Física do A-Level

Uma grandeza física 物理量 tem duas partes: um número (sua magnitude 大小) e uma unidade 单位. O número sozinho não diz nada. Você também deve dizer o que é medido e em qual unidade.

Exemplo: "o comprimento é 1.5" não está completo. "O comprimento é 1.5 m" é uma grandeza física.

Fazendo estimativas

Você deve ser capaz de estimar 估算 o tamanho das grandezas físicas neste programa. A Prova 1 geralmente abre com uma questão assim. Aprenda esses valores aproximados:

• massa 质量 de um ser humano adulto: $\sim 70\ \text{kg}$; de um carro: $\sim 1000\ \text{kg}$; de uma maçã: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• peso 重力 de um ser humano adulto: $\sim 700\ \text{N}$; de uma maçã: $\sim 1\ \text{N}$
• altura de um ser humano adulto: $\sim 1.7\ \text{m}$; altura de uma sala: $\sim 3\ \text{m}$
• velocidade de caminhada: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; um carro em uma rodovia rápida: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• velocidade do som no ar: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; velocidade da luz no vácuo 真空: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• aceleração 加速度 de queda livre 自由落体: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• densidade 密度 da água: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; do ar: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; do aço: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• pressão atmosférica 大气压强: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• temperatura ambiente: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• potência de uma chaleira: $\sim 2\ \text{kW}$; de uma pessoa subindo escadas: $\sim 300\ \text{W}$
• comprimento de onda da luz visível: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; diâmetro de um átomo: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; de um núcleo: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Uma boa estimativa tem a ordem de grandeza 数量级 (a potência de dez correta). Para um ser humano, 70 kg é um bom palpite; 7 kg não é.

Para estimar uma quantidade que não está na lista, construa-a a partir das que estão. A energia cinética de um carro em movimento é $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. A pressão sob uma pessoa em pé é $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Sempre verifique se a potência de dez parece sensata antes de prosseguir.

Unidades base

O sistema SI possui sete quantidades básicas 基本量; cinco delas são usadas neste tópico. Você deve conhecer essas cinco e suas unidades:

• massa — quilograma, $\text{kg}$
• comprimento 长度 — metro, $\text{m}$
• tempo — segundo, $\text{s}$
• corrente elétrica 电流 — ampere 安培, $\text{A}$
• temperatura 温度 — kelvin 开尔文, $\text{K}$

Toda outra unidade neste programa é derivada dessas cinco.

Unidades derivadas

Uma unidade derivada 导出单位 é feita multiplicando ou dividindo unidades base. Você deve ser capaz de escrever qualquer quantidade deste programa em unidades base.

Construa uma unidade derivada a partir da equação que a define:

• velocidade 速率 = distância / tempo, então sua unidade é $\text{m s}^{-1}$
• aceleração = variação de velocidade vetorial 速度 / tempo, então sua unidade é $\text{m s}^{-2}$
• força 力 = massa × aceleração, então sua unidade é $\text{kg m s}^{-2}$. O newton 牛顿 é $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• trabalho 功 e energia 能量 = força × distância, então a unidade é $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. O joule 焦耳 é $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• potência 功率 = energia / tempo, portanto a unidade é $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. O watt 瓦特 é $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• pressão 压强 e tensão mecânica 应力 = força / área, então a unidade é $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. O pascal 帕斯卡 é $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Quando uma questão pede as unidades SI base de uma quantidade, substitua cada unidade nomeada por suas unidades base e simplifique. Exemplo: as unidades SI base do watt são $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Verificando se as unidades correspondem

Uma equação é homogênea 量dimensionalmente quando ambos os lados têm as mesmas unidades base. Em termos simples: as unidades em ambos os lados correspondem.

Escreva cada lado em unidades base e compare. Pegue a equação $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• lado esquerdo: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado direito, primeiro termo: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• lado direito, segundo termo: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Ambos os lados resultam em $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, então as unidades correspondem.

Cuidado: unidades correspondentes não provam que toda a equação está correta. Ela ainda pode ter um número errado ou um fator 2 ausente. Mas se as unidades não correspondem, a equação está errada com certeza.

Exemplo resolvido. A força de arrasto em uma bola caindo é dada por $F = kv^{2}$, onde $v$ é a velocidade. Encontre as unidades SI base da constante $k$.

Reorganize: $k = F / v^{2}$. Em unidades base, $F$ é $\text{kg m s}^{-2}$ e $v^{2}$ é $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, portanto

Uma questão de múltipla escolha frequentemente pergunta "qual equação poderia estar correta?". Verifique as unidades base de cada opção; apenas uma equação homogênea pode estar correta. Um número puro (como 2, $\pi$ ou $\tfrac{1}{2}$) não tem unidade, então nunca altera a verificação.

Prefixos

Um prefixo 词头 é uma letra colocada à frente de uma unidade para torná-la maior ou menor em potências de dez. Você deve conhecer estes:

Para converter uma unidade com prefixo em unidades base, substitua o prefixo pelo seu fator e simplifique. Exemplo: converta $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ em $\text{N m}^{-2}$:

Tenha cuidado especial com unidades elevadas ao quadrado como $\text{mm}^{2}$: você deve elevar também o fator ao quadrado.

Toda medida 测量 possui alguma incerteza 不确定度 — nunca temos certeza total do valor. Um bom experimentador sabe de onde vem a incerteza, faz uma estimativa justa dela e a propaga até a resposta final.

Erros sistemáticos e aleatórios

Um erro sistemático 系统误差 altera todas as leituras pela mesma quantidade, na mesma direção. Você não pode encontrá-lo repetindo a medição. Causas comuns:

• um erro de zero 零点误差 (a escala não lê zero quando o valor verdadeiro é zero)
• um erro de calibração 校准 (a própria escala está errada)
• paralaxe 视差 (seu olho está sempre de um lado da escala)

Um erro sistemático piora a precisão 准确度, mas não altera a exatidão 精密度.

Um erro aleatório 随机误差 faz as leituras oscilar acima e abaixo do valor verdadeiro, sem padrão. Causas incluem quão cuidadosamente você lê a escala, condições variáveis e o menor passo que o instrumento 仪器 pode mostrar. Se repetir a medição muitas vezes e tirar a média 平均值 (o average), erros aleatórios se cancelam parcialmente.

Um erro aleatório piora a exatidão. Mas com repetições suficientes, a média ainda pode ser precisa.

Em um gráfico, os dois erros parecem diferentes. Um erro sistemático move todos os pontos pela mesma quantidade, então a reta de melhor ajuste mantém sua inclinação, mas já não passa pela origem: o intercepto 截距 muda. Erros aleatórios dispersam os pontos acima e abaixo da reta; uma reta de melhor ajuste desenhada pelo meio da dispersão ainda dá uma inclinação confiável.

Precisão e exatidão

Precisão é o quão próximas as leituras repetidas são entre si. Leituras precisas estão agrupadas muito juntas.

Exatidão é o quão próximo uma leitura (ou a média de várias leituras) está do valor verdadeiro.

Um conjunto de leituras pode ser:

• preciso e exato — juntos e perto do valor verdadeiro
• preciso mas não exato — juntos, mas longe do valor verdadeiro (um erro sistemático)
• exato mas não preciso — espalhados, mas a média é próxima do valor verdadeiro
• nem — espalhados e longe do valor verdadeiro

Quando uma questão fornece uma tabela de leituras repetidas, observe a dispersão (precisão) e a média (exatidão) separadamente.

Estimando a incerteza em uma leitura

Antes de combinar as incertezas, você precisa definir uma incerteza razoável para cada leitura bruta:

• Uma única leitura em uma escala analógica: metade da menor divisão 分度 (uma régua métrica lê até $1\ \text{mm}$, então uma leitura é $\pm 0.5\ \text{mm}$). Um comprimento exige duas leituras, uma em cada extremidade, portanto sua incerteza é $\pm 1\ \text{mm}$.
• Um medidor digital: $\pm 1$ no último dígito mostrado (um cronômetro mostrando $2.47\ \text{s}$ tem $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Uma medição cronometrada manualmente: sua tempo de reação 反应时间 importa mais que o visor. Permita cerca de $\pm 0.1$ a $0.2\ \text{s}$, e meça várias oscilações em vez de uma, para que a mesma incerteza seja compartilhada entre todas elas.
• Leituras repetidas: a incerteza é metade da amplitude 极差的一半. Três tempos de $2.42$, $2.48$ e $2.45\ \text{s}$ têm uma média de $2.45\ \text{s}$ e uma amplitude de $0.06\ \text{s}$, logo a incerteza é $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Seja honesto. Se a borda de uma sombra é difícil de ver, a incerteza em sua posição é de vários milímetros, independentemente de quão fina seja a escala. Os examinadores não aceitam "a menor divisão" como a incerteza de uma leitura difícil.

Incerteza em uma quantidade derivada

Uma medição geralmente é escrita como $x \pm \Delta x$. Aqui $\Delta x$ é a incerteza absoluta 绝对不确定度. A incerteza percentual 百分比不确定度 é

Uma quantidade derivada 导出量 é aquela calculada a partir de valores medidos. Sua incerteza é encontrada por regras simples:

• Somar ou subtrair — some as incertezas absolutas. Se $y = a + b$ ou $y = a - b$, então $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Multiplicar ou dividir — some as incertezas percentuais. Se $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, então
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Potências — multiplique a incerteza percentual pela potência. Se $y = a^{n}$, então $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Exemplo resolvido. O diâmetro 直径 de uma bola é medido como $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. O volume 体积 de uma esfera é $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, logo $V \propto d^{3}$ ($V$ depende de $d$ ao cubo).

A incerteza percentual em $d$ é

Como $V \propto d^{3}$, a incerteza percentual em $V$ é três vezes essa, cerca de $1.14\%$. O volume é $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Portanto, a incerteza absoluta é $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. A resposta final é $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Dois valores concordam? Questões práticas frequentemente pedem se dois valores calculados de uma constante apoiam uma relação sugerida. Não diga apenas "eles são próximos". Calcule a diferença percentual 百分比差异 entre eles,

e compare com a incerteza percentual em $k$ (ou com o critério dado pela questão, frequentemente 10%). Se a diferença for menor, os dois valores concordam dentro da incerteza e a relação é apoiada. Se for maior, eles não concordam.

Algarismos significativos

Ao escrever uma quantidade calculada, dê a ela o mesmo número de algarismos significativos 有效数字 que a medida menos precisa que você usou — geralmente dois ou três neste programa. Muitos algarismos significativos fazem a resposta parecer mais exata do que realmente é. Poucos perdem informações úteis.

Provas práticas pedem que você justifique o número escolhido. Nomeie as leituras brutas: "$a$ foi dado com 2 algarismos significativos porque $L$ e $t$ foram medidos cada um com 2 algarismos significativos." A frase "por causa dos dados brutos" sozinha não garante a nota. Em uma tabela de resultados, avalie cada linha pela leitura bruta menos precisa naquela linha; não force todas as linhas a terem o mesmo número de algarismos.

Incertezas em gráficos

O Paper 5 pede para propagar incertezas através de um gráfico:

• Plote cada ponto com uma barra de erro 误差棒 cujo comprimento mostra a incerteza absoluta naquele valor.
• Desenhe a reta de melhor ajuste 最佳拟合直线 pelos pontos, depois a pior reta aceitável 最差可接受直线: a reta mais íngreme (ou mais rasa) que ainda passa por todas as barras de erro.
• A incerteza na inclinação é a diferença entre as duas inclinações, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. A incerteza no intercepto é encontrada da mesma forma.
• Ao plotar um logaritmo, a incerteza absoluta em $\ln x$ é $\Delta x / x$ (e em $\lg x$ é $0.434\,\Delta x / x$). Calcule para os maiores e menores valores de $x$ separadamente.

Uma incerteza percentual na inclinação então flui para qualquer quantidade calculada a partir dela, usando as regras acima.

*Resolução de uma força em componentes

Um escalar 标量 tem apenas magnitude. Um vetor 矢量 tem magnitude e direção.

Exemplos do programa:

• escalares: massa, tempo, temperatura, energia, trabalho, potência, distância, velocidade escalar, pressão, densidade, carga elétrica 电荷
• vetores: deslocamento 位移, velocidade, aceleração, força (incluindo peso), momento linear 动量

Teste rápido: se faz sentido perguntar "em qual direção?", a quantidade é um vetor. Você não pode perguntar "em qual direção está a temperatura?", logo temperatura é escalar. Você pode perguntar "em qual direção está a velocidade?", logo velocidade é vetor.

Somando e subtraindo vetores

Um vetor é desenhado como uma seta: a direção da seta dá a direção da quantidade, e o comprimento da seta (desenhado em escala) dá a magnitude.

*Vetores representados como setas desenhadas em escala

Para somar dois vetores coplanares 共面 (vetores no mesmo plano), desenhe-os ponta a cauda. O vetor resultante 合矢量 vai da cauda da primeira seta à ponta da segunda.

Para encontrar $\vec{X} - \vec{Y}$, adicione o reverso de $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. O reverso de $\vec{Y}$ tem o mesmo tamanho que $\vec{Y}$, mas aponta na direção oposta.

*Somando e subtraindo vetores paralelos

Se os dois vetores estiverem em ângulo reto (90°), o tamanho do resultante é

e sua direção vem de $\tan\theta = Y / X$.

Exemplo resolvido. Um nadador navega para norte a $1.2\ \text{m s}^{-1}$ através de um rio que flui para este a $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a magnitude e a direção da velocidade resultante.

As duas velocidades são perpendiculares, logo

em um ângulo $\tan\theta = 0.5/1.2$, dando $\theta \approx 23°$ leste do norte.

*Dois vetores perpendiculares somam-se a um resultante de tamanho $\sqrt{X^2+Y^2}$ em um ângulo $\theta$

Se dois vetores têm o mesmo tamanho $F$ com um ângulo $2\alpha$ entre eles, a resultante tem tamanho $2F\cos\alpha$ e está ao longo da linha que divide o ângulo ao meio.

Exemplo resolvido. Duas forças de $6.0\ \text{N}$ atuam sobre um objeto com $60°$ entre elas. Encontre o resultante.

Aqui $2\alpha = 60°$, logo $\alpha = 30°$ e $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, ao longo da linha entre as duas forças. A resolução dá a mesma resposta: cada força tem um componente $6.0\cos 30°$ ao longo dessa linha, e seus componentes perpendiculares a ela se cancelam.

Para dois vetores em qualquer outro ângulo, faça um desenho em escala 按比例作图 do triângulo de vetores e meça o resultante, ou resolva ambos os vetores em componentes perpendiculares, some os componentes e recombine com $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Exemplo resolvido. Uma bola movendo-se para leste a $5.0\ \text{m s}^{-1}$ é atingida de modo a mover-se para norte a $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Encontre sua mudança de velocidade.

