Ondas

Uma onda 波 carrega energia 能量 de um lugar para outro sem mover matéria em geral. As partículas do meio 介质 oscilam 振动 em torno de posições de repouso fixas; apenas a perturbação (e sua energia) propaga-se 传播. Exemplos: uma onda transversal 横波 em uma corda, uma onda longitudinal 纵波 em uma mola espiral, onzas na água e som no ar. Uma onda que viaja e carrega energia é uma onda progressiva 行波.

Movimento ondulatório 波动 é uma série de oscilações das partículas de um meio, cada uma passando a perturbação para a próxima: agite uma extremidade de uma corda, empurre uma extremidade de uma mola, ou toque a superfície da água em uma piscina de ondas 水波槽, e a oscilação viaja para longe de onde começou. Para a definição de um ponto, uma onda progressiva transfere energia de um lugar para outro sem transferir matéria; as partículas apenas oscilam em torno de suas posições de repouso.

Termos-chave

• deslocamento 位移 $y$ — quão longe uma partícula se moveu de sua posição de repouso em um momento. Um vetor 矢量.
• amplitude 振幅 $A$ — o maior deslocamento em relação à posição de repouso.
• comprimento de onda 波长 $\lambda$ — a menor distância ao longo da onda entre dois pontos que se movem em fase 同相 (por exemplo, dois cristas 波峰 vizinhos).
• período 周期 $T$ — o tempo para uma oscilação completa de uma partícula.
• frequência 频率 $f$ — o número de oscilações completas por segundo; $f = 1/T$. Unidade: hertz 赫兹, $\text{Hz}$.
• velocidade 速率 $v$ — a velocidade com que um crista se desloca ao longo do meio.
• phase difference 相位差 — a fração de um ciclo pela qual uma oscilação antecede ou atrasa outra. Expresso em radians 弧度 (um ciclo completo é $2\pi$) ou graus (um ciclo completo é $360°$).

Dois pontos separados por um comprimento de onda estão em fase (diferença de fase 0 ou $2\pi$). Dois pontos separados por metade de um comprimento de onda estão exatamente defasados (diferença de fase $\pi$).

Para encontrar a diferença de fase entre dois pontos num gráfico de deslocamento versus distância, divida a sua separação pelo comprimento de onda e multiplica por $360°$ (ou $2\pi$): dois pontos $0.50\ \text{m}$ separados numa onda de comprimento de onda $2.0\ \text{m}$ ($v = 600\ \text{m s}^{-1}$, $f = 300\ \text{Hz}$) diferem em fase por $0.25 \times 360° = 90°$. Apenas importa a fração de um ciclo, logo $450°$ é igual a $90°$. A partir de dois gráficos de deslocamento versus tempo, lê o desfasamento temporal entre os picos como fração do período. Qual é a direção de movimento de um ponto no instante em que o gráfico o mostra? O perfil inteiro move-se para frente, assim cada ponto assume o deslocamento que o seu vizinho do lado de onde a onda vem tem agora; um ponto num crista ou num vale está momentaneamente em repouso.

Exemplo resolvido. Os pontos R e T numa corda estão $0.62\ \text{cm}$ separados e defasados um quarto de ciclo. A velocidade da onda é $0.27\ \text{m s}^{-1}$. Encontre a frequência.

Um quarto de ciclo corresponde a um quarto de comprimento de onda, logo $\lambda = 4 \times 0.62 = 2.5\ \text{cm}$ e $f = v / \lambda = 0.27 / 0.025 = 11\ \text{Hz}$.

A equação da onda

Num período $T$, a onda desloca-se para a frente num comprimento de onda $\lambda$. Logo a velocidade $= \text{distance} / \text{time} = \lambda / T = \lambda f$:

Isso vem diretamente das definições de velocidade, frequência e comprimento de onda, e funciona para toda onda progressiva. Para a derivação de duas marcas, escreva ambas as etapas: em um período $T$ a onda percorre um comprimento de onda $\lambda$, então $v = \lambda / T$; e $f = 1/T$, então $v = f\lambda$. Como $v$ é fixo pelo meio, uma frequência mais alta significa um comprimento de onda mais curto. Uma pergunta sobre período é a mesma equação do outro lado: luz de comprimento de onda $460\ \text{nm}$ tem $f = c / \lambda = 6.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ e $T = 1/f = 1.5 \times 10^{-15}\ \text{s}$.

