قواعد السلسلة للدوال المتداخلة والمدخلات المحدودة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| composite derivative/ˈkɒmpəzɪt dɪˈrɪvətɪv/ | مشتقة الدالة المركبة |
يحول المستشعر إدخالًا متغيرًا عبر عدة صيغ. كيف نحافظ على كل رابط في معدل تغيره؟
- يحول المستشعر إدخالًا متغيرًا عبر عدة صيغ. كيف نحافظ على كل رابط في معدل تغيره؟
- يدرس هذا الدرس المشتقة المركبة: المشتقة الخارجية مُقيّمة عند الناتج الداخلي، مضروبة في مشتقة ذلك الإدخال الداخلي.
اختر البنية الرياضية
- من أجل y=f(u) وu=g(x)، فإن dy/dx=f′(g(x))g′(x). قم بتقييم المشتقة الخارجية عند التعبير الداخلي الفعلي. بالنسبة لعدة دوال متداخلة، اضرب كل عامل لمعدل داخلي. قيود المجال تأتي من كل مرحلة؛ لا يمكن للتعبير المشتق استعادة مدخل محظور في الدالة الأصلية.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لـ z=e^(x²)، لماذا يكون z′(0)=0 رغم أن مشتق الدالة الأسية لا يساوي صفراً أبداً؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
z′=e^(x²)·2x. العامل الخارجي e^(x²) موجب دائماً، لكن المعدل الداخلي 2x ينعدم عند 0، مما يجعل حاصل الضرب صفراً - نقطة مسطحة على المنحنى، وليس فشلاً للقاعدة.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ y=(3x−1)^4، ضع u=3x−1: y′=4u³×3=12(3x−1)³، مما يعطي y′(0)=−12. بالنسبة لـ z=e^(x²)، فإن z′=e^(x²)×2x؛ z′(0)=0 على الرغم من أن مشتقة الدالة الأسية الخارجية لا تساوي صفراً أبداً. بالنسبة لـ w=ln(2x+1)، حيث x>−1/2، فإن w′=2/(2x+1)؛ w′(1)=2/3. بالنسبة لـ r=sin((2x+1)²)، ضع أولاً u=(2x+1)²: r′=cos((2x+1)²)×2(2x+1)×2=4(2x+1)cos((2x+1)²). بالنسبة لـ s=√(5−x²)، المجال الأصلي هو −√5≤x≤√5، لكن s′=−x/√(5−x²) محدودة فقط في الفترة المفتوحة.
قواعد السلسلة للدوال المتداخلة والمدخلات المحدودة
لـ y=f(u) و u=g(x)، dy/dx=f′(g(x))g′(x)
اختر قاعدة الاشتقاق واحفظ كل معامل، معدل داخلي وقيود الإدخال.
لـ (3x−1)^4، أوجد المشتقة عند x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4(−1)³×3=−12.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا تتوقف بعد اشتقاق القوة الخارجية أو الأسية. بالنسبة لـ sin(u²)، يبقى مدخل الجيب كوس u²؛ لا يتم استبداله بـ 2u. ضياع رابط واحد في المشتقة المركبة يفقد عاملاً. يمكن أن تعطي المشتقة الداخلية الصفر المشتقة الكلية الصفرية، لذا فإن القسمة عليه دون فحص قد تفقد حالات صالحة. يمكن للجذر التربيعي أن يوجد عند endpoint دون وجود مشتقة محدودة هناك.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
مشتقة e^(x²) هي e^(x²) بدون عامل معدل داخلي. هذا ادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهكه.
لـ e^(x²)، أوجد المشتقة عند x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المعدل الداخلي هو 2x، وهو صفر عند الصفر.
مشتقة e^(x²) هي e^(x²) بدون عامل معدل داخلي.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
لا تتوقف بعد اشتقاق القوة الخارجية أو الدالة الأسية. بالنسبة لـ sin(u²)، يبقى مدخل جيب التمام u²؛ لا يتم استبداله بـ 2u. فقدان حلقة واحدة في المشتقة المتداخلة يفقد عاملاً. يمكن أن تعطي المشتقة الداخلية الصفر مشتقة كلية صفرية، لذا فإن القسمة عليها دون التحقق قد تفقد حالات صالحة. يمكن أن يوجد الجذر التربيعي عند نقطة طرفية دون وجود مشتقة نهائية هناك.
تفسير موقف جديد
- اعمل من الخارج إلى الداخل وسجّل كل تغيير في المدخل. اضرب العوامل ثم بسّط. بالنسبة لكثيرة حدود قصيرة، يعطي التوسيع تحققًا بديلاً مستقلًا. احتفظ بكل قيد اللوغاريتم/الجذر وفسّر ما إذا كان المعدل الصفري ناتجًا عن الدالة الخارجية، أو المدخل الداخلي، أو كليهما.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
لـ ln(2x+1)، أوجد المشتقة عند x=1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
المعدل الداخلي هو 2؛ 2/(2×1+1)=2/3.
طابق كل دالة مركبة بمشتقتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اخترع الدالة الخارجية عند التعبير الداخلي، ثم اضرب في المشتقة الداخلية؛ السلسلة المتداخلة تضرب كل حلقة.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
المشتقة الخارجية مُقيّمة عند الناتج الداخلي، مضروبة في مشتقة ذلك الإدخال الداخلي. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.