قواعد الضرب والقسمة مع الاستثناءات المحتفظ بها
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | قاعدة القسمة |
يمكن لكلا العاملين في مساحة متغيرة أن يتغيرا. لماذا يفتقر ضرب مشتقاتهم المنفصلة إلى معظم المعدل؟
- يمكن لكلا العاملين في مساحة متغيرة أن يتغيرا. لماذا يفتقر ضرب مشتقاتهم المنفصلة إلى معظم المعدل؟
- تدرس هذه الدرس قاعدة القسمة: القاعدة لاشتقاق نسبة دالتين متغيرتين عندما يكون المقام لا يساوي صفراً.
اختر البنية الرياضية
- لـ u,v قابلة للاشتقاق، (uv)′=u′v+uv′. من أجل v≠0، (u/v)′=(u′v−uv′)/v². قاعدة الضرب لها مساهمتان: تغير في أي عامل بينما يوفر الآخر قيمته الحالية. قاعدة القسمة تستخدم مشتقة البسط مضروبة في المقام، ناقص البسط مضروباً في مشتقة المقام، كل ذلك مقسوماً على v².
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لـ w=(x²-1)/(x-1)، لماذا لا يكون المشتق المبسط w′=1 صالحاً عند x=1؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
العامل (x-1) يُختزل إلى x+1 فقط عندما تكون x≠1. مشتق الصيغة المبسطة يشارك نفس الاستثناء - الثقب في الرسم البياني لا يُعالج جبرياً.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ y=x²e^x، فإن y′=2xe^x+x²e^x=e^x(x²+2x)، لذا فإن y′(1)=3e. بالنسبة لـ z=(x²+1)/(x−1)، حيث x≠1، فإن z′=[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²=(x²−2x−1)/(x−1)²؛ عند x=2 تكون القيمة −1. قسمة كثيرات الحدود تعطي z=x+1+2/(x−1)، ومنه z′=1−2/(x−1)²، وهي تحقق مستقلة. بالنسبة لـ w=(x²−1)/(x−1)، حيث x≠1، فإن الاختصار يعطي w=x+1 و w′=1 فقط في مجالها الأصلي. النقطة المفقودة عند x=1 لم تُستعاد؛ امتدادها المتصل سيكون دالة مختلفة.
قواعد الضرب والقسمة مع الاستثناءات المحتفظ بها
بالنسبة لـ u,v القابلتين للاشتقاق، (uv)′=u′v+uv′
اختر قاعدة الاشتقاق واحفظ كل معامل، معدل داخلي وقيود الإدخال.
بالنسبة لـ x²e^x، أوجد المشتقة عند x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e⁰(0²+2×0)=0.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- ضرب u′v′ ليس مشتقة uv. عكس البسط في القسمة يعكس إشارته. المقام المربع لا يلغي القطب أو الثقب الأصلي. التبسيط قبل الاشتقاق قد يساعد، لكنه يجب أن يحافظ على الاستثناءات. نقطة السكون في القسمة يجب أن تقع أيضًا في المجال الأصلي.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
اختصار عامل من قسمة ما يُعيد تلقائيًا كل مدخل مستبعد. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهكه.
بالنسبة للـ z المحلول، أوجد z′(2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(4−4−1)/(2−1)²=−1.
اختصار عامل من قسمة ما يستعيد تلقائياً كل مدخل مستبعد.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ضرب u′v′ ليس مشتقة uv. عكس بسط القسمة يغير إشارتها. المقام المربع لا يلغي القطب الأصلي أو الثقب. التبسيط قبل الاشتقاق قد يساعد، لكنه يجب أن يحافظ على الاستثناءات. نقطة السكون في القسمة يجب أن تقع أيضاً في المجال الأصلي.
تفسير موقف جديد
- عرّف u,v واكتب u′,v′ قبل التعويض. أبقِ الأقواس حول حدَي بسط القسمة حتى اكتمال التوسيع. جدّل مشتقة حاصل ضرب بعد تجميع المساهمتين. قارن الشكل الموسّع أو المقسوم عند توفرهما وعوّض في المجال الأصلي قبل التقييم أو حل y′=0.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
بالنسبة لـ w=(x²−1)/(x−1)، أوجد w′(2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
الاختصار يعطي x+1 فقط عندما x≠1؛ وتشتقه عند المدخل المسموح به 2 هو 1.
طابق كل قاعدة بصيغتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
صاحب الكسر يطرح بالترتيب u′v-uv′؛ عكسه يعكس الإشارة، ومقام التربيع لا يلغي استثناءات الدالة الأصلية أبداً.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
قاعدة اشتقاق نسبة دالتين متغيرتين عندما يكون المقام غير صفري. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.