Lendo um traço de CRO

Um osciloscópio de raios catódicos 示波器 (CRO) desenha um sinal de tensão — para som, a saída de um microfone — contra o tempo. Dois controlos são importantes:

• time-base 时基 (segundos por divisão horizontal): converte a distância horizontal no ecrã em tempo. Lê o período $T$ como a distância entre dois picos adjacentes, depois $f = 1/T$.
• y-gain 垂直增益 (volts por divisão vertical): converte a distância vertical em tensão. A amplitude em volts é a altura do pico em relação à linha central.

Se a base de tempo for $5\ \text{ms}/\text{div}$ e um ciclo completo levar $4$ divisões, então $T = 4 \times 5\ \text{ms} = 20\ \text{ms}$ e $f = 50\ \text{Hz}$.

A base de tempo é o tempo representado por uma divisão (ou centímetro) horizontal no ecrã, em $\text{s}\ \text{div}^{-1}$. Para a definir para um dado sinal, faz o cálculo inverso: um som de $2000\ \text{Hz}$ tem $T = 0.50\ \text{ms}$, logo para que um ciclo ocupe $2.5\ \text{cm}$ a base de tempo deve ser $0.50 / 2.5 = 0.20\ \text{ms cm}^{-1}$. Para a amplitude, multiplica a altura do pico em divisões pelo ganho y: $2.0$ divisões a $3.5\ \text{mV cm}^{-1}$ resulta em $7.0\ \text{mV}$. Quando a intensidade do som é reduzida a um quarto à mesma frequência, o traço mantém o seu período e os picos reduzem-se à metade em altura, pois $I \propto A^{2}$.

Intensidade de uma onda

Uma onda transporta energia. A intensidade 强度 num ponto é a potência 功率 que passa através de uma área unitária perpendicular à direção de propagação:

Unidade: $\text{W m}^{-2}$.

A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude:

Para uma fonte pontual 点源 que emite energia igualmente em todas as direções, as frentes de onda 波前 são esferas; a área de superfície a uma distância $r$ é $4\pi r^{2}$, logo

Dobrar a distância reduz a intensidade a um quarto, o que significa que a amplitude é reduzida à metade (já que $I \propto A^{2}$).

Exemplo resolvido. Uma lâmpada emite $60\ \text{W}$ de luz igualmente em todas as direções. Encontre a intensidade da luz a $2.0\ \text{m}$ de distância.

Exemplo resolvido. Luz de potência $750\ \text{W}$ incide perpendicularmente sobre um painel solar quadrado de lado $1.2\ \text{m}$. Encontre a intensidade.

$I = P/A = 750 / 1.2^{2} = 520\ \text{W m}^{-2}$. Um painel menor na mesma luz recebe a mesma intensidade mas menos potência, proporcionalmente à sua área. Inversamente, uma lupa de raio $r$ recolhe uma potência $I \times \pi r^{2}$ e concentra-a num pequeno ponto.

Duas regras nas quais as questões de escolha múltipla se baseiam. Como $I \propto A^{2}$, a razão entre duas intensidades é o quadrado da razão entre as amplitudes: ondas de amplitude $3.0\ \text{cm}$ e $2.0\ \text{cm}$ têm intensidades numa razão de $2.25$, e quando uma amplitude cai para a metade a intensidade cai para um quarto. Para uma fonte pontual, $I \propto 1/r^{2}$ implica $A \propto 1/r$, logo um esboço de $A/A_{0}$ contra $d/x_{0}$ é uma curva que decresce como $1/d$, não uma linha reta. A afirmação de uma linha que o esquema pretende: a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude.

