المشتقات الضمنية الأولى ومجالات المماس
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| implicit relation/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃn/ | العلاقة الضمنية |
الدائرة لها فرع علوي وفرع سفلي. كيف يمكننا إيجاد ميل المماس دون اللجوء أولاً إلى حساب الجذر التربيعي؟
- الدائرة لها فرع علوي وفرع سفلي. كيف يمكننا إيجاد ميل المماس دون اللجوء أولاً إلى حساب الجذر التربيعي؟
- تدرس هذه الدرس العلاقة الضمنية: معادلة تربط بين x و y دون عزل أحدهما كدالة صريحة للآخر.
اختر البنية الرياضية
- تعامل مع y على أنها دالة محلية قابلة للاشتقاق بالنسبة لـ x. اشتق العلاقة بأكملها بالنسبة لـ x: فإن دالة تعتمد على y ستضيف عاملاً dy/dx وفقاً لقاعدة السلسلة. اجمع الحدود التي تحتوي على dy/dx وحل عندما يكون معاملها غير صفري. إذا أصبحت العلاقة المشتقة A(x,y)+B(x,y)y′=0، فإن y′=−A/B حيث B≠0؛ ينتمي الميل إلى فرع محلي مختار.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
بالنسبة لمعادلة x²+y²=25، لماذا ينتج اشتقاق y² 2y dy/dx بدلاً من 2y؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الاشتقاق الضمني يعامل y كـ y(x): d(y²)/dx=2y·y′. إن إهمال العامل يؤدي لفقد المجهول الذي نبحث عنه؛ وعند تجميع حدود y′ نحصل على y′=-x/y.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل x²+y²=25، اشتق لتصبح 2x+2y y′=0، ومنه y′=−x/y من أجل y≠0. عند (3,4)، ميل المماس هو −3/4 وy−4=−(3/4)(x−3)؛ ميل العمودي هو 4/3. عند (5,0) المماس عمودي، x=5، ولا يوجد dy/dx محدود. من أجل x²+xy+y²=7، اشتق حاصل الضرب xy ليصبح y+x y′. إذن 2x+y+(x+2y)y′=0، لذا y′=−(2x+y)/(x+2y). عند (1,2)، الذي يحقق العلاقة، الميل هو −4/5. من أجل e^y+x=3، e^y y′+1=0، مما يعطي y′=−e^(−y)؛ عند (2,0) الميل هو −1.
المشتقات الضمنية الأولى ومجالات المماس
عامل y كدالة محلية قابلة للاشتقاق بالنسبة لـ x
حدد المتغير المتغير المناسب وصادق مقام المشتقة أو الفرع المحلي.
بالنسبة للدائرة عند النقطة (3,4)، أوجد dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
مشتقة الدائرة هي −x/y؛ عند النقطة (3,4) تكون −3/4.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- اشتقاق y² يعطي 2y y′، وليس 2y أو 2(y′)². حاصل الضرب xy يتطلب كل من y و x y′. تأكد من أن نقطة معطاة تقع على العلاقة الأصلية قبل تحديد مماسها. قد يشير المقام الصفري إلى مماس عمودي أو نقطة مفردة؛ لا يمكن للكسر وحده تصنيف كل الحالات. على سبيل المثال، x²+y²=0 له نقطة حقيقية معزولة واحدة فقط، وليس دائرة ناعمة المماس.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
الاشتقاق بالنسبة لـ y² مقابل x يعطي 2y بدون عامل dy/dx. هذا الادعاء خاطئ. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
بالنسبة للمعادلة x²+xy+y²=7 عند النقطة (1,2)، أوجد dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
اجمع الحدود لتصبح (x+2y)y′=−(2x+y)؛ تعطي النقطة القيمة −4/5.
الاشتقاق الخاص بـ y² بالنسبة لـ x يعطي 2y بدون عامل dy/dx.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تفاضل y² يعطي 2y y′، وليس 2y أو 2(y′)². حاصل ضرب xy يتطلب كلًا من y و x y′. تحقق من أن نقطة معطاة تقع على العلاقة الأصلية قبل تعيين مماسها. قد يشير المقام الصفري إلى مماس رأسي أو نقطة مفردة؛ لا يمكن للكسر وحده تصنيف كل حالة. على سبيل المثال، x²+y²=0 له نقطة حقيقية معزولة واحدة فقط، وليس دائرة ناعمة ذات مماس.
تفسير موقف جديد
- اشتق كل حد، احتفظ بجميع عوامل السلسلة والجداء، اجمع حدود y′ وأشر إلى شرط المقام الناتج. قيّم عند النقطة الأصلية واستخدم صيغة النقطة-الميل للمماس. المماس الأفقي له ميل محدود صفري وناظم عمودي؛ المماس العمودي يحتاج معادلته الخاصة. تستخدم هذه الدرس المشتقات الأولى فقط، بما يتوافق مع G5.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
بالنسبة للمعادلة e^y+x=3 عند النقطة (2,0)، أوجد dy/dx.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
e^y y′=−1؛ عند y=0 تعطي هذه القيمة −1.
طابق كل حالة لاشتقاق ضمني مع نتيجتها.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تحقق أولاً من أن النقطة تقع على العلاقة؛ فإن الصفر في المقام يشير إلى مماس عمودي أو نقطة مفردة، وليس ميلاً محدوداً.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
معادلة تربط بين x و y دون عزل أحدهما كدالة صريحة للآخر. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.