مشتقات القوى الكسرية والمجالات الصالحة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| rational power/ˈræʃənl ˈpaʊə/ | الأس الكسري |
منحنى الجذر التربيعي له ارتفاع محدود عند الصفر ولكن ميل غير محدود بالقرب منه. لماذا يجب أن يكون للمشتقة مجال خاص بها؟
- منحنى الجذر التربيعي له ارتفاع محدود عند الصفر ولكن ميل غير محدود بالقرب منه. لماذا يجب أن يكون للمشتقة مجال خاص بها؟
- تدرس هذه الدرس الأسس الكسرية: أس يمكن كتابته ككسر من الأعداد الصحيحة، ويُفسر بجذر حقيقي صالح.
اختر البنية الرياضية
- للأس الكسري p، d(x^p)/dx=p x^(p−1) حيثما تكون الدالة الحقيقية معرفة وقابلة للاشتقاق. اضرب في المعاملات الثابتة؛ اشتق المجموع والفرق حدًا تلو الآخر. المشتقة للثابت تساوي صفرًا. أعد كتابة الجذور والمقلوبات كأسس قبل طرح واحد من الأس. x الموجب صالح لجميع الأسس الكسرية؛ المدخلات السالبة والصفر تتطلب فحوصات منفصلة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
√x معرفة عند x=0. لماذا لا تكون مشتقتها منتهية هناك؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
وجود الدالة (FUNCTION) عند نقطة لا يضمن وجود مشتقة منتهية: نسبة الفرق لـ √x عند 0 هي 1/√h، which blows up. يجب التحقق من مجال f ومجال f′ بشكل منفصل.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ x>0، f=3√x−4/x+1/√x تعطي f′=(3/2)x^(−1/2)+4x^(−2)−(1/2)x^(−3/2). عند x=4 هذا يساوي 3/4+1/4−1/16=15/16. بالنسبة لـ q=x^(2/3)=(جذر مكعب x)²، sm s negative x مسموح; q′=(2/3)x^(−1/3) لـ x≠0، لذا فإن q′(−8)=−1/3. عند الصفر، q لها قمة: نسبة الفرق |h|^(2/3)/h تتباعد بإشارات معاكسة. بالنسبة لـ r=x^(4/3)، [r(h)−r(0)]/h = جذر مكعب h يميل إلى الصفر، لذا فإن r′(0)=0. وبالتالي، لا يستبعد الأس الكسري الصفر تلقائيًا من المشتقة.
مشتقات القوى الكسرية والمجالات الصالحة
بالنسبة لأس كسري p، d(x^p)/dx=p x^(p−1) حيثما تكون الدالة الحقيقية معرفة وقابلة للاشتقاق
اختر قاعدة الاشتقاق واحفظ كل معامل، معدل داخلي وقيود الإدخال.
بالنسبة للدالة المحلولة f، أوجد f′(4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3/2)/2+4/16−(1/2)/8=15/16.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- قد تختلف مجال الجذر الأصلي ومجال المشتقة. √x معرفة عند x=0، لكن 1/(2√x) ليس لها قيمة نهائية هناك؛ 1/√x غير معرفة هناك على الإطلاق. الأساس السالب الحقيقي يحتاج إلى أس كسري مختزل مقامه فردي. من أجل x<0، فإن x^(2/3) تعني مربع الجذر التكعيبي الحقيقي لها، وليس حساب لوغاريتم حقيقي غير صالح. لا تقم باشتقاق المقلوب مع الاحتفاظ بنفس الأس أو حذف الإشارة السالبة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
كل دالة قوة كسرية معرفة عند الصفر لها مشتقة نهائية هناك. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
بالنسبة لـ x^(2/3)، أوجد المشتقة عند x=−8.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الجذر التكعيبي الحقيقي لـ −8 هو −2؛ (2/3)/(−2)=−1/3.
كل دالة قوة كسرية معرفة عند الصفر لها مشتقة محدودة هناك.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
يمكن أن تختلف مجال الجذر الأصلي ومجال المشتقة. √x معرفة عند x=0، لكن 1/(2√x) ليس لها قيمة محدودة هناك؛ 1/√x غير معرفة هناك على الإطلاق. يتطلب الأساس السالب الحقيقي أس كسري مخفض بمقام فردي. بالنسبة لـ x<0، فإن x^(2/3) تعني مربع جذره التكعيبي الحقيقي، وليس حساب لوغاريتم حقيقي غير صالح. لا تقم باشتقاق المقلوب مع الحفاظ على نفس الأس أو حذف الإشارة السالبة.
تفسير موقف جديد
- حدد المجال الأصلي أولاً، أعد كتابة كل حد، اضرب معامله في الأس واطرح واحدًا من ذلك الأس. عد إلى الجذور إذا طُلب ذلك. تحقق من المدخلات الحدية باستخدام خارج الفرق الأصلي عندما تكون المشتقة الرسمية غير معرفة أو غير حاسمة. احتفظ بالمعاملات الكسرية الدقيقة حتى التقييم النهائي.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
بالنسبة لـ x^(4/3)، أوجد المشتقة عند x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الكسر الفرق الأصلي هو الجذر التكعيبي الحقيقي لـ h ويميل إلى الصفر.
طابق كل إعادة كتابة للقوة مع مشتقتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
أعد كتابة الجذور والمقلوبات كقوى أولاً، ثم طبق px^(p-1) مع معامله؛ ينخفض الأس بمقدار واحد بالضبط.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
أس يمكن كتابته ككسر من الأعداد الصحيحة، مُفسَّر بجذر حقيقي صالح. اختر العلاقة، أظهر الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.