المشتقات الأولى البارامترية والمماسات العمودية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| parametric gradient/ˌpærəˈmetrɪk ˈɡreɪdɪənt/ | الميل البارامتري |
الإحداثيان يعتمدان على نفس الشريط المنزلق. كيف تتكامل معدلاتهما المنفصلة في ميل المنحنى؟
- الإحداثيان يعتمدان على نفس الشريط المنزلق. كيف تتكامل معدلاتهما المنفصلة في ميل المنحنى؟
- تدرس هذه الدرس ميل البارامتر: نسبة معدل y إلى معدل x على طول منحنى مُعامل، عندما يكون معدل x غير صفري.
اختر البنية الرياضية
- بالنسبة لـ x=x(t)، y=y(t)، تعطي قاعدة السلسلة dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)، لذا dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) عندما dx/dt≠0. اشتق الإحداثيين بشكل منفصل، ثم قسّم بترتيب y فوق x. يتم الحصول على النقطة من نفس قيمة المعامل. لا يجب أن يمثل المعامل وقتاً فيزيائياً بالضرورة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لـ x=t²+1، y=t³-3t عند t=2، لماذا يكون dy/dx=9/4؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
معدل y يُقسَم على معدل x - والعكس مستحيل. كلا المشتقين يأتيان من نفس قيمة المعامل، والنقطة (5,2) تنشأ أيضاً من t=2.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ x=t²+1، y=t³−3t، لدينا dx/dt=2t و dy/dt=3t²−3. عند t=2 تكون النقطة (5,2) والميل هو 9/4، لذا المماس هو y−2=(9/4)(x−5). عند t=1، النقطة (2,−2) لها مماس أفقي y=−2 لأن dy/dt=0 بينما dx/dt=2. عند t=0، النقطة (1,0) لها مماس عمودي x=1: dx/dt=0 لكن dy/dt=−3≠0. إعادة المعيارية المحلية then changes y while x has zero instantaneous change. بالنسبة لـ x=2cos t، y=3sin t، عند t=π/4 تكون النقطة (√2,3√2/2) والميل هو −3/2. عند t=0 يكون مماس القطعة الناقصة عمودياً، x=2.
المشتقات الأولى البارامترية والمماسات العمودية
بالنسبة لـ x=x(t), y=y(t)، تعطي قاعدة السلسلة dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)، لذا dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) عندما dx/dt≠0
حدد المتغير المتغير المناسب وصادق مقام المشتقة أو الفرع المحلي.
بالنسبة للتعبير البارامتري التكعيبي عند t=2، أوجد dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عند t=2، يكون dy/dt=9 و dx/dt=4، لذا فإن النسبة هي 9/4.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- النسبة هي dy/dt مقسوماً على dx/dt، ليس مقلوبها. إذا اختفت كلا المعدلين، فإن 0/0 غير حاسم: x=t³،y=t³ لا يزال يرسم y=x بميل 1 عبر الصفر. إذا كان dx/dt=0 وحده، افحص المنحنى المحلي بدلاً من الإبلاغ عن ميل رقمي محدود. يمكن أن تقابل قيم x المكررة قيم y مختلفة أو فروع؛ احتفظ بقيمة المعامل المعلنة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
عندما يكون كلا معدلي الإحداثيات البارامترية صفراً، يجب ألا يكون للمنحنى مماس. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
لنفس المنحنى عند t=1، أوجد dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عند t=1، البسط يساوي صفر والمقام هو 2، مما يعطي صفرًا.
عندما تكون معدلات الإحداثيات البارامترية كلاهما صفرًا، يجب ألا يحتوي المنحنى على مماس.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
النسبة هي dy/dt مقسومًا على dx/dt، وليست مقلوبها. إذا اختفت المعدلات كلاهما، فإن 0/0 غير حاسم: f(x)=t³, g(y)=t³ لا يزال يرسم y=x بميل 1 عبر الصفر. إذا كان dx/dt=0 وحده، فافحص المنحنى المحلي بدلاً من الإبلاغ عن ميل رقمي محدود. قيم x المكررة قد تقابل قيم y مختلفة أو فروع؛ احتفظ بقيمة المعامل المعلنة.
تفسير موقف جديد
- أوجد الزوج الإحداثي، وحسب كلتا المعدلتين الأوليتين، ثم تحقق من صحة النسبة. اذكر معادلات المماس الأفقي/الرأسي بشكل منفصل عند اللزوم واحفظ نطاق المعامل. تحقق عن طريق استبعاد المعامل عندما يعطي ذلك علاقة محلية بسيطة. يتطلب G5 المشتقات الأولى فقط؛ والمشتقة البارامترية الثانية خارج نطاق الدرس المعلن.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
بالنسبة للقطع الناقص عند t=π/4، أوجد dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3cos t)/(−2sin t) عند π/4 تساوي −3/2.
صافق كل حالة بارامترية بتفسيرها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
معدل x صفر وحده لا يسمح بالقسمة ولا بالمماس؛ x=t³,y=t³ يظهر كلا المعدلين صفراً ومع ذلك للمنحنى ميل 1.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
نسبة معدل y إلى معدل x على منحنى مُعَرَّر بارامترياً، عندما يكون معدل x غير صفري. اختر العلاقة، وبيّن الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.