Shifted circles, chords and tangents
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | المركز |
أين يتخفى المركز في معادلة الدائرة الموسعة؟
- قد تخفي معادلة الدائرة الموسعة مركزها ونصف قطرها. إكمال المربع يكشف الهندسة اللازمة لحساب وتر أو مماس.
- تدرس هذه الدرس المركز: النقطة التي تبعد مسافة متساوية عن كل نقطة على الدائرة.
اختر البنية الرياضية
- أعد كتابة الدائرة كـ (x−a)²+(y−b)²=r² بإكمال المربعين. العمود النازل من المركز ينصف الوتر، لذا يتبع طول نصف الوتر من مثلث قائم الزاوية. المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التلامس. الزاوية المحصورة بقطر عند المحيط تساوي 90°.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
For x²+y²-4x+2y-20=0, why is the centre (2,-1) rather than (-4,2)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Halve the linear coefficients to complete each square: (x-2)² and (y+1)². The centre reads (2,-1) - the bracket constants carry reversed signs - and the radius² is 20+4+1=25.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
من أجل x²+y²−4x+2y−20=0، إعطاء إكمال المربعات (x−2)²+(y+1)²=25: المركز (2،−1)، نصف القطر 5. الوتر y=2 يقع على مسافة 3 وحدة فوق المركز؛ نصف طوله هو √(25−9)=4، لذا النقاط النهائية هي (−2,2،6,2) والطول 8. عند P(5,3)، ميل نصف القطر هو 4/3، مما يعطي المماس y−3=−3(x−5)/4 أو 3x+4y=27. من أجل نقاط طرفي القطر A(−3،−1)، B(7،−1) ونقطة محيطية T(2,4)، الأميلات AT=1 و BT=−1 تؤكد أن زاوية ATB=90°.
Shifted circles, chords and tangents
Rewrite a circle as (x−a)²+(y−b)²=r² by completing both squares
Match each coordinate calculation to its geometric or contextual condition.
Find the radius of x²+y²−4x+2y−20=0.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The completed equation has r²=4+1+20=25, hence r=5.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- إضافة ثابت لإكمال المربع تتطلب تعديل الطرف الآخر أيضاً. إشارات مركز الدائرة معاكسة لإشارات ثوابت الأقواس. يجب أن تقع نقطة المماس المقترحة على الدائرة؛ ولا يكفي مجرد وجود عمودية عند نقطة غير ذات صلة.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
أي خط عمودي على أي نصف قطر يُعتبر تلقائياً مماساً، أينما عبر المستوى. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض يخالفه.
Find the length of its chord y=2.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Half-length=√(25−3²)=4, so full chord length is 8.
A line perpendicular to any radius is automatically a tangent, wherever it crosses the plane.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Completing a square adds a constant: adjust the other side too. The circle’s centre has the opposite signs to the bracket constants. A proposed tangent point must lie on the circle; perpendicularity alone at an unrelated point is insufficient.
تفسير موقف جديد
- تحقق من مسافة نصف القطر لكل نقطة تلامس وكلا طرفي الوتر. إذا كانت r² سالبة بعد الإكمال، فلا توجد دائرة حقيقية، بينما r²=0 تعطي نقطة واحدة بدلاً من دائرة غير متدهورة. تعامل مع نصف القطر الأفقي أو الرأسي دون القسمة على صفر.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
At P(5,3), find c in the tangent equation 3x+4y=c.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At P, c=3×5+4×3=27.
Match each circle property to its consequence.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Half-chord length comes from the right triangle with the radius as hypotenuse; a tangent must be checked to touch the circle AT its stated point.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · A-level · C. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
النقطة التي تبعد مسافة متساوية عن كل نقطة على الدائرة. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.