Uma mudança de velocidade é uma subtração vetorial: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Desenhe $5.0\ \text{m s}^{-1}$ norte, então adicione o inverso da velocidade inicial, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ oeste. As duas são perpendiculares, logo $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, apontando noroeste. A velocidade escalar não mudou, mas a velocidade vetorial sim. É por isso que uma força deve ter agido sobre a bola (tópico 3).

Dividindo um vetor em partes perpendiculares

Qualquer vetor pode ser dividido em duas componentes perpendiculares 垂直 (em ângulo reto). Geralmente são horizontal 水平 e vertical 竖直, ou ao longo e transversalmente a uma superfície. Para um vetor $\vec{v}$ em um ângulo $\theta$ em relação à horizontal:

*Resolvendo um vetor em componentes horizontal e vertical

Escolha as direções que tornarem o problema mais fácil. Em uma rampa (um plano inclinado 斜面), divida o peso em uma parte ao longo da rampa e uma parte perpendicular a ela:

onde $\theta$ é o ângulo da rampa em relação à horizontal.

Você decompõe um vetor em componentes sempre que precisar saber quanto dele atua em uma determinada direção. Por exemplo: a parte de uma força que age ao longo de uma inclinação, ou as partes horizontal e vertical da velocidade de uma bola após ser lançada.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Dê a cada resposta uma unidade, e verifique a homogeneidade — ambos os lados de uma equação devem ter as mesmas unidades fundamentais.
• Distinga erro aleatório (reduzido por repetição e média) de erro sistemático (um erro de zero ou calibração que repetições não removem).
• Combine as incertezas: some as incertezas absolutas ao somar/subtrair, some as incertezas percentuais ao multiplicar/dividir (e multiplique o % por qualquer potência).
• Distinga precisão (pequena dispersão) de exatidão (próximo do valor verdadeiro).
• Resolva um vetor em componentes perpendiculares ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); some vetores ponta-a-cauda ou por componentes.

Erros comuns

• Substituindo 5 cm por 5, ou 20 g por 20. Converta o prefixo primeiro: 0.05 m, 0.020 kg.
• Dar a incerteza percentual em $T^{2}$ como sendo a mesma que em $T$. Elevar ao quadrado dobra-a; raiz quadrada a divide pela metade.
• Tratar a incerteza percentual e a incerteza absoluta como o mesmo número.
• Citar "a menor divisão" como a incerteza de uma leitura difícil de obter.
• Oferecer duas respostas para uma definição. Comprometa-se com uma.

Essas cinco grandezas aparecem em quase toda questão de cinemática 运动学. Aprenda as palavras exatas — o examinador dá pontos por redação precisa.

• distância 距离 — o comprimento total do trajeto percorrido. Uma escalar 标量.
• deslocamento 位移 — a distância em linha reta do início ao fim, com uma direção. Uma vetorial 矢量.
• velocidade 速率 — a taxa de variação da distância com o tempo. Um escalar.
• velocidade vetorial 速度 — a taxa de variação do deslocamento com o tempo. Um vetorial.
• aceleração 加速度 — a taxa de variação da velocidade com o tempo. Um vetorial.

A unidade de velocidade e velocidade vetorial é $\text{m s}^{-1}$; a unidade de aceleração é $\text{m s}^{-2}$.

Mais duas expressões usadas pelo examinador: aceleração uniforme 匀加速 significa aceleração constante (uma linha reta em um gráfico velocidade-tempo), e a aceleração da queda livre 自由落体加速度 $g$ é a aceleração de um objeto caindo livremente em um campo gravitacional uniforme 匀强重力场 quando a resistência do ar é negligenciável 可忽略的 (pequena o suficiente para ser ignorada).

Um erro comum: desaceleração 减速度 significa apenas aceleração na direção oposta à velocidade. Não é uma grandeza separada.

As velocidades às vezes são dadas em $\text{km h}^{-1}$. Converta antes de calcular: $85\ \text{km h}^{-1} = 85 \times 1000 / 3600 = 23.6\ \text{m s}^{-1}$.

Muitos pontos vêm de ler ou desenhar gráficos de movimento, os métodos gráficos 图像法 que o programa denomina. Dois gráficos importam.

Gráfico de deslocamento-tempo

A inclinação 斜率 (declive) de um gráfico de deslocamento-tempo em um ponto fornece a velocidade naquele momento.

• linha plana → o objeto está parado.
• linha reta inclinada → velocidade constante (inclinação = velocidade).
• linha curva → velocidade variável. Desenhe uma tangente 切线 no ponto e encontre sua inclinação.

Gráfico de velocidade-tempo

A inclinação de um gráfico velocidade-tempo fornece a aceleração naquele momento.

A área entre a linha e o eixo do tempo fornece o deslocamento nesse intervalo de tempo.

• linha plana → velocidade constante (aceleração zero).
• linha reta inclinada → aceleração uniforme (aceleração constante).
• linha curva → aceleração variável.
• área acima do eixo do tempo é deslocamento positivo; área abaixo é negativa (o objeto se moveu para trás).

Para encontrar o deslocamento, divida a área em triângulos e retângulos, ou conte os quadradinhos. A área de um triângulo é $\tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$; a área de um retângulo é $\text{base} \times \text{height}$.

Exemplo resolvido. O gráfico mostra a velocidade de um elevador. Encontre a aceleração em cada etapa e a distância total percorrida.

• Etapa A: inclinação $= \dfrac{3.0 - 0}{4.0} = 0.75\ \text{m s}^{-2}$.
• Etapa B: a linha é plana, então a aceleração é zero.
• Etapa C: inclinação $= \dfrac{0 - 3.0}{2.0} = -1.5\ \text{m s}^{-2}$ (uma desaceleração de $1.5\ \text{m s}^{-2}$).
• Distância: triângulo A $= \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0 = 6.0\ \text{m}$, retângulo B $= 6.0 \times 3.0 = 18\ \text{m}$, triângulo C $= \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 3.0 = 3.0\ \text{m}$; total $27\ \text{m}$.

Quando o gráfico é uma curva, a área ainda é o deslocamento: conte os quadradinhos sob a curva (meio quadrado ou mais conta como um) e multiplique pelo valor de um quadrado.

Para movimento em linha reta com aceleração uniforme, usamos cinco símbolos: velocidade inicial $u$, velocidade final $v$, aceleração $a$, deslocamento $s$ e tempo $t$. Quatro equações os ligam:

Cada equação usa quatro dos cinco símbolos. Para escolher a correta: escreva o que você sabe e o que quer encontrar, depois escolha a equação com exatamente esses quatro.

Exemplo resolvido. Um carro acelera uniformemente de $8\ \text{m s}^{-1}$ para $20\ \text{m s}^{-1}$ sobre uma distância de $56\ \text{m}$. Encontre sua aceleração.

Sabemos $u$, $v$ e $s$ e queremos $a$, então use $v^{2} = u^{2} + 2as$:

De onde vêm as equações SUVAT

Você deve conseguir derivar essas equações a partir das definições de velocidade e aceleração. Pense no gráfico de velocidade-tempo do movimento: uma linha reta de $u$ em $t = 0$ até $v$ no tempo $t$.

• $v = u + at$: a aceleração é a inclinação, $a = (v - u)/t$, então $v = u + at$.
• $s = \tfrac{1}{2}(u + v) t$: o deslocamento é a área sob a linha, um trapézio 梯形 com lados paralelos $u$ e $v$ e largura $t$, logo $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$.
• $s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$: substitua $v = u + at$ na área: $s = \tfrac{1}{2}(u + u + at)t = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}$.
• $v^{2} = u^{2} + 2as$: da primeira equação $t = (v - u)/a$; substitua isso em $s = \tfrac{1}{2}(u + v)t$ para obter $2as = (v + u)(v - u) = v^{2} - u^{2}$.

Uma questão de "derivar" quer exatamente esses passos, cada um começando com uma definição ou uma equação já estabelecida, sem números.

Se uma pergunta pede "qual equação pode ser encontrada usando apenas a inclinação de um gráfico de velocidade-tempo?", a resposta é $v = u + at$ (a inclinação é a aceleração).

Questões do tipo "Mostre que". Quando a questão fornece a resposta ("mostre que a altura é 3.2 km"), as pontuações são para o método. Apresente a equação, substitua cada valor por sua unidade e forneça o resultado com uma casa decimal significativa a mais do que o valor citado ($3.24\ \text{km}$, que arredonda para $3.2\ \text{km}$). Alcançar o valor citado não prova nada por si só.

Escolhendo uma direção positiva

Escolha uma direção positiva no início e mantenha-a. Tudo apontando na direção oposta recebe sinal negativo. Para uma bola lançada reto para cima, se "cima" for positivo: $u$ é positivo, $a = -g$ (gravidade 重力 puxa para baixo), e no ponto mais alto o deslocamento é positivo mas a velocidade é zero.

Quando a resistência do ar 空气阻力 pode ser ignorada, um objeto em queda livre 自由落ite tem uma aceleração constante $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ para baixo. Isso é o mesmo para toda massa.

Para uma bola solta do repouso e caindo uma distância $h$:

Para uma bola lançada reto para cima com velocidade $u$:

• altura máxima: coloque $v = 0$ em $v^{2} = u^{2} - 2gh$, resultando em $h = u^{2}/(2g)$.
• tempo para atingir o topo: coloque $v = 0$ em $v = u - gt$, resultando em $t = u/g$.
• tempo total para voltar à altura inicial: $2u/g$ (o movimento é simétrico 对称).

Exemplo resolvido. Uma bola é lançada verticalmente para cima a $20\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a altura máxima atingida (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

No ponto mais alto $v = 0$, logo de $h = u^{2}/(2g)$:

Quando a resistência do ar não é desprezível

As equações acima assumem que a única força atuante é o peso. Com a resistência do ar, a força resultante sobre um objeto em queda é menor que seu peso, então a aceleração é menor que $g$; e como a resistência do ar aumenta com a velocidade, a aceleração continua diminuindo à medida que o objeto ganha velocidade. Em um gráfico de velocidade-tempo, a linha se curva, sua inclinação tendendo a zero à medida que o objeto se aproxima da velocidade terminal 收尾速度 (tópico 3). Para um projétil, a resistência do ar reduz o alcance e diminui a altura máxima, e a trajetória deixa de ser uma parábola simétrica 抛物线: o objeto desce mais abruptamente do que subiu. Uma questão do tipo "descreva e explique" pede primeiro a força, depois seu efeito na aceleração e, por fim, o efeito no movimento.

Experimento para encontrar $g$

Um método comum: soltar um objeto do repouso, medir a distância $h$ que ele cai e o tempo $t$ que leva. Então

Repita para várias alturas e plote $h$ contra $t^{2}$. A inclinação da melhor reta é $g/2$, logo $g$ é duas vezes a inclição. Repetir reduz o erro aleatório 随机误差. Um cronômetro eletrônico — usando portas de luz 光电门, ou um interruptor acionado pela bola — elimina erros de tempo de reação 反应时间.

Quando um objeto se move com velocidade constante em uma direção (digamos horizontal 水平) e ganha velocidade em uma direção perpendicular a ela (digamos vertical 竖直, sob gravidade), os dois movimentos não afetam um ao outro. Analise cada direção separadamente, usando sua própria equação SUVAT.

Lançamento horizontal

Um objeto lançado horizontalmente com velocidade $u_{\text{H}}$ a partir de uma altura $h$, ignorando a resistência do ar:

• horizontal: velocidade constante $u_{\text{H}}$. Após o tempo $t$, a distância horizontal é $x = u_{\text{H}} t$.
• vertical: parte do repouso e ganha velocidade para baixo a $g$. Após o tempo $t$, caiu $y = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ e possui velocidade vertical $v_{\text{V}} = g t$.

O tempo para atingir o solo depende apenas da altura $h$, não de $u_{\text{H}}$. Resolva $h = \tfrac{1}{2} g t^{2}$ para $t$; então o alcance horizontal 射程 é $u_{\text{H}} t$.

Exemplo resolvido. Uma bola é lançada horizontalmente a $15\ \text{m s}^{-1}$ do topo de um penhasco de altura $20\ \text{m}$. Encontre o tempo para pousar e a distância do ponto de impacto em relação à base (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

O movimento vertical fornece o tempo: de $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$,

O movimento horizontal então fornece o alcance: $x = u_{\text{H}} t = 15 \times 2.0 \approx 30\ \text{m}.$

O gráfico de velocidade horizontal é uma linha plana em $u_{\text{H}}$. O gráfico de velocidade vertical é uma linha reta partindo da origem com inclinação $g$.

Comparando dois objetos. Se o objeto A é deixado cair e o objeto B é lançado horizontalmente da mesma altura no mesmo instante, ambos atingem o solo ao mesmo tempo: seus movimentos verticais são idênticos. Se, em vez disso, B for lançado com componente ascendente, levará mais tempo, pois deve primeiro subir e retornar à altura inicial antes de cair a mesma distância. Sua velocidade ao aterrissar ainda é encontrada pela energia: a energia cinética ganha é igual à energia potencial perdida, independentemente da direção do lançamento, logo uma bola lançada em qualquer ângulo com a mesma velocidade a partir da mesma altura aterrissa com a mesma velocidade (tópico 5).

Projétil em ângulo

Um projétil 抛体 lançado com velocidade $u$ em um ângulo $\theta$ acima da horizontal:

• componente horizontal 分量 da velocidade inicial: $u_{\text{H}} = u \cos\theta$ (permanece constante durante o voo).
• componente vertical da velocidade inicial: $u_{\text{V}} = u \sin\theta$ (diminui, torna-se zero no topo e depois cresce para baixo).

No ponto mais alto, $v_{\text{V}} = 0$, mas $v_{\text{H}}$ ainda é $u\cos\theta$. O tempo até o topo é $t_{\text{up}} = u\sin\theta / g$; o tempo total de voo (voltando à altura inicial) é $2t_{\text{up}}$.

Esboçando os gráficos de velocidade. Os examinadores frequentemente pedem para esboçar $v_{\text{H}}$ e $v_{\text{V}}$ contra o tempo nos mesmos eixos, considerando a direção para cima como positiva. A componente horizontal é uma linha plana em $u\cos\theta$ durante todo o voo. A componente vertical é uma linha reta de inclinação $-g$: começa em $+u\sin\theta$, cruza zero no topo do voo e atinge $-u\sin\theta$ ao aterrissar na altura inicial. Rotule cada linha, marque os tempos onde as linhas começam e terminam, e posicione o cruzamento exatamente em $t_{\text{up}}$.

Exemplo resolvido. Uma bola sai do solo a $18\ \text{m s}^{-1}$ em $60°$ em relação à horizontal. Mostre que ela atinge a altura máxima em $t = 1.6\ \text{s}$.

