Connected rates, geometry and time units
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| connected rates/kəˈnektɪd reɪts/ | المعدلات المرتبطة |
جسم كروي يزيد حجمه بمعدل ثابت. هل يزداد نصف قطره بمعدل ثابت أيضاً؟
- جسم كروي يزيد حجمه بمعدل ثابت. هل يزداد نصف قطره بمعدل ثابت أيضاً؟
- تدرس هذه الدرس المعدلات المرتبطة: معدلات مرتبطة بعلاقة بين كميات تتغير مع نفس المتغير الزمني.
اختر البنية الرياضية
- إذا كانت y=f(x) وx تتغير مع الزمن t، فإن dy/dt=(dy/dx)(dx/dt). اشتق علاقة بين الكميات المتغيرة بالنسبة للزمن، ثم عوض بالقيم المقاسة عند تلك اللحظة. احتفظ بمتغير الزمن وإشارة كل معدل ووحداته. بالنسبة لكرة V=(4/3)πr³ وA=4πr²، فإن dV/dt=4πr² dr/dt وdA/dt=8πr dr/dt.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why must the radius NOT be substituted into V=(4/3)πr³ before differentiating with respect to time?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The relation must be differentiated WHILE r is still a function of t. Differentiate first, then substitute the instant’s values: at r=3 with dV/dt=18π, dr/dt=18π/(36π)=1/2 cm/s.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
كرة نصف قطرها 3 سم وتكتسب حجماً بمعدل 18π سم³/ثانية. معدل نصف القطر اللحظي هو 18π/(4π×9)=1/2 سم/ثانية، ومعدل مساحة السطح هو 8π×3×(1/2)=12π سم²/ثانية. هذا معدل محلي؛ مع نمو r، نفس معدل الحجم يعطي معدل نصف قطر أصغر. في وعاء مخروطي يكون نصف قطره الكامل نصف ارتفاعه الكامل، يعطي التشابه r=h/2 عند كل مستوى ماء. إذن V=πh³/12 وdV/dt=(πh²/4)dh/dt. عند h=4 سم وتدفق ⟨8π سم³/ثانية⟩، dh/dt=2 سم/ثانية. من أجل سلم ثابت طوله 5 م، x²+y²=25؛ عند (x,y)=(3,4) م وdx/dt=0.2 م/ثانية، dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15 م/ثانية: الجزء العلوي ينزل.
Connected rates, geometry and time units
If y=f(x) and x varies with time t, dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)
Identify the appropriate changing variable and validate the derivative denominator or local branch.
Find the worked sphere radius rate in cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Divide 18π by 4π×3² to obtain 1/2.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا تعوض بنصف القطر الحالي أو الارتفاع قبل الاشتقاق: ذلك سيحول العلاقة بشكل خاطئ إلى قيمة ثابتة. dV/dt ليست dV/dr. يجب أن يتبع نصف قطر المخروط المتغير علاقة التشابه، ولا يبقى ثابتاً عند قيمته الحالية. حوّل معدل التدفق الداخل لكل دقيقة إلى معدل لكل ثانية قبل دمجه مع بيانات ثوانٍ. المعدل السالب يعني النقصان، وليس طولاً سالباً.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
أدخل نصف قطر مقاس في صيغة الحجم قبل اشتقاقه بالنسبة للزمن. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.
Find the worked cone height rate in cm/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Similarity gives dV/dh=πh²/4; at h=4 divide 8π by 4π to obtain 2.
Substitute a measured radius into the volume formula before differentiating it with respect to time.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not substitute the current radius or height before differentiating: that would falsely turn the relation into a constant. dV/dt is not dV/dr. A changing cone radius must follow the similarity relation, not stay fixed at its current value. Convert a per-minute inflow to a per-second rate before combining it with second-based data. Negative rate means decrease, not a negative length.
تفسير موقف جديد
- ارسم الهندسة، حدد الثوابت وبيّن وحدات الزمن/القياس الصالحة. أزل متغيراً متغيراً زائداً باستخدام التشابه أو قيد ما، ثم اشتق. استخدم القيم لنفس اللحظة وصوِّب اتجاه نتيجة الوصف. القياسات الفيزيائية، مثل طول سلم ثابت أو كرة حقيقية، تقيد النموذج؛ قد لا تبقى المعدلات ثابتة بعد تلك اللحظة.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find the ladder top rate in m/s.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Differentiate the fixed ladder constraint: dy/dt=−(3/4)×0.2=−0.15.
Match each connected-rates step to its purpose.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Signs carry direction - a negative dy/dt means the ladder top descends - and every rate must share the same time unit before combining.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
معدلات مرتبطة بعلاقة بين كميات تتغير مع نفس المتغير الزمني. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.