G · Differentiation

AQA A-level Mathematics 7357، القسم G (التفاضل)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تعليمية أصلية.

الشروط المسبقة: التلاعب الجبري ورمز الدوال من القسم B.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• منحنى مسافة-زمن السيارة يستمر في الانحناء، لذا لا يوجد "سرعة" واحدة تناسب الرحلة بأكملها — ومع ذلك يعرض عداد السرعة رقماً واحداً الآن. ماذا يعني هذا الرقم هندسياً؟
• قبل القراءة، اشرح كيف يختلف ميل المماس عن السرعة المتوسطة بين وقتين.

الطريقة

• المشتق هو نهاية كسر الفرق [f(x+h) − f(x)]/h عندما h → 0: وهو ميل المماس والمعدل اللحظي. بالنسبة لـ y = axⁿ، dy/dx = anxⁿ⁻¹؛ تتبع الأشكال المثلثية والأسية: (sin x)′ = cos x، (cos x)′ = −sin x، (eˣ)′ = eˣ، (ln x)′ = 1/x، بالراديان.
• النقطة الثابتة تكون فيها dy/dx = 0؛ يتم تصنيفها بتغير إشارة المشتق أو إشارة المشتق الثاني (موجب: حد أدنى محلي؛ سالب: حد أعلى محلي). تعامل قواعد السلسلة والضرب والقسمة مع الأشكال المركبة، مع إبقاء كل عامل لمعدل داخلي.
• المشتق: المعدل اللحظي للتغير، ميل المماس؛ النقطة الثابتة: نقطة يكون فيها المشتق صفراً؛ المشتق الثاني: مشتق المشتق، يقيس كيفية تغير الميل.

التحقق من عملك

• المشتق الصفر هو مجرد مرشح: y = x³ ثابتة عند 0 لكنها تستمر في الارتفاع، لذا يتطلب التصنيف تغير الإشارة أو f″. على فترة محدودة، قارن أيضاً قيم الحدود — الحد الأقصى الكلي قد يقع عند طرف.
• بعد اشتقاق حاصل ضرب مثل xeˣ، تحقق عند مدخل سهل: قاعدة الضرب تعطي eˣ + xeˣ، والتي عند x = 0 تساوي 1، وليست 0. ضرب المشتقات المنفصلة سيعطي قيمة خاطئة هناك.

حالة محلولة

• معلوم: y = x³ − 3x، إذن dy/dx = 3x² − 3. ثابتة عندما 3x² − 3 = 0: x = ±1. المشتق الثاني هو 6x: عند x = 1 هو 6 > 0، لذا (1, −2) حد أدنى محلي؛ عند x = −1 هو −6 < 0، لذا (−1, 2) حد أقصى محلي.

مثال:

بالنسبة لـ y = x³ − 3x عند x = 2، أوجد معادلتي المماس والناظم باستخدام نفس التسلسل: النقطة من f ← الميل من f′ ← معادلات الخط. (الحل: y = 2 عند x = 2 والميل هو 9، لذا المماس هو y − 2 = 9(x − 2) والناظم هو y − 2 = −(1/9)(x − 2).)

حدود ومخاطر

• المشتق يوفر الميل، وليس الإحداثي y — النقطة دائماً تأتي من المنحنى الأصلي. المماس الأفقي (ميل 0) له ناظم عمودي، يُكتب كـ x = ثابت، لأن المعكوس السلبي للصفر غير موجود.

تحذير:

كل نقطة لها مشتق صفر هي حد أقصى محلي أو حد أدنى محلي. هذه العبارة خاطئة: y = x³ يكون فيها dy/dx = 0 عند x = 0 لكن المشتق 3x² يبقى موجباً على كلا الجانبين — نقطة انعطاف ثابتة، بدون أي حد قصوى.

المفتاح:

الاشتقاق: المشتقة هي نهاية ميل الوتر، مما يعطي ميل المماس ومعدل التغير. تأتي المرشحات الثابتة من f′ = 0 وتصنف بناءً على تغير الإشارة أو f″؛ تستخدم المماسات والأعمدة العمودية النقطة من f والميل من f′.