$u_{\text{V}} = 18 \sin 60° = 15.6\ \text{m s}^{-1}$. No topo $v_{\text{V}} = 0$, logo de $v = u + at$ com $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$: $t = 15.6 / 9.81 = 1.59\ \text{s} \approx 1.6\ \text{s}$.

Bola quicando

Quando uma bola quica, seu gráfico de velocidade-tempo é um conjunto de linhas retas inclinadas (aceleração constante $g$) com uma mudança brusca em cada quiche (a velocidade inverte a direção e diminui se alguma energia 能量 for perdida). Some os tempos e as distâncias entre os quiches.

Leia esse gráfico com atenção: a inclinação de todas as linhas inclinadas é a mesma $g$; a bola está no ponto mais alto sempre que a linha cruza o eixo do tempo; e a altura de cada quiche vem da área do triângulo acima (ou abaixo) do eixo para aquele voo.

Quando dois objetos se movem ao longo da mesma linha de maneiras diferentes, escreva uma equação de deslocamento para cada um. Use o mesmo tempo inicial e a mesma direção positiva. Depois, iguale os dois deslocamentos (ou iguale a diferença deles a uma lacuna dada).

Para um trem de cargas com velocidade constante $u_{\text{G}}$ e um trem expresso partindo do repouso com aceleração $a$, ambos passando pelo mesmo ponto em $t = 0$:

Eles estão nivelados novamente quando $s_{\text{G}} = s_{\text{E}}$, resultando em $t = 2 u_{\text{G}} / a$.

1. Desenhe um diagrama e marque a direção positiva.
2. Liste os símbolos SUVAT com seus valores conhecidos e desconhecidos, incluindo sinais.
3. Escolha a equação SUVAT que contenha exatamente os quatro símbolos que você tem, além do que deseja encontrar.
4. Para movimento de projéteis, separe em problemas SUVAT horizontais e verticais, ligados apenas pelo tempo $t$.
5. Sempre verifique as unidades da sua resposta e se o tamanho faz sentido.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Use as equações SUVAT apenas para aceleração constante; liste $s, u, v, a, t$ e escolha a equação que falta seu desconhecido.
• Escolha uma direção como positiva e mantenha os sinais consistentes (geralmente $g = -9.81\ \text{m s}^{-2}$).
• Em um gráfico de velocidade-tempo, inclinação $=$ representa aceleração e área $=$ representa deslocamento.
• Para projéteis, trate os movimentos horizontal (velocidade constante) e vertical ($a = g$) separadamente, ligados pelo mesmo tempo.

Erros comuns

• Dizer que a bola mais pesada atinge o solo primeiro ou mais rápido, sem resistência do ar. Ambas caem com a mesma aceleração e aterrissam com a mesma velocidade.
• Calcular a inclição de um gráfico $v$–$t$ quando a questão pede a área, ou a área quando pede a inclição. Inclinação é aceleração; área é deslocamento.
• Desenhar uma curva em um gráfico $v$–$t$ para um corpo sob aceleração constante. Aceleração constante é uma linha reta; apenas o sinal de $v$ muda em um quiche.
• Usar $g = +9.81$ para uma bola lançada para cima com "para cima" como positivo. Uma vez que para cima é positivo, $a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$ vale para todo o voo, inclusive na descida.
• Usar uma equação SUVAT quando a aceleração está mudando (resistência do ar, gráfico curvo). Nesse caso, apenas os métodos gráficos funcionam.

Massa

Massa 质量 indica quão difícil é alterar o movimento de um objeto. Quanto maior a massa, maior a força 力 necessária para lhe dar uma certa aceleração 加速度. A massa mede-se em quilogramas ($\text{kg}$) e é uma grandeza escalar 标量.

Momento

Momento linear 动量 é o produto da massa pela velocidade:

O momento é um vetor 矢量 — ele aponta na mesma direção da velocidade 速度. Sua unidade é $\text{kg m s}^{-1}$, que é a mesma de $\text{N s}$.

Força como taxa de variação do momento

A segunda lei de Newton, em sua forma geral: a força resultante 合力 sobre um objeto é igual à taxa de variação de seu momento.

Quando a massa é constante, isso se torna $F = ma$, porque $\Delta p = m\,\Delta v$ e $\Delta v / \Delta t = a$. Questões do Cambridge geralmente pedem para usar $F = \Delta p / \Delta t$ diretamente para uma colisão 碰撞 ou um impulso 冲量: a força média é igual à mudança no momento dividida pelo tempo de contato.

Uma bola bate em uma parede com momento $p_{1}$ e quica de volta com momento $p_{2}$ na direção oposta. A mudança no momento é $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (dê cada direção o sinal correto). A força média é $\Delta p / \Delta t$, onde $\Delta t$ é o tempo de contato.

Exemplo resolvido. Uma bola de $0.20\ \text{kg}$ hits a wall at $8.0\ \text{m s}^{-1}$ and bounces straight back at $6.0\ \text{m s}^{-1}$. O contato dura $0.050\ \text{s}$. Encontre a força média sobre a bola.

Considere a direção de rebote como positiva, então $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ e $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

Quando você conhece o momento mas não a velocidade, a mudança na energia cinética 动能 é

Isso vem de $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Gráficos de momento-tempo

Porque $F = \Delta p / \Delta t$, a inclinação 梯度 de um gráfico de momento-tempo é a força resultante, assim como a inclinação de um gráfico velocidade-tempo é a aceleração. Uma linha reta significa uma força resultante constante; uma linha horizontal significa força resultante zero; uma linha descendente significa uma força atuando contra o movimento.

Exemplo resolvido. O gráfico mostra o momento de uma motocicleta. Encontre a força resultante sobre ela durante os primeiros $10\ \text{s}$.

Inclinação $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Entre $10\ \text{s}$ e $16\ \text{s}$ o momento é constante, então a força resultante é zero: a força motriz apenas equilibra as forças resistentes. De $16\ \text{s}$ a $20\ \text{s}$ o momento cai em $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, então a força resultante é $-500\ \text{N}$, agindo para trás.

Se uma questão disser que a velocidade está mudando enquanto a força resultante permanece constante, essa força não pode ser resistência do ar: arrasto depende da velocidade, então mudaria conforme a velocidade muda, e o arrasto sempre atua contra o movimento.

Primeira lei

Um objeto permanece em repouso, ou continua se movendo com velocidade constante em linha reta, a menos que uma força externa resultante 外力 atue sobre ele. Em resumo: força resultante zero significa aceleração zero.

Segunda lei

A força resultante sobre um objeto é igual à sua taxa de variação de momento, e age na mesma direção dessa mudança. Em unidades SI,

Aceleração e força resultante sempre apontam na mesma direção.

Terceira lei

Quando o corpo A empurra o corpo B, o corpo B empurra de volta no corpo A com uma força igual e oposta. As duas forças:

• atuam em objetos diferentes,
• são do mesmo tipo (ambas gravitacionais, ambas de contato, ambas eletrostáticas 静电, etc.),
• têm o mesmo tamanho e direção oposta.

Uma armadilha comum: o peso 重力 de um bloco sobre uma mesa e a força de contato normal 支持力 da mesa não formam um par de terceira lei (elas atuam no mesmo objeto e são tipos diferentes). O parceiro de terceira lei do peso do bloco é a tração que o bloco exerce na Terra. O parceiro de terceira lei da força de contato da mesa é a pressão que o bloco exerce sobre a mesa.

Para nomear um parceiro de terceira lei, troque os dois corpos na frase. "A roda traseira de uma bicicleta empurra para trás na estrada" combina com "a estrada empurra para frente na roda traseira", e esse empurrão para frente é o que move a bicicleta. "A Terra puxa a Lua" combina com "a Lua puxa a Terra", com o mesmo tamanho de força.

Para um foguete: a empuxo 推力 no foguete e a força nos gases são um par de terceira lei (o motor empurra o gás para baixo, o gás empurra o motor para cima). Peso e resistência do ar não fazem parte deste par.

Peso é a força sobre um objeto devido a um campo gravitacional 重力场. Perto da superfície da Terra,

onde $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ é a aceleração da queda livre. Peso é um vetor que aponta para o centro da Terra. Não o confunda com massa: a massa é a mesma em qualquer lugar, mas o peso muda conforme o local.

Na Lua $g$ é cerca de $1.6\ \text{m s}^{-2}$, então a massa de um astronauta não muda, mas seu peso é cerca de um sexto do valor na Terra. Quando uma questão de múltipla escolha pede qual afirmação descreve o peso, a resposta é aquela que diz "a força sobre o objeto devido a um campo gravitacional", não "massa vezes aceleração" nem "a força resultante".

Forças de atrito e arrasto

Uma força de atrito 摩擦力 entre duas superfícies sólidas atua ao longo da superfície e se opõe ao deslizamento. Uma força viscosa 黏性或 arrasto 阻力 é a força resistente de um fluido 流体 (líquido ou gás) sobre um objeto que se move através dele; resistência do ar é o caso para o ar. Você não precisa usar nenhum coeficiente 系数 de atrito ou viscosidade.

Um modelo simples: o arrasto aumenta à medida que a velocidade aumenta. Na velocidade zero, o arrasto é zero. O arrasto também cresce com a área transversal 横截面积 do objeto e com a densidade do fluido; um paraquedas funciona tornando a área, e consequentemente o arrasto, muito maior. Essas forças de atrito e arrasto são todas forças resistentes: elas atuam contra a direção do movimento e transferem energia cinética para energia térmica.

Um objeto caindo através do ar

Para um objeto solto do repouso e caindo através do ar:

1. No início, apenas o peso atua, então o objeto acelera para baixo com $g$.
2. À medida que a velocidade aumenta, o arrasto ascendente aumenta. A força resultante diminui, então a aceleração diminui.
3. Por fim, o arrasto iguala-se ao peso. A força resultante é zero, a aceleração é zero, e a velocidade permanece constante — a velocidade terminal 收尾速度.

Em um gráfico velocidade-tempo, a linha começa reta com inclinação $g$, depois curva e se aplaina na velocidade terminal. Essa forma (início rápido, depois aceleração diminuída, depois velocidade constante) é como "queda com resistência do ar" difere de "queda livre em vácuo" em um campo gravitacional uniforme 匀强重力场. Em um gráfico aceleração-tempo, a aceleração começa em $g$ e diminui, curvando-se até zero.

Duas esferas do mesmo tamanho, mas densidades diferentes, têm velocidades terminais diferentes: a esfera mais densa tem maior peso, então precisa de maior arrasto para equilibrá-lo, e o arrasto só alcança esse valor em velocidade maior. É também por isso que um paraquedas muda tudo: quando abre, o arrasto subitamente excede o peso, a força resultante é para cima, e o pára-quedista desacelera (a aceleração é para cima enquanto a velocidade ainda é para baixo) até que o arrasto caia novamente para igualar o peso em uma nova velocidade terminal muito menor.

Queda através de um líquido: três forças

Uma bola caindo através de um líquido tem três forças atuando sobre ela: seu peso para baixo, a empuxo 浮力 para cima, e o arrasto viscoso para cima. O empuxo vem da pressão hidrostática 流体静压强: a pressão em um líquido aumenta com a profundidade, então o líquido empurra mais forte na parte inferior da bola do que na superior, e a resultante desses empurrões é para cima. Seu valor é igual ao peso do líquido deslocado pela bola, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (tópico 4). O arrasto cresce com a velocidade. Quando o peso $=$ o empuxo $+$ o arrasto, a força resultante é zero e a bola cai à sua velocidade terminal. Uma questão "desenhe setas rotuladas" pede exatamente essas três, com o empuxo e o arrasto ambos para cima e o peso para baixo.

Exemplo resolvido. Uma bola de aço de raio $2.0\ \text{mm}$ e peso $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ cai através de óleo de densidade $850\ \text{kg m}^{-3}$. O arrasto viscoso sobre ela é $F = 6\pi \eta r v$, onde $\eta$ é a viscosidade 黏度 do óleo e $v$ a velocidade. (a) Encontre as unidades fundamentais do SI de $\eta$. (b) Mostre que o empuxo sobre a bola é $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Considerando $\eta = 0.20$ em unidades do SI, encontre a velocidade terminal.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, então suas unidades são $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, então $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) Na velocidade terminal, o arrasto $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Então $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Energia durante uma queda à velocidade terminal

Na velocidade terminal, um paraquedista 跳伞者 tem energia cinética constante. Mas a energia potencial gravitacional 重力势能 continua caindo conforme desce. Para onde ela vai? Quase toda se transforma em energia térmica 热能 do ar ao redor. Ela não se torna energia cinética do paraquedista — essa permanece constante.

Ciclista ou carro em velocidade constante

Um veículo em velocidade constante numa estrada plana tem força resultante nula. A força motriz 驱动力 é igual e oposta à força resistente total (atrito, resistência do ar e resistência à rolagem). Em velocidades maiores, o arrasto é maior, então a força motriz também deve ser maior — e assim a potência 功率 deve ser maior.

Em uma inclinação, o peso tem uma componente ao longo da estrada. Subindo em velocidade constante, a força motriz deve equilibrar a força resistente e a parte do peso que puxa para baixo da encosta, $W\sin\theta$; descendo, essa mesma componente auxilia o movimento.

Exemplo resolvido. Um carro de massa $1500\ \text{kg}$ sobe uma estrada inclinada $12°$ em relação à horizontal a uma velocidade constante $30\ \text{m s}^{-1}$. A força resistente total é $1600\ \text{N}$. Encontre a força motriz e a potência útil de saída do motor.

Velocidade constante significa força resultante nula ao longo da rampa: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. Potência é força vezes velocidade (tópico 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

O princípio

Para um sistema sem força externa resultante, o momento total permanece constante. Isso é conservação do momento 动量守恒. Formulado para as duas marcas que o examinador atribui: o momento total de um sistema de objetos permanece constante desde que nenhuma força externa resultante atue sobre o sistema. Ambas as partes são necessárias: apenas "o momento total é constante" vale uma marca.

Sempre se aplica quando não há força externa resultante — em colisões, explosões 爆炸, e recuo 反冲. Em duas dimensões, o momento é conservado ao longo de cada direção independentemente.

Exemplo resolvido. Um carrinho de $2.0\ \text{kg}$ e um carrinho de $3.0\ \text{kg}$ são segurados contra uma mola comprimida, depois liberados do repouso. O carrinho de $2.0\ \text{kg}$ voa para longe a $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a velocidade do outro carrinho.

O momento total permanece zero (começou em repouso), então

na direção oposta.

Colisões elásticas e inelásticas

Em todas as colisões, o momento é conservado (se não houver força externa resultante).

Uma colisão elástica 弹性碰撞 é aquela em que a energia cinética total também é conservada. Um teste rápido: em uma colisão elástica, a velocidade relativa 相对速率 de aproximação é igual à velocidade relativa de separação.

