا فإن الحجة العامة أو المثال المضاد وحدهما يحسمان الادعاء العالمي.

المفتاح:

البرهان: يعمل الاستنتاج من التعريفات بمتغيرات عامة؛ يقتل المثال المضاد ادعاءً شاملًا بحالة واحدة؛ يفترض التناقض النقيض ويشتق مستحيلًا. الأمثلة تؤكد وتنفى — لكنها لا تثبت أبداً ادعاءً عالميًا.