Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| feasible domain/ˈfiːzɪbl dəˈmeɪn/ | المجال الممكن |
قطع مربعات زوايا أكبر يجعل الصندوق أطول لكن قاعدته أصغر. أي قطع يعطي في الواقع أكبر حجم صالح؟
- قطع مربعات زوايا أكبر يجعل الصندوق أطول لكن قاعدته أصغر. أي قطع يعطي في الواقع أكبر حجم صالح؟
- يدرس هذا الدرس المجال الممكن: قيم المدخلات المسموحة بعد تطبيق القيود الفيزيائية أو الرياضية الأصلية.
اختر البنية الرياضية
- عبّر عن الكمية المراد تحسينها بدالة متغير واحد، مع مجالها الممكن. حل شرط مساواة المشتقة بالصفر للحصول على مرشحين داخليين، ورفض الجذور غير الصالحة، وتصنيف باستخدام إشارات المشتقة أو المشتقة الثانية غير الصفرية. الحد الأقصى/الأدنى العالمي يحتاج أيضاً إلى قيم الحدود أو السلوك الحدي؛ التصنيف المحلي وحده لا يحسم سؤالاً ذات مجال مقيد.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
For the open box, V′=0 gives x≈2.43 and x≈8.24. Why is 8.24 rejected outright?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary point outside the feasible domain is not a candidate. Global claims also need the boundaries: V→0 at both open ends, so the interior maximum at 2.43 is global.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
قطع مربعات ضلعها x سم من ورقة أبعادها 20 سم × 12 سم وطي صندوق مفتوح. أبعاده هي x،20−2x،12−2x، لذا V=240x−64x²+4x³ و 0<x<6. V′=240−128x+12x² تعطي جذوراً x=(16±2√19)/3. الجذر الأصغر α≈2.4274 يقع في المجال؛ والجذر الأكبر ≈8.2393 يجعل الضلع القصير للقاعدة سالباً ويتم رفضه. V′ موجبة على (0,α) وسالبة على (α,6)، بينما تميل V إلى الصفر عند الطرفين. بالتالي يعطي α الحد الأقصى العالمي. مستطيل منفصل له محيط 24 سم وأضلاع x،12−x، مساحة A=12x−x² و 0<x<12؛ حد أقصى له هو 36 سم² عند x=6. بالنسبة لـ f=(x−1)² على [0,3]، القيمة الثابتة الداخلية هي الحد الأدنى 0، لكن الحد الأقصى العالمي هو قيمة الطرف f(3)=4.
Optimisation with constraints, boundaries and rejected roots
Express the quantity to optimise in one variable, with its feasible domain
Connect derivative calculations to their original point, domain and stated rate law.
For the 24 cm perimeter rectangle, find the optimum x in cm.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A′=12−2x=0 gives x=6 in the domain.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- الجذر الثابت خارج النطاق المقبول ليس تصميماً بديلاً. اختبار المشتقة الثانية يعطي تصنيفاً محلياً، وليس كل مقارنة شاملة. الأطراف المفتوحة هي قيم حدية، وليست تصاميم مسموحة. للفترة المغلقة، تحقق من القيم الفعلية للأطراف. إذا كانت الأبعاد يجب أن تستخدم خطوة متقطعة محددة، فقارن الخيارات المسموحة المجاورة بدلاً من الإبلاغ عن optimum متصل غير قابل للوصول.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل حل لـ V′=0 هو أقصى قيمة شاملة مقبولة لحجم الصندوق. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
Find its maximum area in cm².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A(6)=6×6=36; the derivative changes + to −.
Every solution of V′=0 is a feasible global maximum of the box volume.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
A stationary root outside the feasible domain is not an alternative design. A second-derivative test gives a local classification, not every global comparison. Open endpoints are limiting values, not permitted designs. For a closed interval check actual endpoint values. If dimensions must use a specified discrete step, compare the neighbouring allowed choices rather than reporting an unattainable continuous optimum.
تفسير موقف جديد
- اكتب الوحدات والقيود قبل التفاضل، احتفظ بالجذور الدقيقة خلال التصنيف، وقدم الأبعاد النهائية أو الكمية المطلوبة بدلاً من المدخلات فقط. حدد التقريبات مثل سماكة المادة مهملة والطيات الدقيقة. إذا كان النموذج يحتوي على قص متقطع أو تحمّل قياسي، اشرح كيف سيتغير الاختيار النهائي المقبول ومقارنته.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find the maximum of (x−1)² on [0,3].
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Compare the stationary value 0 with endpoint values 1 and 4; the maximum is 4.
Match each optimisation step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A second-derivative test classifies locally only; restricted-domain optimisation is finished by comparing boundaries.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
قيم الإدخال المسموحة بعد تطبيق القيود الفيزيائية أو الرياضية الأصلية. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.