Em uma colisão inelástica 非弹性碰撞, o momento é conservado mas a energia cinética diminui — parte se transforma em energia térmica, sonora ou de deformação 形变. Se os dois objetos ficarem presos juntos, a colisão é perfeitamente inelástica.

Resolvendo problemas de colisão (uma dimensão)

Para dois objetos com massas $m_{1}, m_{2}$ e velocidades iniciais $u_{1}, u_{2}$ que batem frontalmente 正面, escreva

Use velocidades com sinal (positivas em uma direção escolhida). Se a colisão for elástica, adicione a equação de velocidade relativa

ou, a mesma coisa, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Isso fornece duas equações para duas incógnitas.

Exemplo resolvido. Um carro de $1500\ \text{kg}$ movendo-se a $12\ \text{m s}^{-1}$ bate em um carro parado de $1000\ \text{kg}$ e eles travam juntos. Encontre a velocidade comum pouco após a colisão.

O momento é conservado (os carros ficam presos, então $v_{1} = v_{2} = v$):

As perguntas frequentemente prosseguem perguntando qual fração da energia cinética é transferida para outras formas. Antes: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. Depois: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Então $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, que corresponde a $40\%$ da energia cinética original, torna-se energia térmica, som e deformação dos carros. O momento é conservado; a energia cinética não é.

Exemplo resolvido. Um núcleo estacionário de massa $222\,u$ decai emitindo uma partícula alfa α粒子 de massa $4\,u$ a $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a velocidade do núcleo restante.

Antes do decaimento, o momento total é zero, então depois os dois momentos são iguais e opostos: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, dando $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ na direção oposta à partícula alfa. A unidade $u$ cancela, então seu valor nunca é necessário. Em um decaimento, o momento, a carga (número de prótons), o número nucleônico e a energia-massa total são todos conservados (tópico 11).

Um resultado útil para uma colisão elástica frontal de massa $m$ com uma massa estacionária $M$:

Colisões em duas dimensões

Se os objetos se movem em duas dimensões, decomponha as velocidades em componentes 分量 perpendiculares 垂直 e aplique a conservação do momento ao longo de cada direção independentemente. Para uma colisão onde os objetos batem em um ângulo, escolha um eixo ao longo do movimento do primeiro objeto e outro transversal a ele. O momento total é conservado ao longo de cada eixo.

Exemplo resolvido. Sobre uma superfície sem atrito, a bola A tem momento $4.0\ \text{N s}$ devido leste e a bola B tem momento $3.0\ \text{N s}$ devido norte. Elas colidem e ficam presas juntas. Encontre o momento do objeto combinado.

O momento é conservado ao longo de cada eixo: $4.0\ \text{N s}$ leste e $3.0\ \text{N s}$ norte após a colisão, exatamente como antes. O momento total é a soma vetorial, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ a $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ ao norte do leste; o objeto combinado move-se nessa direção a $5.0\ \text{N s}$ dividido pela massa total. Um diagrama de múltipla escolha com duas setas de momento está pedindo exatamente isso: some as setas ponta com cauda.

Foguete / expelindo massa

Um foguete expulsa gás a velocidade $u$ (relativa a si mesmo) a uma taxa de fluxo de massa 质量流率 $\dot m$ (kg por segundo). Ele sente uma tração

que vem de $F = \Delta p / \Delta t$. O momento dado ao gás a cada segundo é igual à tração no foguete (terceira lei de Newton: o foguete empurra o gás numa direção, o gás empurra o foguete na outra direção). Um motor que expulsa $90\ \text{kg}$ de gás por segundo a $190\ \text{m s}^{-1}$ produz uma tração de $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Exemplo resolvido. Um foguete de peso $W$ deixa o solo com uma aceleração inicial $a$. Que tração seu motor produz?

Considere para cima como positivo. A força resultante é tração menos peso, então $T - W = ma$. Com $m = W / g$, $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Um foguete de peso $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$ acelerando a $4.0\ \text{m s}^{-2}$ precisa de uma tração de $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. A tração deve exceder o peso antes que o foguete se mova.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• A segunda lei de Newton é $F = \Delta p / \Delta t$ (taxa de variação do momento); $F = ma$ é o caso especial para massa constante.
• Identifique corretamente os pares da terceira lei: o mesmo tipo de força, atuando em dois corpos diferentes — não as forças equilibradas sobre um único corpo.
• O momento linear é conservado em toda colisão; a energia cinética é conservada apenas em uma colisão elástica.
• Para a velocidade terminal, explique que o arrasto aumenta com a velocidade até que o arrasto $=$ o peso, tornando a aceleração zero.

Erros comuns

• Escrever "as forças estão equilibradas" ou "as forças se cancelam". Diga "a força resultante sobre o objeto é zero".
• Somar ambas as velocidades em uma colisão frontal porque o momento é "total". Escolha uma direção positiva, atribua sinal negativo à velocidade oposta e depois some.
• Calcular a energia cinética a partir de um componente da velocidade. A energia cinética usa a velocidade total de cada corpo.
• Chamar o peso e a força normal de contato em um objeto de um par da terceira lei. Um par atua em dois objetos diferentes e é de um único tipo de força.
• Enunciar a conservação do momento sem a condição. Ela só vale quando nenhuma força externa resultante age sobre o sistema.

Centro de gravidade

O peso 重力 de um grande objeto pode ser tratado como atuando em um único ponto, chamado centro de gravidade 重心 (o mesmo que o centro de massa 质心 em um campo gravitacional uniforme). Para formas regulares e uniformes — retângulo, esfera, barra uniforme — o centro de gravidade está no meio.

Ao desenhar um diagrama de corpo livre 受力图, coloque sempre a seta do peso no centro de gravidade.

Para uma forma irregular, encontre o centro de gravidade experimentalmente. Pendure o objeto livremente por um pino: em equilíbrio, ele se estabiliza com seu centro de gravidade verticalmente abaixo do pino, pois apenas assim o peso não tem momento em relação ao pino. Um fio de prumo 铅垂线 pendurado pelo mesmo pino marca essa vertical. Pendure o objeto em um segundo ponto e desenhe a segunda linha; o centro de gravidade é onde as duas linhas se cruzam. O mesmo fato responde à pergunta do exame "explique por que a chapa pendura assim": seu centro de gravidade está diretamente abaixo do suporte, então a linha de ação do peso passa pelo pivô e não há torque resultante.

Para uma barra não-uniforme 非均匀, o centro de gravidade não está no meio. Encontre-o equilibrando a barra sobre um pivô ou tirando momentos: se o peso da barra $W$ equilibra um peso conhecido, a distância de seu centro de gravidade até o pivô é aquela que torna os momentos dos dois lados iguais.

Momento de uma força

O momento 力矩 de uma força em relação a um ponto é

onde $F$ é o módulo da força 力 e $d$ é a distância perpendicular 垂直距离 do ponto à linha de ação 作用线 da força. Unidade: $\text{N m}$.

Se a força atua em um ângulo $\theta$ em relação a um braço de alavanca 力臂 de comprimento $r$ a partir do pivô 支点, então $d = r\sin\theta$, logo $M = F r\sin\theta$. Apenas a parte da força perpendicular 垂直 ao braço de alavanca o faz girar.

Exemplo resolvido. Uma força de $50\ \text{N}$ é aplicada na extremidade de uma chave de boca $0.40\ \text{m}$ de comprimento, em $30°$ em relação à chave. Encontre o momento da força em relação à porca.

Um momento pode ser horário 顺时针 ou anti-horário 逆时针 em relação ao ponto escolhido.

Binário e torque

Um binário 力偶 é um par de forças que são:

• iguais em magnitude,
• opostas em direção,
• cujas linhas de ação estão separadas por uma distância perpendicular.

Um binário faz o corpo girar apenas — sua força resultante é zero, portanto não causa aceleração retilínea.

O torque 力偶矩 de um binário é o efeito rotativo que ele produz:

onde $F$ é o módulo de uma das forças e $d$ é a distância perpendicular entre as duas linhas de ação. Unidade: $\text{N m}$. O torque é o mesmo em qualquer ponto — uma propriedade especial dos binários.

Uma armadilha comum em múltipla escolha: duas forças iguais na mesma direção não formam um binário (elas têm uma força resultante e causam translação 平动). Um binário precisa de igual magnitude e direção oposta.

Observe a distância na fórmula. Para um par de duas forças $F$ atuando a uma distância $d$ de um pivô central, em lados opostos, a distância perpendicular entre as duas linhas de ação é $2d$, portanto o torque é $F \times 2d = 2Fd$. Tomando momentos em relação ao pivô, obtém-se a mesma resposta, $Fd + Fd$. A definição que vale dois pontos exige ambas as partes: o produto de uma das forças e a distância perpendicular entre as linhas de ação das forças.

Condições para o equilíbrio

Um corpo está em equilíbrio 平衡 quando:

1. a força resultante 合力 é zero (sem aceleração retilínea), E
2. o momento resultante em relação a qualquer ponto é zero (sem aceleração angular 角加速度).

Ambas devem ser satisfeitas. Um corpo sem força resultante ainda pode estar girando; um corpo sem momento resultante ainda pode estar se movendo em linha reta.

O caso clássico de múltipla escolha: quatro forças, dois pares iguais apontando em direções opostas mas não ao longo da mesma linha. A força resultante é zero, então o centro de massa não acelera, mas os pares formam binários com um torque resultante, fazendo com que o objeto gire cada vez mais rápido enquanto seu centro de massa se move a velocidade constante. Apenas quando ambas as condições são satisfeitas o corpo está em equilíbrio.

Princípio dos momentos

Para um corpo que não gira, o momento horário total em relação a qualquer ponto é igual ao momento anti-horário total em relação ao mesmo ponto. Este é o princípio dos momentos 力矩原理.

Para resolver um problema de balanceamento:

1. Escolha um pivô — geralmente onde uma força desconhecida atua, para que essa força desapareça (sua distância é zero).
2. Liste todas as forças e suas distâncias perpendiculares ao pivô.
3. Iguale $\sum M_{\text{clockwise}} = \sum M_{\text{anticlockwise}}$.
4. Use $\sum F = 0$ se precisar de uma segunda equação.

Uma régua equilibrada sobre um pivô com massas em cada lado é resolvida dessa forma. Para uma barra pesada e uniforme, lembre-se de incluir seu peso atuando em seu centro de gravidade. Enunciado para as notas: para um corpo em equilíbrio, a soma dos momentos horários em relação a qualquer ponto é igual à soma dos momentos anti-horários em relação ao mesmo ponto.

Exemplo resolvido. Uma viga uniforme de comprimento $4.0\ \text{m}$ está articulada em seu centro. Um peso de $40\ \text{N}$ pende a $1.5\ \text{m}$ do pivô de um lado. A que distância do pivô, do outro lado, um peso de $30\ \text{N}$ deve pendurar para equilibrar a viga?

O próprio peso da viga atua no centro (o pivô), portanto não tem momento. Igualando momentos horários $=$ momentos anti-horários:

Exemplo resolvido. Uma barra uniforme de comprimento $L$ e peso $W = 28\ \text{N}$ está articulado em uma parede em uma extremidade e mantido horizontal por um cabo na outra extremidade. O cabo forma um ângulo $40°$ com a barra. Encontre a tração $T$ no cabo.

Tire momentos em relação à articulação, para que a força desconhecida da articulação desapareça. O peso atua no centro, a uma distância $L/2$ da articulação: seu momento é $W \times L/2$, horário. A tração atua na extremidade, mas não perpendicularmente à barra, então seu momento é $T\sin 40° \times L$, anti-horário (apenas o componente de $T$ perpendicular à barra o faz girar). Iguale-os:

O comprimento $L$ se cancela, que é a razão pela qual a questão não precisa fornecê-lo. Se uma carga pendura da barra também, adicione seu momento no lado horário. Esta é a estrutura de quase todas as questões de momentos: escolha o pivô onde a força desconhecida atua, use o componente perpendicular de qualquer força inclinada e deixe os comprimentos desconhecidos se cancelarem.

Exemplo resolvido. Uma viga uniforme de peso $200\ \text{N}$ e comprimento $9.0\ \text{m}$ repousa sobre dois apoios, X a $1.0\ \text{m}$ da extremidade esquerda e Y a $6.5\ \text{m}$. Uma pessoa de peso $700\ \text{N}$ fica em pé a $1.7\ \text{m}$ de Y, além dele. Encontre a força de cada apoio.

Duas forças desconhecidas, $R_{\text{X}}$ e $R_{\text{Y}}$, então tome momentos em relação a X para eliminar $R_{\text{X}}$. O peso da viga atua no seu centro, $3.5\ \text{m}$ de X; Y está $5.5\ \text{m}$ de X; a pessoa está $7.2\ \text{m}$ de X:

Então a força resultante é zero: $R_{\text{X}} + R_{\text{Y}} = 200 + 700$, então $R_{\text{X}} = 900 - 1040 = -140\ \text{N}$. Uma resposta negativa significa que a viga se soltaria de X: com a pessoa tão longe além de Y, X deve segurar a viga para baixo, não para cima. As questões frequentemente perguntam onde uma pessoa pode ficar antes que a vira a viga; essa é a posição na qual $R_{\text{X}}$ se torna zero.

Triângulo vetorial

Três forças no mesmo plano que estão em equilíbrio podem ser desenhadas como um triângulo vetorial fechado 矢量三角形 — desenhados ponta a cauda, as três setas retornam ao ponto inicial. Este é um método de desenho em vez de decompor em componentes 分量.

Use a lei dos senos 正弦定理 ou a lei dos cossenos 余弦定理 no triângulo para encontrar tamanhos ou direções desconhecidos, ou desenhe o triângulo em escala em papel quadriculado.

Você também pode decompor cada força em componentes horizontais 水平 e verticais 竖直 e igualar $\sum F_{x} = 0$ e $\sum F_{y} = 0$.

Para obter os pontos ao desenhar o triângulo: desenhe primeiro o peso (vertical, em escala), depois adicione as outras duas forças ponta a cauda em suas direções reais, de modo que a terceira seta feche o triângulo; rotule todos os lados com sua força e marque os ângulos. Para um bloco apoiado em uma inclinação, as três forças são o peso (vertical), a força de contato normal (perpendicular à inclinação) e o atrito (ao longo da inclinação), então o triângulo é retângulo com o peso como hipotenusa. Para um quadro pendurado por uma corda sobre um alfinete, as duas tensões iguais formam um triângulo isósceles com o peso. O teste de qualquer resposta é que o triângulo feche; se não fechar, o objeto não está em equilíbrio.

Exemplo resolvido. Uma polia de peso desprezível é sustentada por uma mola. Um único cabo passa sob a polia, e cada lado do cabo forma $30°$ com a vertical. A tensão no cabo é $T = 60\ \text{N}$. Encontre a força da mola e a extensão da mola, dado que sua constante elástica é $2000\ \text{N m}^{-1}$.