Ondas transversais

As partículas oscilam perpendicularmente 垂直 à direção em que a energia se desloca. Uma onda numa corda, todas as ondas eletromagnéticas e as ondas S na Terra são transversais.

Ondas longitudinais

As partículas oscilam paralelamente à direção em que a energia se desloca. O som em qualquer meio, as ondas P na Terra e as compressões numa mola de espiral são longitudinais. A onda é composta por compressões 压缩 (pressão mais alta, partículas próximas) e rarefeações 稀疏 (pressão mais baixa, partículas afastadas).

Gráficos de ondas

Um gráfico de deslocamento de partícula versus posição num instante dado parece uma curva senoidal 正弦曲线 para ambos os tipos de onda. A diferença: para uma onda transversal o eixo de deslocamento é o verdadeiro deslocamento lateral; para uma onda longitudinal é o pequeno deslocamento de vai-e-vem ao longo da direção de propagação (positivo num sentido, negativo no outro).

Para uma onda longitudinal considera o deslocamento para a direita como positivo. Onde o gráfico cruza zero indo de positivo para negativo, as partículas de ambos os lados moveram-se para esse ponto, logo é uma compressão; onde cruza de negativo para positivo elas afastaram-se, uma rarefeação. Duas compressões vizinhas estão separadas por um comprimento de onda, e uma compressão e a próxima rarefeação estão separadas por metade de um comprimento de onda. A direção de movimento de uma partícula segue a mesma regra que para uma onda transversal: move-se em direção ao deslocamento do seu vizinho do lado de onde a onda vem.

Um gráfico de deslocamento de partícula versus tempo num ponto específico do espaço também é uma curva senoidal para ambos os tipos. Lê o período $T$ neste gráfico.

A comparação de dois pontos, referindo-se à direção da transferência de energia: numa onda transversal as oscilações são perpendiculares à direção da transferência de energia; numa onda longitudinal são paralelas a ela. Ambos os tipos transferem energia sem transferir matéria, ambos podem ser refletidos, refratados e difratados, e ambos podem formar ondas estacionárias (tópico 8). Apenas ondas transversais podem ser polarizadas, e apenas ondas eletromagnéticas, que são todas transversais, podem viajar através do vácuo; o som precisa de um meio. Ler os dois gráficos juntos: o gráfico de deslocamento versus distância fornece $\lambda$, o gráfico de deslocamento versus tempo fornece $T$, e $v = \lambda / T$.

Quando a fonte 波源 de um som se move relativamente a um observador 静止 estacionário, a frequência ouvida é diferente da frequência da fonte. Este é o efeito Doppler 多普勒效应.

• fonte movendo-se em direção ao observador: as frentes de onda à frente são comprimidas, logo o comprimento de onda é menor e a frequência ouvida é mais alta.
• fonte afastando-se do observador: as frentes de onda atrás espalham-se, logo o comprimento de onda é maior e a frequência ouvida é mais baixa.

A fórmula (fonte movendo-se a velocidade $v_{\text{s}}$ ao longo da linha para o observador; velocidade da onda $v$, frequência da fonte $f_{\text{s}}$, frequência ouvida $f_{\text{o}}$):

Escolha o sinal para correspondê-lo à física:

• sinal de menos no denominador quando a fonte se move em direção ao observador ($f_{\text{o}} > f_{\text{s}}$),
• sinal de mais quando a fonte se move para longe ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$).

Você só precisa do caso de um observador estacionário.

