مشتقات الجيب وتكامل جيب التمام من المبادئ الأولى
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| radian limit/ˈreɪdɪən ˈlɪmɪt/ | نهاية الراديان |
نقطة دوارة لها إحداثيات جيب وجيب تمام. كيف تؤدي تغيرات الإحداثيات الصغيرة منها إلى صيغ اشتقاق دقيقة؟
- نقطة دوارة لها إحداثيات جيب وجيب تمام. كيف تؤدي تغيرات الإحداثيات الصغيرة منها إلى صيغ اشتقاق دقيقة؟
- تدرس هذه الدرس نهاية الراديان: نهاية زاوية صغيرة تُستخدم مع الزوايا المقاسة بالراديان.
اختر البنية الرياضية
- بالراديان، يؤول sin h/h إلى 1 ويؤول (cos h−1)/h إلى 0 عندما يؤول h إلى الصفر. باستخدام صيغ جمع الزوايا في مقدار الفرق نحصل على d(sin x)/dx=cos x وd(cos x)/dx=−sin x. تحدد هذه النهايات ميول المماس؛ وتتطلب مدخلات بالراديان.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
لماذا تتطلب صيغ المشتقة لـ sin و cos استخدام الراديان؟
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
الحد الهندسي sin h<h<tan h هو عبارة عن بيان حول أطوال الأقواس بالراديان. بالدرجات، يكون الحد π/180، وتكتسب كل مشتقة هذا العامل.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ sin x، [sin(x+h)−sin x]/h = sin x[(cos h−1)/h]+cos x[sin h/h]، وتؤول إلى cos x. أما بالنسبة لـ cos x، فالناتج هو cos x[(cos h−1)/h]−sin x[sin h/h]، وتؤول إلى −sin x. بالقرب من الصفر، تحدد متباينة دائرة الوحدة sin h<h<tan h للقيم 0<h<π/2 قيمة sin h/h بين cos h و1؛ ولـ h السالبة يكون نفس النسبة. أيضًا (cos h−1)/h = −2sin²(h/2)/h تؤول إلى الصفر، باستخدام sin(h/2)/(h/2)→1. عند x=π/6، ميل الجيب هو √3/2 وميل جيب التمام هو −1/2. بالنسبة للجيب عند x=0، تعطي h=0.1 قيمة sin(0.1)/0.1≈0.998334؛ وعند h=−0.1 تكون النسبة مطابقة.
مشتقات الجيب وتكامل جيب التمام من المبادئ الأولى
بالراديان، يميل sin(h)/h إلى 1 ويائل (cos(h)−1)/h إلى 0 عندما h تؤول إلى الصفر.
ربط حساب المشتق بحدودها أو تفسير إشارتها كميل.
أوجد المشتقة ل sin x عند x=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
إثبات الجيب يعطي cos0=1.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- تقريب زاوية صغيرة ليس مساواة محدودة دقيقة لـ h. مشتقة الجيب التمام تحمل إشارة سالبة. إذا كان المتغير θ مقاساً بالدرجات، فإن d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180)؛ لا يمكن نسخ صيغة الراديان بدون ذلك العامل. لا تستخدم صيغة المشتقة ذاتها لإثبات النهاية الابتدائية.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
مشتقة cos x هي sin x موجبة عندما تكون x بالدرجات الراديانية. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
أوجد المشتقة ل cos x عند x=π/2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
إثبات جيب التمام يعطي −sin(π/2)=−1.
مشتقة cos(x) هي +sin(x) عندما تكون x بالراديان.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
تقريب الزاوية الصغيرة ليس مساواة دالة نهائية دقيقة. مشتقة جيب التمام تحمل إشارة سالبة. إذا تم قياس المتغير θ بالدرجات، فإن d sin(πθ/180)/dθ=(π/180)cos(πθ/180); لا يمكن نسخ صيغة الراديان دون هذا العامل. لا تستخدم صيغة المشتقة نفسها لإثبات النهاية الأولية.
تفسير موقف جديد
- ابدأ بالكسر الفرق الأصلي واستخدم إضافة الزوايا قبل تطبيق نهايتي الراديان. احتفظ بعوامل sin x/cos x الثابتة وإشاراتها. تحقق من الميول عند النقاط الدقيقة مقابل ما إذا كان الرسم البياني يتصاعداً أو هابطاً؛ ينطبق الإثبات على أي راديان حقيقي x، ليس فقط بالقرب من x=0.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
أوجد المشتقة ل sin x عند x=π.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
تُظهر برهان الجيب أن cos(π) = −1.
طابق كل حد بالراديان مع قيمته عندما h→0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
مقدار الفرق للجايب ينقسم إلى cos x·(sin h/h)+sin x·((cos h-1)/h)، والمشتقانان يعطيان cos x.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · G. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
حد زاوية صغيرة يُستخدم مع الزوايا المقاسة بالراديان. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.