Por ser um cabo contínuo, a tensão é a mesma em ambos os lados. As duas tensões puxam para baixo e para fora; seus componentes horizontais se cancelam e seus componentes verticais somam-se, então a mola deve puxar para cima com $F = 2T\cos 30° = 2 \times 60 \times 0.866 = 104\ \text{N}$. Da lei de Hooke (tópico 6), $x = F / k = 104 / 2000 = 0.052\ \text{m}$. Se o ângulo em relação à vertical aumenta, $\cos\theta$ diminui, então a força da mola e a extensão diminuem: o cabo está puxando mais lateralmente e menos para cima.

Densidade 密度 é a massa por unidade de volume:

Unidade: $\text{kg m}^{-3}$ (ou $\text{g cm}^{-3}$; $1\ \text{g cm}^{-3} = 1000\ \text{kg m}^{-3}$). Densidade é uma escalar 标量.

Algumas densidades úteis para saber:

• água: $1000\ \text{kg m}^{-3}$
• ar em condições ambientes: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$
• ferro / aço: $\sim 7800\ \text{kg m}^{-3}$

Medir densidade é uma questão prática disfarçada. Para um paralelepípedo, meça a massa em uma balança e os três comprimentos laterais com uma régua ou paquímetro, então $\rho = m / (xyz)$. Como a densidade é um produto e quociente, a incerteza percentual em $\rho$ é a soma das incertezas percentuais em $m$, $x$, $y$ e $z$ (tópico 1). Um erro de zero na balança, ou uma régua cuja extremidade está desgastada, é um erro sistemático; repetir as leituras não o remove, mas subtrair a leitura de zero sim.

Exemplo resolvido. Um bloco tem massa $(120 \pm 1)\ \text{g}$ e lados $(4.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$, $(3.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$ e $(2.0 \pm 0.1)\ \text{cm}$. Encontre sua densidade e a incerteza percentual.

$\rho = 120 / (4.0 \times 3.0 \times 2.0) = 5.0\ \text{g cm}^{-3} = 5000\ \text{kg m}^{-3}$. As incertezas percentuais são $0.8\%$, $2.5\%$, $3.3\%$ e $5.0\%$, então a densidade tem incerteza de $12\%$, cerca de $\pm 600\ \text{kg m}^{-3}$. O lado mais curto contribui mais, que é por que uma pergunta pede qual medição melhorar primeiro.

Pressão 压强 é a força por unidade de área, onde a força atua perpendicularmente à superfície:

Unidade: $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$. Pressão é uma escalar.

A força é a que pressiona perpendicularmente à superfície, e a área é a área de contato. Um tronco de árvore de peso $9.0\ \text{kN}$ em pé sobre um poste de diâmetro $0.28\ \text{m}$ pressiona com $p = F / A = 9000 / (\pi \times 0.14^{2}) = 1.5 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; o mesmo peso sobre um poste mais largo resulta em menor pressão. Converta diâmetros em raios, e centímetros em metros, antes de elevar ao quadrado.

Pressão hidrostática

Considere uma coluna de fluido 流体 com densidade $\rho$, área transversal 横截面积 $A$ e altura $\Delta h$. Seu peso é

Esse peso pressiona para baixo sobre a área $A$ na base, então a pressão extra na base comparada com o topo é

Esta é a equação da pressão hidrostática 流体静压强. Ela depende apenas da densidade do fluido e da profundidade 深度 — a forma do recipiente não importa.

Exemplo resolvido. Encontre a pressão extra devido à água na base de uma piscina de profundidade $2.5\ \text{m}$. (Densidade da água $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para um submarino na profundidade $h$ abaixo da superfície, a pressão da água é $\rho_{\text{seawater}}\, g\, h$. Para a pressão total, some a pressão atmosférica 大气压强 na superfície (cerca de $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$).

Empuxo e princípio de Arquimedes

Quando um objeto está submerso 浸没 em um fluido, a pressão na parte inferior do objeto é maior que a pressão na parte superior (por $\rho g \Delta h$, onde $\Delta h$ é a altura do objeto). Essa diferença gera uma força líquida para cima chamada empuxo 浮力.

Para um objeto de volume $V$ (o volume de fluido deslocado 排开), o empuxo é

Este é o princípio de Arquimedes 阿基米德原理: o empuxo sobre um corpo em um fluido é igual ao peso do fluido que ele empurrou para fora.

Exemplo resolvido. Um bloco metálico de volume $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ está totalmente submerso em água. Encontre o empuxo sobre ele. (Densidade da água $1000\ \text{kg m}^{-3}$, $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$.)

Para um objeto totalmente submerso, $V$ é seu volume total. Para um objeto flutuante 漂浮, $V$ é apenas o volume abaixo da superfície — o objeto flutua quando o empuxo na parte abaixo da superfície é igual ao seu peso.

Se um objeto flutua ou não depende das densidades: para um objeto totalmente submerso, a razão entre empuxo e peso é $\rho_{\text{fluid}} V g / \rho_{\text{object}} V g = \rho_{\text{fluid}} / \rho_{\text{object}}$, então ele flutua se for menos denso que o fluido e afunda se for mais denso. Reduzir pela metade a densidade do objeto dobra essa razão; alterar seu volume ou a profundidade não muda nada.

Exemplo resolvido. Um cilindro de massa $11\ \text{kg}$ e diâmetro $0.78\ \text{m}$ flutua verticalmente na água de densidade $990\ \text{kg m}^{-3}$. Encontre a profundidade $y$ de sua base abaixo da superfície.

Flutuar significa empuxo $=$ peso. O volume submerso é a área da base vezes a profundidade, $A y$, com $A = \pi \times 0.39^{2} = 0.478\ \text{m}^{2}$:

Cada newton extra de carga no cilindro precisa de uma profundidade extra de $1 / (\rho g A)$, então a profundidade aumenta em linha reta com o peso adicionado, independentemente de onde no cilindro ele seja colocado.

Equilíbrio de forças com empuxo

Um bloco segurado debaixo d'água por uma corda amarrada ao fundo do recipiente está em equilíbrio sob três forças verticais: peso (para baixo), tensão 张力 (para baixo), empuxo (para cima). Iguale $F_{\text{upthrust}} = W + T$ para encontrar a tensão.

Um bloco submerso pendurado em um dinamômetro 弹簧测力计 mostra menos que seu peso no ar, devido ao empuxo: leitura $= W - F_{\text{upthrust}}$.

Exemplo resolvido. Um cilindro de peso $25.0\ \text{N}$ pendura-se em um dinamômetro totalmente submerso em água, e o instrumento lê $10.0\ \text{N}$. Encontre o volume do cilindro.

O empuxo é o $15.0\ \text{N}$ faltante, e empuxo $= \rho g V$, logo $V = 15.0 / (1000 \times 9.81) = 1.53 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. O mesmo método encontra a densidade do cilindro: $25.0 / (9.81 \times 1.53 \times 10^{-3}) = 1670\ \text{kg m}^{-3}$.

O empuxo depende da densidade do fluido e do volume deslocado, não do material do objeto ou da profundidade (para um fluido incompressível 不可压缩). Em um planeta com $g$ menor, o empuxo é menor na mesma proporção do peso, então um objeto flutuante ainda flutua com a mesma fração abaixo da superfície.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Calcule os momentos em relação a uma articulação escolhida; para o equilíbrio, o momento total horário $=$ o momento total anti-horário e a força resultante é zero.
• Um corpo em equilíbrio sob três forças forma um triângulo fechado de forças.
• Pressão do fluido $= \rho g h$; empuxo $=$ peso do fluido deslocado (Arquimedes).
• Diferencie massa, peso e densidade, e forneça a unidade base de cada um.

Erros comuns

• Resolva com $\cos\theta$ quando a geometria exigir $\sin\theta$. Desenhe o triângulo e verifique de que lado do ângulo está o cateto adjacente antes de escolher.
• Substituir o peso do objeto onde a questão trata do empuxo sobre ele. O empuxo é o peso do fluido deslocado, $\rho_{\text{fluid}} V g$.
• Esquecer o peso de uma viga uniforme. Ele atua no centro e tem um momento em relação a qualquer articulação que não esteja no centro.
• Usar a distância ao longo da barra para uma força inclinada. O momento precisa da distância perpendicular ou da componente perpendicular da força.
• Calcular o torque de um bin como $Fd$ com $d$ medido a partir da articulação. A distância é entre as duas linhas de ação, então um bin simétrico dá $2Fd$.

Trabalho realizado por uma força

Trabalho 功 é realizado quando uma força desloca seu ponto de aplicação ao longo da linha de ação da força. Para a definição de uma marca, escreva: trabalho realizado é o produto da força pela distância percorrida na direção da força. O trabalho realizado por uma força constante $F$ que causa um deslocamento 位移 $s$ é

onde $\theta$ é o ângulo entre a força e o deslocamento. Apenas a componente 分量 da força ao longo do deslocamento realiza trabalho.

Exemplo resolvido. Uma criança puxa um trenó $5.0\ \text{m}$ sobre a neve com uma corda, usando uma força de $20\ \text{N}$ a $60°$ em relação ao chão. Encontre o trabalho realizado pela corda.

Unidade: $\text{J} = \text{N m}$. Trabalho é uma grandeza escalar 标量.

Casos especiais:

• força na mesma direção do movimento ($\theta = 0$): $W = Fs$, trabalho positivo, energia 能量 fornecida ao objeto.
• força em ângulo reto em relação ao movimento ($\theta = 90°$): $W = 0$. A força de contato normal 支持力 sobre um carro em uma estrada plana não realiza trabalho.
• força oposta ao movimento ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, trabalho negativo, energia removida do objeto (por exemplo atrito 摩擦力).

Para um objeto subindo uma rampa com ângulo $\alpha$ em relação à horizontal 水平, o trabalho realizado contra a gravidade ao subir uma altura $h$ é $mgh$, enquanto o trabalho realizado por um empurrão horizontal sobre o comprimento da rampa $L$ usa $\cos\alpha$.

Dois testes de múltipla escolha da definição: nenhum trabalho é realizado sobre um objeto que desliza com velocidade constante sobre uma superfície sem atrito (nenhuma força ao longo do movimento), ou sobre um que é simplesmente segurado parado (nenhuma distância percorrida); trabalho é realizado quando uma força o levanta. E quando uma caixa é empurrada com velocidade constante sobre um piso áspero, o trabalho realizado pelo empurrão é $F \times d$ para a distância total, independentemente de o trajeto ser dividido em etapas.

Exemplo resolvido. Um bloco de massa $4.9\ \text{kg}$ é empurrado com velocidade constante por uma rampa áspera de comprimento $8.0\ \text{m}$ que sobe $1.5\ \text{m}$, por uma força de $12\ \text{N}$ atuando ao longo da rampa. Encontre o trabalho realizado contra o atrito.

Velocidade constante significa nenhuma mudança na energia cinética, então o trabalho realizado pelo empurrão é compartilhado entre o ganho em energia potencial gravitacional e o trabalho realizado contra o atrito. Trabalho pelo empurrão: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Ganho em EPGrav, usando a elevação vertical: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Então o trabalho realizado contra o atrito é $96 - 72 = 24\ \text{J}$, e a força de atrito é $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Usar o comprimento da rampa em $mgh$ é o erro mais comum nesta questão.

Conservação de energia

Energia nunca é criada nem destruída — ela apenas muda de uma forma para outra, ou se move de um objeto para outro. Em um sistema isolado 封闭系统, a energia total permanece constante. Isso é conservação de energia 能量守恒, formulado para as marcas como: a energia não pode ser criada nem destruída; ela só pode ser transferida de uma forma para outra (portanto a energia total de um sistema isolado é constante).

Ao escrever uma equação de energia, liste todas as formas nas quais a energia começa e termina. Formas comuns neste programa: cinética, potencial gravitacional, energia potencial elástica 弹性势能, elétrica 电能, térmica, sonora, energia química 化学能.

Uma bola rolando por uma ramp 斜坡 sem atrito 无摩擦 transforma energia potencial gravitacional 重力势能 em energia cinética 动能: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, então $v = \sqrt{2gh}$. Com atrito, parte dessa energia se torna energia térmica 热能 da rampa e do ar.

Exemplo resolvido. Uma bola é solta do repouso no topo de uma rampa lisa $1.2\ \text{m}$ de altura. Encontre sua velocidade na base (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Toda a energia potencial gravitacional se torna energia cinética, então $v = \sqrt{2gh}$ (a massa se cancela):

A mesma ideia lê um gráfico. Para uma bola caindo de altura $H$ com resistência do ar desprezível, a EPGrav cai em linha reta com a altura ($mgh$), a EC sobe em linha reta ($mg(H - h)$), e as duas somam a constante $mgH$ em toda altura.

A cadeia de energia pode passar por uma mola. Um bloco que atinge uma mola com energia cinética $110\ \text{J}$ enquanto desliza um pouco cuesta abaixo, de modo que sua EPGrav diminui adicionalmente em $20\ \text{J}$ antes que a mola o pare, armazena $110 + 20 = 130\ \text{J}$ de energia potencial elástica na maior compressão, se nada for perdido para o atrito. O gráfico de força versus compressão da mola então fornece a compressão: a energia armazenada é a área sob a linha, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ para uma mola que obedece à lei de Hooke (tópico 6), então uma força máxima de $2600\ \text{N}$ significa $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. Naquele instante, a força resultante sobre o bloco é a força da mola menos a componente do peso para baixo da rampa, e sua aceleração segue de $F = ma$ (tópico 3).

Eficiência

A eficiência 效率 de um sistema é

A mesma ideia com potência:

Eficiência é sempre menor que 100% em um sistema real, porque alguma energia de entrada se torna formas "inúteis" — geralmente energia térmica. Se uma energia total $E$ é fornecida e uma quantidade $Q$ é desperdiçada, a saída útil é $E - Q$ e a eficiência é $(E - Q) / E$; um motor classificado com entrada de $1.7\ \text{kW}$ e eficiência $53\%$ entrega $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ de saída útil.

Para um motor elétrico levantando uma carga com eficiência $\eta$ a tensão 电压 $V$ e corrente 电流 $I$, a potência de saída útil é $\eta V I$. A partir disso você pode encontrar uma força, uma velocidade de elevação ou uma tensão 张力.

Exemplo resolvido. Um motor elétrico levanta uma carga de $50\ \text{kg}$ a uma velocidade constante de $0.40\ \text{m s}^{-1}$ enquanto consome $250\ \text{W}$ de potência elétrica. Encontre sua eficiência (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

A potência de saída útil é $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, então

Exemplo resolvido. Um motor levanta um bloco com uma força de $240\ \text{N}$ por uma distância vertical de $12\ \text{m}$ em $60\ \text{s}$. A potência de entrada para o motor é $900\ \text{W}$. Encontre a potência de saída útil e a eficiência.

