Complete cases and counterexamples
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| proof by exhaustion/pruːf baɪ eɡˈzɔːstʃn/ | الإثبات بالاستنفاء |
متى تغطي ثلاث حالات كل عدد صحيح؟
- قد يفشل اختبار ألف عدد صحيح في اكتشاف المثال المضاد التالي. بدلاً من ذلك، يمكن لقائمة شاملة للبقايا الممكنة أن تحسم الأمر لجميع الأعداد الصحيحة.
- يدرس هذا الدرس الإثبات بالاستنفاء: وهو إثتحقق من كل احتمال في مجموعة نهائية وكاملة من الحالات.
اختر البنية الرياضية
- اكتب n=3k, 3k+1 أو 3k+2 لعدد صحيح k. هذه هي جميع البقايا الممكنة عند القسمة على 3، بما في ذلك الأعداد الصحيحة السالبة. قم بتقييم المقدار في كل حالة. يكفي مثال مضاد واحد لنفي ادعاء شامل؛ أمثلة تدعم الادعاء لا تثبته.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why does checking n=0,1,2 not prove a claim about every integer’s remainder on division by 3?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The three remainder classes with a general k cover every integer, positive or negative, in one argument each. Checking sample values verifies only those values.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ n=3k، فإن n²=9k² يقبل القسمة على 3. بالنسبة لـ n=3k+1، فإن n²=3(3k²+2k)+1. بالنسبة لـ n=3k+2، فإن n²=3(3k²+4k+1)+1. وبالتالي، يكون مربع العدد الصحيح له باقي 0 أو 1، ولا يمكن أن يكون 2. يفشل الادعاء بأن n²+n+41 أولي دائمًا عند n=41: قيمته هي 1763=41×43.
Complete cases and counterexamples
Write n=3k, 3k+1 or 3k+2 for integer k
Classify each argument and explain the condition that makes it valid or incomplete.
How many remainder cases are needed for division by 3?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The possible remainders are 0,1,2, giving three cases.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- العينة المحدودة ليست استنفاءً إلا إذا كانت تحتوي على كل حالة ممكنة. التحقق من n=0,1,2 وحده غير كافٍ: تعبيرات تتضمن عددًا صحيحًا عشوائيًا k تبرر جميع الأعداد الصحيحة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
إذا كان الادعاء صالحًا لأول مئة عدد صحيح، فقد تم إثباته لجميع الأعداد الصحيحة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
What remainder does 8² have on division by 3?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
64=3×21+1.
If a claim works for the first hundred integers, it has been proved for all integers.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A finite sample is not exhaustion unless it contains every possible case. Checking n=0,1,2 alone is not enough: the expressions involving arbitrary integer k justify all integers.
تفسير موقف جديد
- اختر تقسيمًا كاملًا للحالات، مثل الزوجية أو البواقي. اذكر السبب في عدم وجود حالة مفقودة. بالنسبة لادعاء شامل كاذب، قدم إدخالًا صالحًا وverify الفشل مباشرة.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Evaluate n²+n+41 at n=41.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
41²+41+41=1763=41×43.
Match each proof outcome to what establishes it.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A finite complete case list proves by checking each case; a finite INCOMPLETE sample is just evidence.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · المستوى العالي (A-level) · أ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
إثبات يتحقق من كل احتمال في مجموعة نهائية وكاملة من الحالات. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.