Repeated linear factors in partial fractions
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | عامل مكرر |
لماذا يحتاج العامل المربع إلى حدّين؟
- العامل المربع يحتاج إلى حدين منفصلين. الاحتفاظ بالحد المربع فقط قد يترك عددًا قليلاً جدًا من المعاملات لإعادة إنتاج البسط.
- تدرس هذه الدرس العامل المكرر: وهو عامل في المقام يظهر أكثر من مرة، ويتطلب حدًا لكل قوة.
اختر البنية الرياضية
- للعامل المكرر (x+a)²، يتضمن A/(x+a)+B/(x+a)². مع عامل مميز x+b، أضف C/(x+b). أزل المقامات، وأوجد معاملات مناسبة واستخدم إدخالًا آخر أو مقارنة معاملات للجهول المتبقي.
- حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.
Why does (x+1)²(x+2) need BOTH A/(x+1) and B/(x+1)², not just one of them?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
With only B/(x+1)²+C/(x+2), clearing denominators cannot match every coefficient. The full set A/(x+1)+B/(x+1)²+C/(x+2) makes 2x+3=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)² solvable: B=1, C=-1, A=1.
اعمل على حالة تم فحصها
- تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.
بالنسبة لـ (2x+3)/[(x+1)²(x+2)]، المتطابقة هي 2x+3=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1)². عند x=−1، B=1. عند x=−2، C=−1. معامل x² يعطي A+C=0، وبالتالي A=1. النتيجة هي 1/(x+1)+1/(x+1)²−1/(x+2)، مع x≠−1, −2. عند x=0 كلا الطرفين يساوي 3/2؛ إعادة الدمج تعطي البسط 2x+3 لكل x مسموح به.
Repeated linear factors in partial fractions
For a repeated factor (x+a)², include A/(x+a)+B/(x+a)²
Classify the algebraic steps and identify the identity or domain condition behind each decision.
Find B, the squared-factor coefficient in the worked decomposition.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At x=−1 in the identity, 1=B.
اختبر طريقة مختصرة مغرية
- لا تتجاهل الحد من الدرجة الأولى ولا تضع Ax+B فوق كل عامل خطي. الاتفاق الرقمي عند نقطة واحدة هو مجرد تحقق، وليس إثبات متطابقة. احتفظ بالمربع على مقامه الخاص.
- عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.
لكل مقام (x+1)²(x+2)، يكون حد واحد على (x+1)² وواحد على x+2 كافياً دائماً. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.
Find C, the coefficient of 1/(x+2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
At x=−2, −1=C.
For every denominator (x+1)²(x+2), one term over (x+1)² and one over x+2 are always enough.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Do not omit the first-power term or place Ax+B over each linear factor. A numerical agreement at one point is only a check, not an identity proof. Keep the square on its own denominator.
تفسير موقف جديد
- 7357 يسمح بالعوامل الخطية المربعة وما يصل إلى ثلاثة حدود من الكسور الجزئية. تحقق من جميع معاملات البسط بعد إعادة الدمج. القوى الأعلى والعوامل التربيعية غير القابلة للتجزئة خارج نطاق منهج هذه الدرس.
- الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.
Find A, the coefficient of 1/(x+1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
The x² coefficient gives 0=A+C; since C=−1, A=1.
Match each denominator factor to its partial-fraction terms.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Each power of a repeated factor gets its own constant numerator; a linear Ax+B belongs over an irreducible QUADRATIC, not here.
استخدم هذا في مسارك الدراسي
- 7357 · مستوى A · B. طابق المستوى المستهدف والمواصفات قبل تعيين الامتدادات.
- قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.
عامل في المقام يظهر أكثر من مرة، ويتطلب حدًا لكل قوة. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وفسر النتيجة.