Trabalho realizado no bloco: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Potência de saída útil: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Eficiência: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. A maior parte da entrada vai para energia térmica no motor e em seu cabo. Invertendo, um motor de elevador com saída útil de $20\ \text{kW}$ levantando $1500\ \text{kg}$ por $20\ \text{m}$ consome $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.

Potência 功率 é a taxa de realização de trabalho, ou a taxa de transferência de energia:

Unidade: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. Potência é uma grandeza escalar.

Potência, força e velocidade

Para um objeto movendo-se com velocidade 速度 $v$ com uma força $F$ ao longo da direção do movimento, em um curto intervalo de tempo $\Delta t$ o deslocamento é $v\,\Delta t$ e o trabalho realizado é $F v\,\Delta t$. Dividindo por $\Delta t$:

Este é um dos resultados mais úteis da mecânica. Uma resposta de "dedução $P = Fv$" precisa exatamente dessas três linhas: $P = W / t$, $W = Fs$ para uma força ao longo do movimento, e $s / t = v$; então use-o para resolver problemas em que um veículo ou carga se move a velocidade constante.

Exemplo resolvido. Um carro viaja a uma velocidade constante de $25\ \text{m s}^{-1}$ contra uma força resistiva total de $600\ \text{N}$. Encontre a potência de saída do seu motor.

A velocidade constante a força motriz é igual à força resistiva, portanto

• Para um carro com velocidade constante $v$ em uma estrada plana, a potência do motor deve equilibrar a força resistiva total: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Se o arrasto 阻力 aumenta com $v^{2}$, dobrar a velocidade aproximadamente quadruplica a potência necessária.
• Para levantar um peso 重力 $mg$ verticalmente a velocidade constante $v$, a potência útil de saída é $P = mg \cdot v$.
• Para uma aeronave pairando a altura fixa, a força de sustentação é igual ao peso, e uma grande potência é necessária porque o ar deve ser empurrado para baixo o tempo todo.
• Uma guindaste elevando $600\ \text{kg}$ a uma velocidade constante de $12\ \text{m}$ por minuto levanta a $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, então sua potência útil de saída é $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Converta a velocidade para $\text{m s}^{-1}$ primeiro.
• Um veleiro empurrado por uma força de vento constante a velocidade constante também deve sentir uma força resistiva igual da água: velocidade constante significa força resultante zero, então a potência do vento $Fv$ está toda sendo usada no trabalho contra a água.

Em um campo gravitacional uniforme (perto da superfície de um planeta), a variação na energia potencial gravitacional de massa 质量 $m$ subindo ou descendo uma altura $\Delta h$ é

De onde vem

O trabalho feito contra a gravidade para elevar uma massa $m$ lentamente (sem mudança na energia cinética) através de uma altura $\Delta h$ é igual à energia potencial gravitacional ganho:

• a força gravitacional sobre a massa é $mg$ para baixo,
• a força necessária para levantá-la lentamente é $mg$ para cima,
• o trabalho feito por essa força é $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• esse trabalho torna-se $\Delta E_{\text{P}}$.

Então $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Para usá-lo você precisa de $m$ e $\Delta h$ (e $g$). Você não precisa de velocidade ou tempo. A dedução de duas marcas quer as mesmas quatro linhas, com a condição declarada: o bloco é elevado a velocidade constante, então a força de levantamento é igual ao peso $mg$, e o trabalho feito por essa força sobre a distância vertical $\Delta h$ é $mg\Delta h$, que é o ganho na energia potencial gravitacional. Um objeto $100\ \text{g}$ caindo $10\ \text{m}$ perde $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, cerca de $10\ \text{J}$; a massa deve estar em quilogramas.

A energia cinética de um objeto de massa $m$ movendo-se a velocidade $v$ é

De onde vem

Aplique uma força resultante $F$ a uma massa $m$ que começa em repouso. Ela acelera uniformemente de $0$ para $v$ ao longo de um deslocamento $s$. De $v^{2} = u^{2} + 2as$ com $u = 0$,

O trabalho feito na massa é

Todo esse trabalho torna-se energia cinética, então $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. No exame, declare as suposições conforme avança: o objeto parte do repouso, a força é constante, então a aceleração é uniforme, e $F = ma$ é a segunda lei de Newton.

Porque $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, quadruplicar a velocidade multiplica a energia cinética por dezesseis: um objeto com $1500\ \text{J}$ a $10\ \text{m s}^{-1}$ tem $24\,000\ \text{J}$ a $40\ \text{m s}^{-1}$. O mesmo quadrado é por que uma força de parada é encontrada a partir da energia: uma bola de massa $1.2\ \text{kg}$ movendo-se a $3.0\ \text{m s}^{-1}$ que é parada por uma almofada sobre $0.020\ \text{m}$ perde $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, então a força média sobre ela é $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: o trabalho feito pela almofada é igual à energia cinética perdida.

Energia cinética e momento

Combinando $p = mv$ e $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

Isso é útil quando o momento 动量 é dado mas não a velocidade. Para uma mudança de momento de $p_{1}$ para $p_{2}$ a massa constante, a mudança na energia cinética é $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.

Um plano útil para problemas que misturam forças e energia:

1. Encontre os estados inicial e final. Escreva as energias cinéticas e potenciais em cada.
2. Liste qualquer trabalho feito por forças externas (atrito, empurrão). O atrito geralmente remove energia; um empurrão pode adicioná-la.
3. Conservação de energia: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.

Exemplos:

• Uma caixa empurrada a velocidade constante para cima de uma rampa de comprimento $L$ subindo por $h$: $E_{\text{K}}$ não muda, então o trabalho feito pelo empurrão vai para $\Delta E_{\text{P}}$ mais o trabalho feito contra o atrito.
• Um bloco deslizando para dentro de uma mola 弹簧 com energia cinética $E_{\text{K}}$ em uma superfície sem atrito: na maior compressão 压缩 $x$, toda a energia cinética tornou-se energia potencial elástica $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (onde $k$ é a constante da mola 劲度系数).
• Uma bola solta de altura $h_{1}$ que quica até altura $h_{2}$: a razão $h_{2}/h_{1}$ é a fração de energia mecânica mantida, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
• Um projétil 抛体 lançado até a mesma altura em diferentes ângulos: a velocidade final é a mesma (apenas a altura importa); use componentes para obter sua direção.
• Um saltador de bungee 蹦极者: da plataforma até o ponto onde a corda fica esticada, EPG torna-se EC; daí a corda se estica e leva energia como energia potencial elástica, então a EC atinge seu máximo onde a tração da corda primeiramente iguala o peso, depois cai a zero no ponto mais baixo, onde EPG perdido $=$ EP elástica armazenada (mais qualquer energia térmica).

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Trabalho $=$ força $\times$ distância percorrida na direção da força — use $Fs\cos\theta$ quando estão em um ângulo.
• Use conservação de energia: perda em EPG $=$ ganho em EC ($+$ trabalho feito contra resistência).
• Potência $=$ trabalho $/$ tempo $= Fv$; eficiência $=$ saída útil $\div$ entrada total.
• EPG usa a altura vertical ganha, não a distância ao longo de uma inclinação.

Erros comuns

• Dar a mudança na altura como a resposta para uma pergunta de mudança de energia. Termine o cálculo: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
• Usar a distância ao longo de uma inclinação como a altura em $mg\Delta h$, ou usar massa onde peso é necessário. Use a altura vertical ganha, e verifique se a quantidade desejada é $m$ em kg ou $W$ em N.
• Colocar a força resistiva em $P = Fv$ para um carro que está acelerando. $F$ é a força motriz; apenas a velocidade constante ela é igual à força resistiva.
• Eficiência acima de 100%, ou eficiência como saída dividida pelo desperdício. É a saída útil dividida pela entrada total, e a entrada total é sempre o número maior.
• Ler a inclinação de um gráfico de força-extensão quando a questão quer a energia. A energia armazenada é a área sob a linha, não sua inclinação.

Quando uma força atua em um sólido ao longo de seu comprimento, o objeto muda de forma (deformação 形变). Dois casos (tratados aqui como unidimensionais):

• uma força tracionante 拉伸 estica o objeto — faz uma extensão 伸长量 $x$,
• uma força compressiva aperta o objeto — faz uma compressão 压缩, tratada como uma extensão negativa.

A força aplicada é a carga 负载. A mudança do comprimento natural é a extensão (ou compressão).

Ambos são medidos a partir do comprimento natural, não esticado, nunca a partir do comprimento carregado: em um diagrama de uma mola sob uma caixa, a distância que a mola encurtou é sua compressão. A massa própria de uma mola geralmente é dita negligenciável 可忽略的, então as únicas forças sobre ela são a carga e a tensão que ela fornece.

Para muitos materiais em pequenas extensões, a extensão é proporcional à carga — isso é a Lei de Hooke 胡克定律. A constante que os liga é a constante da mola 劲度系数 $k$:

Unidade de $k$: $\text{N m}^{-1}$.

Exemplo resolvido. Uma mola estica-se em $4.0\ \text{cm}$ quando uma carga de $2.0\ \text{N}$ é pendurada nela. Encontre sua constante da mola.

Convertendo a extensão para metros ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

Para a questão de um ponto "enuncie a lei de Hooke", escreva-a em palavras: a extensão é diretamente proporcional à força aplicada (carga), desde que o limite de proporcionalidade não seja excedido. A constante da mola é a força por unidade de extensão; as alternativas incorretas de múltipla escolha são "extensão por unidade de força" (isto é $1/k$) e $\tfrac{1}{2}Fx$ (a energia armazenada).

Lendo um gráfico:

• Um gráfico de força–extensão ($F$ contra $x$) tem inclinação $k$ na região da lei de Hooke.
• Um gráfico de extensão–força ($x$ contra $F$) tem inclinação $1/k$ na região da lei de Hooke.

Uma armadilha comum: se um gráfico plota comprimento $L$ contra força, você ainda pode encontrar a constante da mola a partir da inclinação (já que $L = L_{0} + F/k$, a inclinação é $1/k$ — leia com cuidado).

Exemplo resolvido. Uma mola tem comprimento $90\ \text{mm}$ sob uma força de $0.80\ \text{N}$ e $115\ \text{mm}$ sob $1.30\ \text{N}$. Encontre a constante da mola e o comprimento sem alongamento.

A força extra $0.50\ \text{N}$ produz a extensão extra $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, então $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. Em $0.80\ \text{N}$ a extensão é $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, então o comprimento sem alongamento é $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. Em um gráfico de comprimento contra força, o intercepto no eixo do comprimento é $L_{0}$, a inclinação é $1/k$, e o trabalho realizado ao esticar a mola é o triângulo entre a linha e o nível $L = L_{0}$, não toda a área até o eixo da força: o retângulo abaixo $L_{0}$ é o comprimento sem alongamento multiplicado pela força, o que não significa nada.

Limite de proporcionalidade

A lei de Hooke só vale até o limite de proporcionalidade 比例极限. Após esse ponto, a linha de $F$ contra $x$ curva-se e deixa de ser reta. O material ainda pode ser elástico 弹性 (retorna ao seu primeiro comprimento quando você remove a carga) um pouco mais, depois torna-se plástico 塑性.

Molas em série e paralelo

Você pode precisar combinar constantes de mola:

• Série 串联 (uma mola pendurada de outra): a mesma carga passa por ambas, a extensão total é a soma, então $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
• Paralelo 并联 (duas molas lado a lado segurando a mesma carga): cada uma suporta metade da carga (se forem idênticas), as extensões são iguais, então $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.

Exemplo resolvido. Molas de constante $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ e $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ são unidas ponta a ponta e uma carga de $80\ \text{N}$ pende delas. Encontre a extensão total.

Cada mola carrega a carga completa $80\ \text{N}$, então as extensões são $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ e $80/4.0 = 20\ \text{cm}$: um total de $33\ \text{cm}$ (o mesmo que $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ de $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Três molas idênticas dão a maior constante combinada quando todas estão em paralelo ($3k$) e a menor quando todas estão em série ($k/3$). Quando uma carga é dividida por duas molas idênticas em paralelo, cada uma carrega metade da força e, portanto, armazena um quarto da energia de uma mola segurando a carga inteira; o par juntos armazena metade da energia da única mola. Uma constante de mola em $\text{N cm}^{-1}$ é $100$ vezes menor do que a mesma constante em $\text{N m}^{-1}$; dê a unidade que a pergunta solicitar.

Para um fio de seção transversal uniforme sob carga de tração:

• Tensão 应力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$, onde $F$ é a carga e $A$ é a área da seção transversal 横截面积. Unidade: $\text{Pa}$.
• Deformação 应变 $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, onde $x$ é a extensão e $L_{0}$ é o comprimento original. Deformação não tem unidade (é uma razão de comprimentos).

Para as definições de um ponto: tensão é a força por unidade de área da seção transversal (a força atuando normalmente à área); deformação é a extensão por unidade de comprimento original. A unidade de tensão, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, é $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ em unidades base. A área de um fio redondo vem de seu diâmetro $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, e usar $d$ em vez de $r$ torna a área quatro vezes maior. Converta $\text{mm}^{2}$ para $\text{m}^{2}$ usando $10^{-6}$.

Exemplo resolvido. Uma força de tração de $18\ \text{N}$ age em um fio de área de seção transversal $3.2\ \text{mm}^{2}$. Encontre a tensão.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. A mesma força age ao longo de todo o fio, então um parafuso cujo diâmetro é $2d$ em uma extremidade e $d$ na outra tem quatro vezes a tensão na extremidade mais estreita ($\sigma \propto 1/d^{2}$), e um fio de três vezes o raio carrega um nono da tensão.

O módulo de Young 杨氏模量 é a razão entre tensão e deformação na região da lei de Hooke:

Unidade: $\text{Pa}$ (cerca de $10^{11}$ para metais; ex.: aço $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

Exemplo resolvido. Um fio de aço de comprimento $2.0\ \text{m}$ e área de seção transversal $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ estica-se em $1.0\ \text{mm}$ sob uma carga de $15\ \text{N}$. Encontre o módulo de Young.

O módulo de Young é uma propriedade do material — não depende do formato ou tamanho do fio. A constante da mola $k$ depende tanto do material quanto do tamanho: $k = EA/L_{0}$.

Para a definição de um ponto: o módulo de Young é a razão entre tensão e deformação (para um material deformado dentro de seu limite de proporcionalidade). Como pertence ao material, um fio mais espesso do mesmo metal tem o mesmo módulo de Young: ele estica menos sob a mesma carga porque sua área é maior, não porque o metal é mais rígido. Uma questão "mostre que $k = EA/L_{0}$" pede duas linhas: $k = F/x$ e $E = FL_{0}/(Ax)$, logo $E = kL_{0}/A$. Duas coisas decorrem disso: a constante de mola de um fio permanece constante enquanto a lei de Hooke vale, independentemente da força, e um fio do mesmo metal com dois vezes o diâmetro tem quatro vezes a constante de mola.

