Deduction, contradiction and counterexamples
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| counterexample/ˈkaʊntəreɡzæmpl/ | مثال مضاد |
متى يصبح النمط برهاناً؟
- يمكن لفحص عدة أعداد صحيحة أن يشير إلى نمط. ما الذي يحول هذا النمط إلى برهان لكل عدد صحيح؟
- تدرس هذه الدرس مثال مضاد: حالة واحدة صالحة تفند ادعاءً شاملًا.
اختر البنية الرياضية
- يبدأ البرهان الاستنتاجي من التعريفات أو الافتراضات المعلنة. يردد المثال المضاد ادعاءً يشمل جميع القيم. بالنسبة للتناقض، افترض العكس واستنتج استحالة. بالنسبة للاستنفاد، تحقق من كل حالة في قائمة نهائية محدودة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why does n=41 disprove "n²+n+41 is prime for every positive integer n"?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A universal claim falls to one counterexample. At n=41 the value is 41×43, divisible by 41, so not prime - no further cases are needed.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
الأعداد الفردية 2a+1 و2b+1 مجموعها 2(a+b+1)، وبالتالي فهي عدد زوجي. لنفي أن n²+n+41 هو دائماً عدد أولي، استخدم n=41: القيمة هي 41×43=1763. في برهان بالتناقض لإثبات أن √2 عدد غير نسبي، افترض أن √2=p/q بأبسط صورة؛ f p²=2q² يفرض أن كلاً من p و q أعداد زوجية، مما يتناقض مع أبسط صورة.
Deduction, contradiction and counterexamples
A deductive proof starts from stated definitions or assumptions
Distinguish a proof for all integers from one counterexample.
Evaluate n²+n+41 at n=41.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At n=41 the value is 41²+41+41=41×43=1763.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا تفترض结论 أثناء إثباته. في البرهان بالتناقض، حدد العاقبة المستحيلة ورفض الافتراض الأولي المعاكس. الاستقراء ليس إلزامياً في AQA 7357؛ بل ينتمي إلى نطاق الرياضيات المتقدمة الخاص به.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
فحص العشر أرقام الأولى يثبت ادعاءً لكل عدد صحيح موجب. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.
For 2a+1 and 2b+1 with a=3,b=4, find their sum.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The two odd integers are 7 and 9, whose sum is 16.
Checking the first ten integers proves a claim for every positive integer.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not assume the conclusion while proving it. In contradiction, identify the impossible consequence and reject the initial contrary assumption. Induction is not compulsory in AQA 7357; it belongs in its own appropriate further-mathematics scope.
تفسير موقف جديد
- برهان AQA يتضمن الاستنتاج والاحتمال والتناقض. يُقدم IAL P2 الاحتمال والمثال المضاد، بينما يقدم P4 التناقض. حافظ على الطريقة متطابقة مع الوحدة المسماة.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find 1+2+...+20.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Pair the endpoints: 20 terms have average 10.5, giving 20×10.5=210.
Match each proof method to its structure.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Each method has a required structure; checking many cases is evidence but never a proof of a universal claim.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · المستوى العالي (A-level) · أ. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
حالة واحدة صالحة تنفي ادعاءً شاملاً. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.