Exemplo resolvido. Uma buzina de carro a $f_{\text{s}} = 800\ \text{Hz}$ move-se a $30\ \text{m s}^{-1}$ em direção a um ouvinte parado. Velocidade do som $v = 340\ \text{m s}^{-1}$:

Movendo-se para longe à mesma velocidade, o ouvinte ouve $340 \times 800 / (340 + 30) = 735\ \text{Hz}$: a frequência é constante enquanto o carro se aproxima, diminui conforme ele passa e torna-se novamente constante, mas menor, conforme ele se afasta. Um esboço da frequência observada contra o tempo para uma fonte que passa com velocidade constante mostra duas linhas horizontais ligadas por uma queda. Trabalhando ao contrário, uma fonte de $1200\ \text{Hz}$ ouvida como $960\ \text{Hz}$ está se movendo para longe ($f_{\text{o}} < f_{\text{s}}$): $960 = 1200 \times 340 / (340 + v_{\text{s}})$ dá $v_{\text{s}} = 85\ \text{m s}^{-1}$. Um zumbidor oscilado em um círculo horizontal a $25\ \text{m s}^{-1}$ enquanto emite $846\ \text{Hz}$ é ouvido entre $846 \times 330 / 355 = 786\ \text{Hz}$ (movendo-se diretamente para longe) e $846 \times 330 / 305 = 915\ \text{Hz}$ (movendo-se diretamente em direção), uma vez por revolução. Se o período de um traçado de CRO aumenta continuamente, a frequência observada está caindo: a fonte está se afastando com velocidade crescente. O efeito Doppler ocorre para todas as ondas, incluindo luz (tópico 25); apenas a fórmula do som é examinada aqui.

Todas as ondas eletromagnéticas 电磁波 (ondas EM) são transversais e viajam no vácuo 真空 à mesma velocidade:

O espectro eletromagnético 电磁波谱 inclui ondas de rádio, micro-ondas 微波, infravermelho 红外线, luz visível, ultravioleta 紫外线, raios-X X射线 e $\gamma$-raios γ射线.

Intervalos aproximados de comprimento de onda no espaço livre (aprenda as ordens de grandeza):

• ondas de rádio: $> 10^{-1}\ \text{m}$ (até vários km).
• micro-ondas: $10^{-3}\ \text{m}$ a $10^{-1}\ \text{m}$.
• infravermelho: $\sim 7 \times 10^{-7}\ \text{m}$ a $10^{-3}\ \text{m}$.
• luz visível: $400\ \text{nm}$ (violeta) a $700\ \text{nm}$ (vermelho), ou seja, $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$ a $7 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• ultravioleta: $\sim 10^{-8}\ \text{m}$ a $4 \times 10^{-7}\ \text{m}$.
• raios-X: $\sim 10^{-11}\ \text{m}$ a $10^{-8}\ \text{m}$.
• $\gamma$-raios: $< 10^{-11}\ \text{m}$.

Os limites entre regiões não são nítidos. Use $c = f\lambda$ para alternar entre comprimento de onda e frequência. Apenas luz com comprimentos de onda $400$–$700\ \text{nm}$ pode ser vista.

Para identificar uma região, converta para um comprimento de onda usando $\lambda = c / f$ e compare com os intervalos: $2.1\ \text{cm}$ é uma micro-onda; $138\ \text{pm} = 1.4 \times 10^{-10}\ \text{m}$ é um raio-X; $30\ \text{THz}$ resulta em $\lambda = 1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}$, infravermelho; $3.0 \times 10^{16}\ \text{Hz}$ resulta em $1.0 \times 10^{-8}\ \text{m}$, ultravioleta. A luz visível abrange frequências de cerca de $4.3 \times 10^{14}$ a $7.5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$, então uma onda de $5.0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ pode ser vista e uma de comprimento de onda $5.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$ (infravermelho) não pode. A luz vermelha tem um comprimento de onda maior e uma frequência menor do que a verde. Uma lista "em ordem de comprimento de onda crescente" segue: $\gamma$-raios, raios-X, ultravioleta, visível, infravermelho, micro-ondas, ondas de rádio. Um pulso de luz refletido por uma parede $150\ \text{m}$ de distância retorna após $2 \times 150 / (3.00 \times 10^{8}) = 1.0\ \mu\text{s}$.

Polarização 偏振 significa fazer uma onda transversal oscilar em apenas um plano.

• Apenas ondas transversais podem ser polarizadas — a oscilação é perpendicular à direção de propagação, portanto diferentes planos perpendiculares são escolhas reais.
• Ondas longitudinais (som) não podem ser polarizadas — a oscilação é ao longo da direção de propagação, portanto não há outro plano.