Exemplo resolvido. Um fio de cobre de comprimento $1.7\ \text{m}$ e diâmetro $0.64\ \text{mm}$ tem módulo de Young $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Encontre sua constante de mola.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, logo $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$.

Em um gráfico de tensão–deformação, a inclinação da parte reta é $E$, então, de dois materiais desenhados nos mesmos eixos, a linha mais íngreme é do material mais rígido, e um fio com dobro do módulo de Young é desenhado como uma linha pela origem com o dobro da inclinação. Em um gráfico de força–extensão, a inclinação é $EA/L_{0}$ e o módulo de Young é a inclinação multiplicada por $L_{0}/A$; apenas um gráfico de tensão–deformação tem inclinação igual a $E$ propriamente dito.

Experimento para encontrar o módulo de Young de um fio metálico

Um equipamento padrão:

1. Prenda uma extremidade de um fio longo e fino a um suporte fixo. Passe o fio por uma polia 滑轮 na borda da bancada para que ele pendure reto.
2. Meça o comprimento original $L_{0}$ entre o prendedor e um marcador próximo à polia, usando uma régua métrica.
3. Meça o diâmetro 直径 $d$ do fio em vários lugares com um micrômetro 螺旋测微器 e tire a média. Calcule $A = \pi d^{2}/4$.
4. Pendure pesos um de cada vez. Registre a carga $F$ e a extensão $x$ (o quão longe o marcador se move contra uma escala fixa).
5. Plote $F$ contra $x$. Na região reta, a inclinação é $EA/L_{0}$, logo $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

Por que um fio longo e fino? Para tornar a extensão grande o suficiente para medir bem. Por que repetir leituras e medir $d$ em vários lugares? Para reduzir erro aleatório 随机误差 e verificar se o fio é uniforme.

Uma resposta "descreva um experimento" ganha pontos pelas quantidades medidas e como ($L_{0}$ com uma régua métrica; $d$ com um micrômetro em vários pontos; a carga pelos massas ou um dinamômetro; a extensão por um marcador lido contra uma escala fixa, ou uma escala de vernier), o gráfico ($F$ contra $x$, inclinação $EA/L_{0}$, ou tensão contra deformação, inclinação $E$) e as precauções: óculos de proteção caso o fio arrebente, uma carga pequena primeiro para alinhar os nós, e leituras feitas durante a descarga além da carga para verificar se o fio permaneceu elástico.

À medida que a carga aumenta:

1. Elástico e reto (obedece a Hooke) — até o limite de proporcionalidade. Remover a carga retorna o objeto ao seu primeiro comprimento.
2. Elástico mas curvo — entre o limite de proporcionalidade e o limite elástico 弹性极限. A extensão já não é reta na carga, mas na descarga o objeto ainda retorna ao seu primeiro comprimento.
3. Plástico — além do limite elástico. Na descarga, o objeto não retorna ao seu primeiro comprimento; uma extensão permanente permanece.

A lei de Hooke só vale na região reta e elástica.

Em palavras: deformação elástica significa que o objeto retorna ao seu comprimento (ou forma) original quando a carga é removida; deformação plástica significa que ele não retorna, e permanece uma extensão permanente; o limite elástico é a carga máxima (ou extensão) para a qual a deformação ainda é elástica; o limite de proporcionalidade é o ponto além do qual a extensão deixa de ser proporcional à carga. Em um gráfico, o limite de proporcionalidade é onde a linha deixa de ser reta. O limite elástico fica um pouco além dele e não pode ser lido apenas pela linha de carregamento. Portanto, em uma questão "qual afirmação deve estar correta", o final da parte reta é o limite de proporcionalidade, mas se um ponto posterior é o limite elástico ou o ponto de ruptura não pode ser determinado apenas pela forma da linha de carregamento.

Em um gráfico de força–extensão para um material levado para a região plástica e depois descarregado, a linha de carregamento e a linha de descarregamento são diferentes. A linha de descarregamento é paralela à primeira linha de Hooke, mas deslocada para a direita (a extensão permanente deixada quando a carga atinge zero). A área entre as linhas de carregamento e descarregamento é a energia convertida em energia térmica 热能 no material.

Uma elástica 橡皮筋 também tem curvas de carregamento e descarregamento diferentes, mas retorna ao seu comprimento original: sua deformação é elástica. A área entre as duas curvas é novamente energia dissipada como energia térmica (histerese elástica 弹性滞后), e a energia recuperada no descarregamento é a área sob a curva inferior. A resposta de dois pontos "explique por que o trabalho realizado ao esticar o fio não é igual à energia recuperada quando a força é removida" diz que o fio foi levado além do seu limite elástico, portanto parte da deformação é plástica e uma extensão permanente permanece, e que parte do trabalho realizado tornou-se energia térmica no fio.

O trabalho realizado ao esticar um material de $0$ para extensão $x$, conforme a carga cresce de $0$ para $F$, é a área sob o gráfico de força–extensão.

Por que a área: o trabalho realizado é força multiplicada pela distância percorrida, mas aqui a força cresce à medida que o material estica, então o trabalho é a soma de $F\,\Delta x$ sobre muitas pequenas extensões, que é a área sob a linha. Dentro do limite de proporcionalidade, a força aumenta uniformemente de $0$ para $F$, então a força média é $\tfrac{1}{2}F$ e o trabalho é $\tfrac{1}{2}Fx$. Em um gráfico de força–extensão, a inclinação é a constante da mola.

Material de lei de Hooke

Quando a lei de Hooke se aplica, o gráfico de $F$ contra $x$ é uma linha reta que passa pela origem. A área sob ela de $0$ a $x$ é um triângulo:

Esta é a energia potencial elástica 弹性势能 armazenada em uma mola ou fio esticado dentro do seu limite de proporcionalidade. Uma forma equivalente:

Exemplo resolvido. Uma mola de constante de mola $50\ \text{N m}^{-1}$ é esticada em $0.20\ \text{m}$, dentro do seu limite de proporcionalidade. Encontre a energia potencial elástica armazenada.

Exemplo resolvido. Um fio de constante de mola $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ já está esticado em $2.0\ \text{mm}$. Encontre o trabalho realizado para aumentar sua extensão para $3.0\ \text{mm}$.

A energia armazenada sobe de $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ para $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Esta é a trapézio sob a linha entre as duas extensões, não $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Como $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ em $k$ fixo, dobrar a extensão de um fio armazena quatro vezes a energia ($0.65\ \text{J}$ torna-se $2.6\ \text{J}$), e uma energia armazenada dá a extensão como $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: uma mola de $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ armazenando $0.32\ \text{J}$ é comprimida em $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Para dois fios ligados ponta a ponta, a tensão é a mesma em ambos, então a energia total armazenada é $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ com a própria extensão de cada fio.

Material não-Hookeano

Para um gráfico que não é uma linha reta (uma elástica esticada, ou uma mola além do seu limite de proporcionalidade), encontre a área contando os quadrados da grade ou usando trapézios 梯形. A mesma ideia se aplica: a área sob o gráfico de força–extensão é o trabalho realizado sobre o material. Para estimar o trabalho realizado até o ponto de ruptura, conte os quadrados sob toda a curva (quadrados parciais como metades) e multiplique pela energia que um quadrado representa, o passo de força multiplicado pelo passo de extensão; dizer que a área foi encontrada contando quadrados é a marca "explique seu raciocínio".

Comparando energia armazenada

Um caso comum de múltipla escolha: dois materiais são esticados pela mesma força, ou pela mesma extensão. Usando $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• mesma $F$, menor $k$ (menos rígido) → maior $x$ → mais energia armazenada.
• mesma $x$, maior $k$ (mais rígido) → maior $F$ → mais energia armazenada.

Um esboço de $E_{\text{P}}$ contra extensão ou compressão é uma curva que passa pela origem e fica mais íngreme ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), não uma linha reta. De dois fios do mesmo comprimento e área sob a mesma carga, aquele com o módulo de Young menor estica mais e, portanto, armazena mais energia.

Quando uma mola esticada é liberada sobre uma massa, a energia potencial elástica torna-se energia cinética 动能 (e energia potencial gravitacional se a massa subir). Iguale $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ a $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (mais qualquer $mgh$) para encontrar a velocidade ou a altura.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Lei de Hooke ($F = kx$) só se aplica até o limite de proporcionalidade.
• Tensão $= F/A$, deformação $= x/L$, módulo de Young $=$ tensão$/$/deformação (inclinação da parte reta do gráfico de tensão-deformação) — atenção às unidades (Pa).
• Energia armazenada $=$ área sob o gráfico de força-extensão $= \frac{1}{2}Fx$ na região elástica.
• Distinguir elástica (retorna à forma) de plástica (permanente) deformação.

Erros comuns

• Usar o diâmetro como raio em $A = \pi r^{2}$, ou deixar uma área em $\text{mm}^{2}$. Divida o diâmetro primeiro; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• Lendo o trabalho realizado em um gráfico de comprimento-força como a área inteira até o eixo. Apenas o triângulo acima de $L_{0}$ é trabalho.
• Tratar a energia armazenada como proporcional à extensão. Ela varia com $x^{2}$: dobre a extensão, quatro vezes a energia; e o trabalho realizado entre duas extensões é a diferença de dois valores de $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
• Declarar a lei de Hooke sem sua condição. "Desde que o limite de proporcionalidade não seja excedido" faz parte da lei.
• Inverter o limite de proporcionalidade (o final da linha reta) e o limite elástico (o final do comportamento elástico, um pouco além dele).
• Dizer que um fio mais espesso tem um módulo de Young maior. O módulo é do material; o fio mais espesso tem uma constante de mola maior.

Uma onda 波 carrega energia 能量 de um lugar para outro sem mover matéria em geral. As partículas do meio 介质 oscilam 振动 em torno de posições de repouso fixas; apenas a perturbação (e sua energia) propaga-se 传播. Exemplos: uma onda transversal 横波 em uma corda, uma onda longitudinal 纵波 em uma mola espiral, onzas na água e som no ar. Uma onda que viaja e carrega energia é uma onda progressiva 行波.

Movimento ondulatório 波动 é uma série de oscilações das partículas de um meio, cada uma passando a perturbação para a próxima: agite uma extremidade de uma corda, empurre uma extremidade de uma mola, ou toque a superfície da água em uma piscina de ondas 水波槽, e a oscilação viaja para longe de onde começou. Para a definição de um ponto, uma onda progressiva transfere energia de um lugar para outro sem transferir matéria; as partículas apenas oscilam em torno de suas posições de repouso.

Termos-chave

• deslocamento 位移 $y$ — quão longe uma partícula se moveu de sua posição de repouso em um momento. Um vetor 矢量.
• amplitude 振幅 $A$ — o maior deslocamento em relação à posição de repouso.
• comprimento de onda 波长 $\lambda$ — a menor distância ao longo da onda entre dois pontos que se movem em fase 同相 (por exemplo, dois cristas 波峰 vizinhos).
• período 周期 $T$ — o tempo para uma oscilação completa de uma partícula.
• frequência 频率 $f$ — o número de oscilações completas por segundo; $f = 1/T$. Unidade: hertz 赫兹, $\text{Hz}$.
• velocidade 速率 $v$ — a velocidade com que um crista se desloca ao longo do meio.
• phase difference 相位差 — a fração de um ciclo pela qual uma oscilação antecede ou atrasa outra. Expresso em radians 弧度 (um ciclo completo é $2\pi$) ou graus (um ciclo completo é $360°$).

Dois pontos separados por um comprimento de onda estão em fase (diferença de fase 0 ou $2\pi$). Dois pontos separados por metade de um comprimento de onda estão exatamente defasados (diferença de fase $\pi$).

Para encontrar a diferença de fase entre dois pontos num gráfico de deslocamento versus distância, divida a sua separação pelo comprimento de onda e multiplica por $360°$ (ou $2\pi$): dois pontos $0.50\ \text{m}$ separados numa onda de comprimento de onda $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) diferem em fase por $0.25 \times 360° = 90°$. Apenas importa a fração de um ciclo, logo $450°$ é igual a $90°$. A partir de dois gráficos de deslocamento versus tempo, lê o desfasamento temporal entre os picos como fração do período. Qual é a direção de movimento de um ponto no instante em que o gráfico o mostra? O perfil inteiro move-se para frente, assim cada ponto assume o deslocamento que o seu vizinho do lado de onde a onda vem tem agora; um ponto num crista ou num vale está momentaneamente em repouso.

Exemplo resolvido. Os pontos R e T numa corda estão $0.62\ \text{cm}$ separados e defasados um quarto de ciclo. A velocidade da onda é $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a frequência.

Um quarto de ciclo corresponde a um quarto de comprimento de onda, logo $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ e $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.

A equação da onda

Num período $T$, a onda desloca-se para a frente num comprimento de onda $\lambda$. Logo a velocidade $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

Isso vem diretamente das definições de velocidade, frequência e comprimento de onda, e funciona para toda onda progressiva. Para a derivação de duas marcas, escreva ambas as etapas: em um período $T$ a onda percorre um comprimento de onda $\lambda$, então $v = \lambda / T$; e $f = 1/T$, então $v = f\lambda$. Como $v$ é fixo pelo meio, uma frequência mais alta significa um comprimento de onda mais curto. Uma pergunta sobre período é a mesma equação do outro lado: luz de comprimento de onda $460\ \text{nm}$ tem $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ e $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$.

Lendo um traço de CRO

Um osciloscópio de raios catódicos 示波器 (CRO) desenha um sinal de tensão — para som, a saída de um microfone — contra o tempo. Dois controlos são importantes:

• time-base 时基 (segundos por divisão horizontal): converte a distância horizontal no ecrã em tempo. Lê o período $T$ como a distância entre dois picos adjacentes, depois $f = 1/T$.
• y-gain 垂直增益 (volts por divisão vertical): converte a distância vertical em tensão. A amplitude em volts é a altura do pico em relação à linha central.

Se a base de tempo for $5\ \text{ms}/\text{div}$ e um ciclo completo levar $4$ divisões, então $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$ e $f = 50\ \text{Hz}$.

A base de tempo é o tempo representado por uma divisão (ou centímetro) horizontal no ecrã, em $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. Para a definir para um dado sinal, faz o cálculo inverso: um som de $2000\ \text{Hz}$ tem $T = 0.50\ \text{ms}$, logo para que um ciclo ocupe $2.5\ \text{cm}$ a base de tempo deve ser $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. Para a amplitude, multiplica a altura do pico em divisões pelo ganho y: $2.0$ divisões a $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ resulta em $7.0\ \text{mV}$. Quando a intensidade do som é reduzida a um quarto à mesma frequência, o traço mantém o seu período e os picos reduzem-se à metade em altura, pois $I \propto A^{2}$.

