Inverse derivatives at corresponding points
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| inverse derivative/ɪnˈvɜːs dɪˈrɪvətɪv/ | مشتقة الدالة العكسية |
تحويل المعايرة يطوّل الطول إلى قراءة. كيف نعكس معدله المحلي دون أخذ مقلوب نتجه؟
- تحويل المعايرة يطوّل الطول إلى قراءة. كيف نعكس معدله المحلي دون أخذ مقلوب نتجه؟
- تدرس هذه الدرس المشتقة العكسية: معدل التغير في المخرج العكسي بالنسبة إلى مدخله، مُقدَّراً عند النقطة الأصلية المقابلة.
اختر البنية الرياضية
- ليكن f دالة متباينة على فترة معرَّفة وg=f⁻¹. المعادلة f(g(v))=v تُعطي f′(g(v))g′(v)=1. عندما تكون المشتقات موجودة وf′(g(v))≠0، فإن g′(v)=1/f′(g(v)). يُحسب العكسي عند المخرج الأصلي v، وليس تلقائياً عند نفس المدخل الأصلي x. المقلوب 1/f(x) هو دالة مختلفة.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
For f(x)=x²+1 on x≥0, why does g′(10) use f′(3), not f′(10)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The inverse at v=10 corresponds to the original input 3, where f′(3)=6. Using f′(v) directly would give 1/20 - the classic wrong-point error.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل f(x)=x²+1 على x≥0، g(v)=√(v−1)، v≥1. عند v=10، g(10)=3 وf′(3)=6، لذا g′(10)=1/6. على x≤0 الفرع العكسي هو −√(v−1)، مع g(10)=−3 وg′(10)=−1/6. من أجل f=e^x، g=ln v: f′(g(v))=e^(lnv)=v، ومنه g′=1/v من أجل v>0. من أجل f=sin x على −π/2≤x≤π/2، g=arcsin v. داخل −1<v<1, cos(g(v))=√(1−v²)>0، لذا g′=1/√(1−v²). يتبع جيب التمام غير السالب من فرع الجيب المقيد؛ إنه ليس اختياراً عشوائياً للإشارة.
Inverse derivatives at corresponding points
Let f be one-to-one on a stated interval and g=f⁻¹
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
For the positive quadratic branch, find g′(10).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The corresponding positive input is 3 and f′(3)=6, giving 1/6.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا تستبدل مقام النقاط المقابلة f′(g(v)) بـ f′(v). مجرد كون الدالة متباينة لا يضمن وجود ميل عكسي محدود: f=x³ متعاكسة، لكن مشتقتها تساوي صفراً عند الصفر، والجذر التكعيبي لا يمتلك مشتقة محدودة هناك. يمكن أيضاً أن تفتقر نقاط نهاية جذور/عكوس الجيب إلى ميول محدودة. قد تعطي الفروع العكسية المختلفة إشارات مختلفة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
مشتقة الدالة العكسية هي دائماً 1/f′(v)، ومُقدَّرة عند مدخل العكسي v. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.
For g(v)=ln v, find g′(4).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The exponential derivative at ln4 is 4, so its inverse rate is 1/4.
The derivative of an inverse is always 1/f′(v), evaluated at the inverse input v.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not replace the corresponding-point denominator f′(g(v)) by f′(v). One-to-one behaviour alone does not ensure a finite inverse gradient: x³ is invertible, but its derivative is zero at zero and cube root has no finite derivative there. Root/arcsine inverse endpoints can also lack finite gradients. Different inverse branches can give different signs.
تفسير موقف جديد
- قيِّد المجال الأصلي، وأوجد زوج المدخل/المخرج العكسي، واشتق f وقم بتقييم مشتقتها عند المدخل الأصلي المسترد. ثم خذ المقلوب فقط إذا كان هذا الميل المحدود لا يساوي صفراً. قم بتبديل وحدات الأفقي والعمودي لمعدل العكسي. تحقق من النتيجة عن طريق اشتقاق دالة عكسية صريحة إن وجدت.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
For the negative quadratic branch, find g′(10).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The corresponding negative input is −3 and f′(−3)=−6, giving −1/6.
Match each inverse-derivative fact to its statement.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Different branches give different signs: on x≤0 the same v=10 corresponds to -3 and g′(10)=-1/6.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
معدل التغير في المخرج العكسي بالنسبة إلى مدخله، مُقدَّراً عند النقطة الأصلية المقابلة. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.