Então a polarização é um teste: se uma onda pode ser polarizada, ela deve ser transversal.

Lei de Malus

Luz polarizada linearmente 平面偏振 de intensidade $I_{0}$ passa por um filtro polarizador 偏振片 cujo eixo de transmissão 透光轴 está em um ângulo $\theta$ em relação ao plano de polarização. A intensidade transmitida é dada pela Lei de Malus 马吕斯定律:

• $\theta = 0°$: filtro alinhado com a polarização, $I = I_{0}$, tudo passa.
• $\theta = 90°$: filtro em ângulo reto, $I = 0$, tudo bloqueado.
• $\theta = 60°$: $I = I_{0} \cos^{2} 60° = I_{0} \cdot 0.25 = I_{0}/4$.

Exemplo resolvido. Luz polarizada linearmente de intensidade $12\ \text{W m}^{-2}$ encontra um filtro polarizador cujo eixo está a $30°$ em relação ao plano de polarização. Encontre a intensidade transmitida.

Para dois filtros em sequência, use a lei de Malus duas vezes com o ângulo entre cada par. Tenha cuidado com o ângulo cada vez — após o primeiro filtro, a polarização está ao longo do eixo desse filtro, e o ângulo do segundo filtro é medido a partir daí.

(Você não precisa calcular o efeito de um filtro polarizador sobre uma onda não polarizada.)

Quando um filtro é girado através de $360°$ diante de luz polarizada linearmente, a intensidade transmitida varia como $\cos^{2}\theta$: é máxima quando o eixo de transmissão está paralelo ao plano de polarização ($0°$ e $180°$), zero quando perpendicular ($90°$ e $270°$), e nunca negativo. Como $I \propto A^{2}$, a amplitude transmitida é $A_{0}\cos\theta$: em $45°$ a intensidade cai pela metade e a amplitude cai para $0.71$ de seu valor. Para dois filtros, o primeiro define o plano de polarização ao longo de seu próprio eixo, então o ângulo do segundo filtro é medido a partir dele: luz polarizada verticalmente através de filtros em $50°$ e depois $80°$ em relação à vertical mantém $\cos^{2} 50° \times \cos^{2} 30° = 0.31$ de sua intensidade. As definições de um ponto: polarização é a oscilação de uma onda transversal em um único plano, que contém a direção de propagação; o som não pode ser polarizado porque suas oscilações são ao longo da direção de propagação, portanto não há plano para selecionar.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Defina termos precisamente (deslocamento, amplitude, comprimento de onda, período, frequência) e use $v = f\lambda$.
• Distinga transversal (vibração perpendicular à propagação) de longitudinal (paralelo); apenas ondas transversais podem ser polarizadas.
• Para o efeito Doppler, a frequência observada aumenta quando a fonte se aproxima e diminui quando ela se afasta.
• Aprenda a ordem do espectro eletromagnético; todas as suas ondas viajam a $c$ no vácuo.

Erros comuns

• Uma diferença de fase maior que um ciclo, ou graus onde radianos foram solicitados. Apenas a fração de um ciclo importa: $450°$ é $90°$, e $90°$ é $\pi/2$.
• Lendo o comprimento de onda de um gráfico de deslocamento-tempo. Esse gráfico dá o período; o comprimento de onda vem do gráfico de deslocamento-distância.
• Dobrar a amplitude e "dobrar" a intensidade. A intensidade vai ao quadrado da amplitude: quatro vezes.
• Escolhendo o sinal Doppler intuitivamente. Em direção significa menos no denominador (frequência alta); para longe significa mais (frequência baixa). Verifique se a resposta está do lado certo de $f_{\text{s}}$.
• Usando o ângulo do primeiro filtro para o segundo. Após um filtro, a luz está polarizada ao longo do eixo desse filtro, e o próximo ângulo é medido a partir daí.
• Dizer que o som pode ser polarizado. Apenas ondas transversais podem.