Intensidade de uma onda

Uma onda transporta energia. A intensidade 强度 num ponto é a potência 功率 que passa através de uma área unitária perpendicular à direção de propagação:

Unidade: $\text{W m}^{-2}$.

A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude:

Para uma fonte pontual 点源 que emite energia igualmente em todas as direções, as frentes de onda 波前 são esferas; a área de superfície a uma distância $r$ é $4\pi r^{2}$, logo

Dobrar a distância reduz a intensidade a um quarto, o que significa que a amplitude é reduzida à metade (já que $I \propto A^{2}$).

Exemplo resolvido. Uma lâmpada emite $60\ \text{W}$ de luz igualmente em todas as direções. Encontre a intensidade da luz a $2.0\ \text{m}$ de distância.

Exemplo resolvido. Luz de potência $750\ \text{W}$ incide perpendicularmente sobre um painel solar quadrado de lado $1.2\ \text{m}$. Encontre a intensidade.

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. Um painel menor na mesma luz recebe a mesma intensidade mas menos potência, proporcionalmente à sua área. Inversamente, uma lupa de raio $r$ recolhe uma potência $I \times \pi r^{2}$ e concentra-a num pequeno ponto.

Duas regras nas quais as questões de escolha múltipla se baseiam. Como $I \propto A^{2}$, a razão entre duas intensidades é o quadrado da razão entre as amplitudes: ondas de amplitude $3.0\ \text{cm}$ e $2.0\ \text{cm}$ têm intensidades numa razão de $2.25$, e quando uma amplitude cai para a metade a intensidade cai para um quarto. Para uma fonte pontual, $I \propto 1/r^{2}$ implica $A \propto 1/r$, logo um esboço de $A/A_{0}$ contra $d/x_{0}$ é uma curva que decresce como $1/d$, não uma linha reta. A afirmação de uma linha que o esquema pretende: a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude.

Ondas transversais

As partículas oscilam perpendicularmente 垂直 à direção em que a energia se desloca. Uma onda numa corda, todas as ondas eletromagnéticas e as ondas S na Terra são transversais.

Ondas longitudinais

As partículas oscilam paralelamente à direção em que a energia se desloca. O som em qualquer meio, as ondas P na Terra e as compressões numa mola de espiral são longitudinais. A onda é composta por compressões 压缩 (pressão mais alta, partículas próximas) e rarefeações 稀疏 (pressão mais baixa, partículas afastadas).

Gráficos de ondas

Um gráfico de deslocamento de partícula versus posição num instante dado parece uma curva senoidal 正弦曲线 para ambos os tipos de onda. A diferença: para uma onda transversal o eixo de deslocamento é o verdadeiro deslocamento lateral; para uma onda longitudinal é o pequeno deslocamento de vai-e-vem ao longo da direção de propagação (positivo num sentido, negativo no outro).

Para uma onda longitudinal considera o deslocamento para a direita como positivo. Onde o gráfico cruza zero indo de positivo para negativo, as partículas de ambos os lados moveram-se para esse ponto, logo é uma compressão; onde cruza de negativo para positivo elas afastaram-se, uma rarefeação. Duas compressões vizinhas estão separadas por um comprimento de onda, e uma compressão e a próxima rarefeação estão separadas por metade de um comprimento de onda. A direção de movimento de uma partícula segue a mesma regra que para uma onda transversal: move-se em direção ao deslocamento do seu vizinho do lado de onde a onda vem.

Um gráfico de deslocamento de partícula versus tempo num ponto específico do espaço também é uma curva senoidal para ambos os tipos. Lê o período $T$ neste gráfico.

A comparação de dois pontos, referindo-se à direção da transferência de energia: numa onda transversal as oscilações são perpendiculares à direção da transferência de energia; numa onda longitudinal são paralelas a ela. Ambos os tipos transferem energia sem transferir matéria, ambos podem ser refletidos, refratados e difratados, e ambos podem formar ondas estacionárias (tópico 8). Apenas ondas transversais podem ser polarizadas, e apenas ondas eletromagnéticas, que são todas transversais, podem viajar através do vácuo; o som precisa de um meio. Ler os dois gráficos juntos: o gráfico de deslocamento versus distância fornece $\lambda$, o gráfico de deslocamento versus tempo fornece $T$, e $v = \lambda / T$.

Quando a fonte 波源 de um som se move relativamente a um observador 静止 estacionário, a frequência ouvida é diferente da frequência da fonte. Este é o efeito Doppler 多普勒效应.

• fonte movendo-se em direção ao observador: as frentes de onda à frente são comprimidas, logo o comprimento de onda é menor e a frequência ouvida é mais alta.
• fonte afastando-se do observador: as frentes de onda atrás espalham-se, logo o comprimento de onda é maior e a frequência ouvida é mais baixa.

A fórmula (fonte movendo-se a velocidade $v_{\text{s}}$ ao longo da linha para o observador; velocidade da onda $v$, frequência da fonte $f_{\text{s}}$, frequência ouvida $f_{\text{o}}$):

Escolha o sinal para correspondê-lo à física:

• sinal de menos no denominador quando a fonte se move em direção ao observador ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• sinal de mais quando a fonte se move para longe ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).

Você só precisa do caso de um observador estacionário.

Exemplo resolvido. Uma buzina de carro a $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ move-se a $30\ \text{m s}^{-1}$ em direção a um ouvinte parado. Velocidade do som $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

Movendo-se para longe à mesma velocidade, o ouvinte ouve $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$: a frequência é constante enquanto o carro se aproxima, diminui conforme ele passa e torna-se novamente constante, mas menor, conforme ele se afasta. Um esboço da frequência observada contra o tempo para uma fonte que passa com velocidade constante mostra duas linhas horizontais ligadas por uma queda. Trabalhando ao contrário, uma fonte de $1200\ \text{Hz}$ ouvida como $960\ \text{Hz}$ está se movendo para longe ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ dá $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. Um zumbidor oscilado em um círculo horizontal a $25\ \text{m s}^{-1}$ enquanto emite $846\ \text{Hz}$ é ouvido entre $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (movendo-se diretamente para longe) e $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (movendo-se diretamente em direção), uma vez por revolução. Se o período de um traçado de CRO aumenta continuamente, a frequência observada está caindo: a fonte está se afastando com velocidade crescente. O efeito Doppler ocorre para todas as ondas, incluindo luz (tópico 25); apenas a fórmula do som é examinada aqui.

Todas as ondas eletromagnéticas 电磁波 (ondas EM) são transversais e viajam no vácuo 真空 à mesma velocidade:

O espectro eletromagnético 电磁波谱 inclui ondas de rádio, micro-ondas 微波, infravermelho 红外线, luz visível, ultravioleta 紫外线, raios-X X射线 e $\gamma$-raios γ射线.

Intervalos aproximados de comprimento de onda no espaço livre (aprenda as ordens de grandeza):

• ondas de rádio: $> 10^{-1}\ \text{m}$ (até vários km).
• micro-ondas: $10^{-3}\ \text{m}$ a $10^{-1}\ \text{m}$.
• infravermelho: $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ a $10^{-3}\ \text{m}$.
• luz visível: $400\ \text{nm}$ (violeta) a $700\ \text{nm}$ (vermelho), ou seja, $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ a $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• ultravioleta: $\sim 10^{-8}\ \text{m}$ a $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• raios-X: $\sim 10^{-11}\ \text{m}$ a $10^{-8}\ \text{m}$.
• $\gamma$-raios: $< 10^{-11}\ \text{m}$.

Os limites entre regiões não são nítidos. Use $c = f\lambda$ para alternar entre comprimento de onda e frequência. Apenas luz com comprimentos de onda $400$–$700\ \text{nm}$ pode ser vista.

Para identificar uma região, converta para um comprimento de onda usando $\lambda = c / f$ e compare com os intervalos: $2.1\ \text{cm}$ é uma micro-onda; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ é um raio-X; $30\ \text{THz}$ resulta em $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, infravermelho; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ resulta em $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, ultravioleta. A luz visível abrange frequências de cerca de $4.3 \times 10^{14}$ a $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$, então uma onda de $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ pode ser vista e uma de comprimento de onda $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ (infravermelho) não pode. A luz vermelha tem um comprimento de onda maior e uma frequência menor do que a verde. Uma lista "em ordem de comprimento de onda crescente" segue: $\gamma$-raios, raios-X, ultravioleta, visível, infravermelho, micro-ondas, ondas de rádio. Um pulso de luz refletido por uma parede $150\ \text{m}$ de distância retorna após $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$.

Polarização 偏振 significa fazer uma onda transversal oscilar em apenas um plano.

• Apenas ondas transversais podem ser polarizadas — a oscilação é perpendicular à direção de propagação, portanto diferentes planos perpendiculares são escolhas reais.
• Ondas longitudinais (som) não podem ser polarizadas — a oscilação é ao longo da direção de propagação, portanto não há outro plano.

Então a polarização é um teste: se uma onda pode ser polarizada, ela deve ser transversal.

Lei de Malus

Luz polarizada linearmente 平面偏振 de intensidade $I_{0}$ passa por um filtro polarizador 偏振片 cujo eixo de transmissão 透光轴 está em um ângulo $\theta$ em relação ao plano de polarização. A intensidade transmitida é dada pela Lei de Malus 马吕斯定律:

• $\theta = 0°$: filtro alinhado com a polarização, $I = I_{0}$, tudo passa.
• $\theta = 90°$: filtro em ângulo reto, $I = 0$, tudo bloqueado.
• $\theta = 60°$: $I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$.

Exemplo resolvido. Luz polarizada linearmente de intensidade $12\ \text{W m}^{-2}$ encontra um filtro polarizador cujo eixo está a $30°$ em relação ao plano de polarização. Encontre a intensidade transmitida.

Para dois filtros em sequência, use a lei de Malus duas vezes com o ângulo entre cada par. Tenha cuidado com o ângulo cada vez — após o primeiro filtro, a polarização está ao longo do eixo desse filtro, e o ângulo do segundo filtro é medido a partir daí.

(Você não precisa calcular o efeito de um filtro polarizador sobre uma onda não polarizada.)

Quando um filtro é girado através de $360°$ diante de luz polarizada linearmente, a intensidade transmitida varia como $\cos^{2}\theta$: é máxima quando o eixo de transmissão está paralelo ao plano de polarização ($0°$ e $180°$), zero quando perpendicular ($90°$ e $270°$), e nunca negativo. Como $I \propto A^{2}$, a amplitude transmitida é $A_{0}\cos\theta$: em $45°$ a intensidade cai pela metade e a amplitude cai para $0.71$ de seu valor. Para dois filtros, o primeiro define o plano de polarização ao longo de seu próprio eixo, então o ângulo do segundo filtro é medido a partir dele: luz polarizada verticalmente através de filtros em $50°$ e depois $80°$ em relação à vertical mantém $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ de sua intensidade. As definições de um ponto: polarização é a oscilação de uma onda transversal em um único plano, que contém a direção de propagação; o som não pode ser polarizado porque suas oscilações são ao longo da direção de propagação, portanto não há plano para selecionar.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Defina termos precisamente (deslocamento, amplitude, comprimento de onda, período, frequência) e use $v = f\lambda$.
• Distinga transversal (vibração perpendicular à propagação) de longitudinal (paralelo); apenas ondas transversais podem ser polarizadas.
• Para o efeito Doppler, a frequência observada aumenta quando a fonte se aproxima e diminui quando ela se afasta.
• Aprenda a ordem do espectro eletromagnético; todas as suas ondas viajam a $c$ no vácuo.

Erros comuns

• Uma diferença de fase maior que um ciclo, ou graus onde radianos foram solicitados. Apenas a fração de um ciclo importa: $450°$ é $90°$, e $90°$ é $\pi/2$.
• Lendo o comprimento de onda de um gráfico de deslocamento-tempo. Esse gráfico dá o período; o comprimento de onda vem do gráfico de deslocamento-distância.
• Dobrar a amplitude e "dobrar" a intensidade. A intensidade vai ao quadrado da amplitude: quatro vezes.
• Escolhendo o sinal Doppler intuitivamente. Em direção significa menos no denominador (frequência alta); para longe significa mais (frequência baixa). Verifique se a resposta está do lado certo de $f_{\text{s}}$.
• Usando o ângulo do primeiro filtro para o segundo. Após um filtro, a luz está polarizada ao longo do eixo desse filtro, e o próximo ângulo é medido a partir daí.
• Dizer que o som pode ser polarizado. Apenas ondas transversais podem.

Quando duas ou mais ondas 波 se sobrepõem em um ponto, o deslocamento 位移 ali é a soma vetorial 矢量和 dos deslocamentos que cada onda causaria isoladamente. Este é o princípio da superposição 叠加.

As ondas passam umas pelas outras e saem inalteradas. A superposição é a base de tudo neste tópico.

Para a afirmação de dois pontos: quando duas ou mais ondas encontram-se em um ponto, o deslocamento resultante é a soma dos deslocamentos das ondas individuais. São os deslocamentos que se somam, não as amplitudes ou as intensidades, e o princípio aplica-se sempre que ondas do mesmo tipo se sobrepõem; as ondas não precisam ser coerentes ou de igual amplitude.

Se duas ondas de amplitude 振幅 $A_{1}$ e $A_{2}$ se encontram:

• em fase 同相 (crista 波峰 encontra crista): a amplitude é $A_{1} + A_{2}$ (interferência construtiva 相长干涉).
• exatamente fora de fase (crista encontra vales 波谷, diferença de fase 相位差 $\pi$): a amplitude é $|A_{1} - A_{2}|$ (interferência destrutiva 相消干涉).
• qualquer outra diferença de fase $\phi$: a amplitude fica em algum lugar entre esses dois.

Para intensidade 强度, $I \propto A^{2}$. Duas ondas iguais encontrando-se em fase dão intensidade $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — quatro vezes a intensidade de uma onda sozinha.

Como $I \propto A^{2}$, trabalhe primeiro com amplitudes. Duas ondas de intensidades $I$ e $4I$ têm amplitudes $A$ e $2A$: a superposição em fase resulta em amplitude $3A$ e intensidade $9I$; em antifaase, amplitude $A$ e intensidade $I$. Portanto, duas ondas coerentes de intensidades diferentes nunca se cancelam completamente: os mínimos têm intensidade $(A_{2} - A_{1})^{2}$, não zero. Uma onda de amplitude $2A$ encontrando uma de amplitude $A/2$ viajando na direção oposta produz um resultado que varia entre $2.5A$ e $1.5A$, um padrão estacionário sem nós verdadeiros. Dobrar a amplitude de uma de duas ondas iguais que se encontram em fase leva o resultado de $2A$ para $3A$, portanto a intensidade aumenta de $4A^{2}$ para $9A^{2}$: $2.25$ vezes.