بناء المعادلات التفاضلية من قواعد المعدل.
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | المعادلة التفاضلية |
تتزايد مجموعة سكانية متناسباً مع حجمها الحالي بينما يغادر عدد ثابت كل يوم. أي الأجزاء تنتمي إلى معادلة المعدل؟
- تنمو تعداد السكان في نسبة مع حجمه الحالي بينما يغادر عدد ثابت كل يوم. أي الأجزاء تنتمي لمعادلة المعدل؟
- تدرس هذه الدرس المعادلة التفاضلية: علاقة تتضمن دالة مجهولة ومشتقة واحدة أو أكثر منها.
اختر البنية الرياضية
- اختر المتغيرات المستقلة والمعتمدة وحوّل قانون المعدل المعطى إلى مشتقة. التناسب مع y يعني ky؛ التناسب مع y² يعني ky². تدفق دخول ثابت ناقص خسارة متناسبة يعطي dy/dt=a−ky؛ معدل متناسب مع الفجوة عن هدف A يعطي dy/dt=k(A−y). الشرط الأولي يثبت قيمة الدالة، وليس صيغة المشتقة. يجب أن تكون الثوابت ذات وحدات تجعل كلا الطرفين من نفس نوع المعدل.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا تُكتب "المعدل يتناسب مع الكمية الحالية" على شكل dy/dt=ky بدلاً من dy/dt=k؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المعدل التناسبي ينتج سلوكاً أسيًا، وليس تغيراً مطلقاً ثابتاً. dy/dt=k يضيف مقداراً ثابتاً لكل وحدة زمنية بغض النظر عن y - وهو نموذج خطي يجيب على statement مختلفة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل مجموعة سكانية توضيحية P، t بالأيام، تحدث الولادات بمعدل 0.04P يومياً ويغادر 10 فرد يومياً. النموذج هو dP/dt=0.04P−10، P(0)=500. في البداية يكون المعدل 10 فرد/يوم؛ P=250 حالة توازن، وأسفله يتنبأ نفس المعادلة بالتناقص. يجب إيقاف النموذج أو تحسينه إذا تنبأ بعدد سكان سلبي. من أجل سرعة v بوحدة م/ث وt بالثواني، التسارع 6−0.2v يعطي dv/dt=6−0.2v، v(0)=0: التسارع الأولي هو 6 م/ثانية² وسرعة التوازن 30 م/ثانية. في نموذج طلب افتراضي، الكمية Q تنخفض بمعدل سعر متناسب مع Q. عند سعر p=12، Q=200 وdQ/dp=−10، لذا dQ/dp=−0.05Q مع Q(12)=200؛ المتغير المستقل هو السعر، وليس الزمن. في الرياضيات البحتة، الميل 2xy مع y(1)=3 يعطي dy/dx=2xy والميل الأولي 6.
بناء المعادلات التفاضلية من قواعد المعدل.
اختر المتغيرات المستقلة والتابعة وحوّل قاعدة المعدل المعلنة إلى مشتقة.
اربط حسابات المشتقة بنقطة الأصل لها، ونطاقها، وقانون المعدل المعطى.
إيجاد معدل السكان الأولي بالأفراد/اليوم.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
0.04×500−10=10.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- المعدل المتناسب ليس تغييراً مطلَقاً ثابتاً. المغادرون الثابتون يحتاجون إلى حد طرح، وليس مضاعفاً ثانياً لـ P. لا تستبدل P المتغيرة بقيمتها الأولية طوال المعادلة. التوازن يحل شرط المعدل يساوي صفراً؛ لا يشترط أن يساوي القيمة الأولية أو يُقرب منه من كل بداية. مشتقة السعر ومشتقة الزمن كميات مختلفة بوحدات مختلفة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
عبارة تفيد أن المعدل متناسب مع الكمية الحالية تعني نفس التغيير المطلق في جميع الأوقات. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
إيجاد التسارع الأولي بوحدة م/ث².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
6−0.2×0=6.
عبارة تفيد أن المعدل يتناسب مع الكمية الحالية تعني نفس التغير المطلق في جميع الأوقات.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
المعدل المتناسب ليس تغيرًا مطلقًا ثابتًا. المغادرة الثابتة تتطلب حد طرح، وليس مضاعفًا ثانيًا لـ P. لا تحل محل قيمة P المتغيرة بقيمتها الأولية عبر المعادلة بأكملها. يحل نقطة التوازن شرط المعدل يساوي صفرًا؛ ولا يشترط أن تساوي القيمة الأولية أو تُقرب من كل بداية. المشتقة السعرية والمشتقة الزمنية كميات مختلفة ذات وحدات مختلفة.
تفسير موقف جديد
- عرّف كل متغير، ترجم كل مصطلح دخول/خروج أو متناسب مع إشارته، اذكر افتراضات الثوابت وأضف الشرط الأولي بشكل منفصل. قيّم المعدل الأولي كتحقق وأوجد أي توازن قبل تفسير النموذج. هذه بناءات توضيحية، وليست قوائم سياقية إجبارية: أمثلة G6 اختيارية. حل المعادلة الناتجة مهمة تكامل منفصلة.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
إيجاد ثابت التناسب الموجب في نموذج الطلب.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
من −10=−k×200، k=10/200=0.05.
طابق كل قانون معدل مع معادلته التفاضلية.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
للثوابت وحدات تجعل كلا الطرفين من نفس نوع المعدل؛ والشروط الأولية تحدد قيمة، لا صيغة المشتقة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
علاقة تتضمن دالة مجهولة ومشتقة واحدة أو أكثر منها. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.