رسوم البيانية للميل، التقعر واختبارات الانعطاف.
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | نقطة الانعطاف |
يمكن أن يكون للمنحنيين كلاهما ميل صفري، ومع ذلك يلتوي أحدهما ويستمر الآخر في الصعود. أي رسم بياني للتدرج يوضح هذا الفرق؟
- يمكن أن يكون للمنحنيين كلاهما ميل صفري، ومع ذلك يلتوي أحدهما ويستمر الآخر في الصعود. أي رسم بياني للتدرج يوضح هذا الفرق؟
- تدرس هذه الدرس نقطة الانعطاف: نقطة يتغير فيها اتجاه تقعر المنحنى المتصل.
اختر البنية الرياضية
- إشارة f′ تحدد الفترات المتزايدة أو المتناقصة. أصفار f′ هي مرشحات للنقاط الساكنة. التغير من + إلى − يعطي حدًا محليًا أقصى؛ − إلى + يعطي حدًا محليًا أدنى. المشتقة الثانية f″ تقيس كيف يتغير التدرج: الموجب يعني تدرجًا متزايدًا ومنحنىً محدبًا (تقعر لأعلى)؛ السالب يعني تدرجًا متناقصًا ومنحنىً مقعرًا (تقعر لأسفل). يتطلب الانعطاف تغيرًا في التقعر، وليس فقط f″=0.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
عندما q=x⁴، فإن q″(0)=0. لماذا (0,0) ليست نقطة انعطاف؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يتطلب الانعطاف تغييراً في التقعر - أي تغير في الإشارة لـ f″. مجرد الصفر للمشتقة الثانية وحده لا يكفي؛ تفحص الإشارات على كلا الجانبين، حيث أن x³ يغير إشارته عند 0 بينما x⁴ لا يفعل ذلك.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ f=x³−3x، f′=3x²−3 و f″=6x. رسم الميول فوق الصفر لـ x<−1 or x>1 وتحت للصفر لـ −1<x<1. وبالتالي (−1,2) هي حد أقصى محلي و(1,−2) حد أدنى محلي. المشتقة الثانية تتغير من سالب إلى موجب عند x=0، لذا (0,0) هي نقطة انعطاف بميل غير صفري −3. بالنسبة لـ g=x³، g′=3x² تظل موجبة على كلا جانبي الصفر: (0,0) هي نقطة انعطاف ثابتة، وليست نقطة تحول. بالنسبة لـ q=x⁴، q′=4x³ تتغير من − إلى + و q″=12x² غير سالبة: (0,0) هي حد أدنى، لكن ليست نقطة انعطاف حتى وإن كانت q″(0)=0.
رسوم البيانية للميل، التقعر واختبارات الانعطاف.
إشارة f′ تحدد الفترات المتزايدة أو المتناقصة
ربط حساب المشتق بحدودها أو تفسير إشارتها كميل.
من أجل x³−3x، أوجد الإحداثي الصادي للحد الأقصى المحلي.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
عند x=−1 تتحول المشتقة من + إلى − و f(−1)=2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا تخلط بين ارتفاع f وتدرجه f′. يمكن لمنحنٍ متناقص أن يكون له تدرج متزايد بينما يبقى تحت الصفر في الرسم البياني للتدرج. اختبار f″(a)=0 غير حاسم؛ افحص الإشارات على كل جانب. قد لا تكون نقطة الانعطاف ساكنة، وقد لا تكون النقطة الساكنة حدًا قصوى. الحد الأقصى/الأدنى عند طرفي الفترة also يتطلب التحقق من الأطراف.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل نقطة يكون فيها المشتقة الثانية مساوية للصفر هي نقطة انعطاف. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
من أجل x³−3x، أوجد f″(1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اشتق مرتين: f″=6x، لذا f″(1)=6.
كل نقطة يكون فيها المشتق الثاني صفراً هي نقطة انعطاف.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لا تخلط بين ارتفاع f وميلها f′. المنحنى المتناقص يمكن أن يكون له ميل متزايد بينما يبقى تحت الصفر في رسم الميل البياني. اختبار f″(a)=0 غير حاسم؛ افحص الإشارات على كلا الجانبين. قد لا تكون نقطة الانعطاف نقطة ثابتة، وقد لا تكون النقطة الثابتة نقطة حد. حدود الحد الأقصى على فترة محدودة تتطلب أيضاً فحص النقاط الطرفية.
تفسير موقف جديد
- قم بمحاذاة المحور السيني للمنحنى الأصلي والرسم البياني للتدرج. حدد أصفار f′ وبني فترات الإشارة قبل تسمية الحدود القصوى. اقرأ التقعر من خلال ما إذا كان الرسم البياني للتدرج متصاعدًا أو متناقصًا. بالنسبة لكثير حدود قابل للاشتقاق مرتين، استخدم تغييرًا فعليًا في إشارة f″ لإثبات الانعطاف وقم بحساب الدالة الأصلية لتحديد إحداثياتها.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
من أجل x⁴، أجد q″(0).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
q″=12x² يساوي صفراً عند الصفر؛ هذا وحده لا يعني وجود نقطة انعطاف.
طابق كل نمط لإشارة المشتقة بتصنيفها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المشتقة الأولى تحدد المرشحين؛ التغيرات في الإشارة - من f′ للقيم القصوى، ومن f″ للانعطافات - تقوم بالتصنيف.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
نقطة يتغير فيها اتجاه تقعر المنحنى المتصل. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.