Deformação de sólidos

Quando uma força atua em um sólido ao longo de seu comprimento, o objeto muda de forma (deformação 形变). Dois casos (tratados aqui como unidimensionais):

• uma força tracionante 拉伸 estica o objeto — faz uma extensão 伸长量 $x$,
• uma força compressiva aperta o objeto — faz uma compressão 压缩, tratada como uma extensão negativa.

A força aplicada é a carga 负载. A mudança do comprimento natural é a extensão (ou compressão).

Ambos são medidos a partir do comprimento natural, não esticado, nunca a partir do comprimento carregado: em um diagrama de uma mola sob uma caixa, a distância que a mola encurtou é sua compressão. A massa própria de uma mola geralmente é dita negligenciável 可忽略的, então as únicas forças sobre ela são a carga e a tensão que ela fornece.

Para muitos materiais em pequenas extensões, a extensão é proporcional à carga — isso é a Lei de Hooke 胡克定律. A constante que os liga é a constante da mola 劲度系数 $k$:

Unidade de $k$: $\text{N m}^{-1}$.

Exemplo resolvido. Uma mola estica-se em $4.0\ \text{cm}$ quando uma carga de $2.0\ \text{N}$ é pendurada nela. Encontre sua constante da mola.

Convertendo a extensão para metros ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):

Para a questão de um ponto "enuncie a lei de Hooke", escreva-a em palavras: a extensão é diretamente proporcional à força aplicada (carga), desde que o limite de proporcionalidade não seja excedido. A constante da mola é a força por unidade de extensão; as alternativas incorretas de múltipla escolha são "extensão por unidade de força" (isto é $1/k$) e $\tfrac{1}{2}Fx$ (a energia armazenada).

Lendo um gráfico:

• Um gráfico de força–extensão ($F$ contra $x$) tem inclinação $k$ na região da lei de Hooke.
• Um gráfico de extensão–força ($x$ contra $F$) tem inclinação $1/k$ na região da lei de Hooke.

Uma armadilha comum: se um gráfico plota comprimento $L$ contra força, você ainda pode encontrar a constante da mola a partir da inclinação (já que $L = L_{0} + F/k$, a inclinação é $1/k$ — leia com cuidado).

Exemplo resolvido. Uma mola tem comprimento $90\ \text{mm}$ sob uma força de $0.80\ \text{N}$ e $115\ \text{mm}$ sob $1.30\ \text{N}$. Encontre a constante da mola e o comprimento sem alongamento.

A força extra $0.50\ \text{N}$ produz a extensão extra $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, então $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. Em $0.80\ \text{N}$ a extensão é $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, então o comprimento sem alongamento é $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. Em um gráfico de comprimento contra força, o intercepto no eixo do comprimento é $L_{0}$, a inclinação é $1/k$, e o trabalho realizado ao esticar a mola é o triângulo entre a linha e o nível $L = L_{0}$, não toda a área até o eixo da força: o retângulo abaixo $L_{0}$ é o comprimento sem alongamento multiplicado pela força, o que não significa nada.

Limite de proporcionalidade

A lei de Hooke só vale até o limite de proporcionalidade 比例极限. Após esse ponto, a linha de $F$ contra $x$ curva-se e deixa de ser reta. O material ainda pode ser elástico 弹性 (retorna ao seu primeiro comprimento quando você remove a carga) um pouco mais, depois torna-se plástico 塑性.

Molas em série e paralelo

Você pode precisar combinar constantes de mola:

• Série 串联 (uma mola pendurada de outra): a mesma carga passa por ambas, a extensão total é a soma, então $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
• Paralelo 并联 (duas molas lado a lado segurando a mesma carga): cada uma suporta metade da carga (se forem idênticas), as extensões são iguais, então $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.

Exemplo resolvido. Molas de constante $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ e $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ são unidas ponta a ponta e uma carga de $80\ \text{N}$ pende delas. Encontre a extensão total.

Cada mola carrega a carga completa $80\ \text{N}$, então as extensões são $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ e $80/4.0 = 20\ \text{cm}$: um total de $33\ \text{cm}$ (o mesmo que $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ de $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Três molas idênticas dão a maior constante combinada quando todas estão em paralelo ($3k$) e a menor quando todas estão em série ($k/3$). Quando uma carga é dividida por duas molas idênticas em paralelo, cada uma carrega metade da força e, portanto, armazena um quarto da energia de uma mola segurando a carga inteira; o par juntos armazena metade da energia da única mola. Uma constante de mola em $\text{N cm}^{-1}$ é $100$ vezes menor do que a mesma constante em $\text{N m}^{-1}$; dê a unidade que a pergunta solicitar.

Para um fio de seção transversal uniforme sob carga de tração:

• Tensão 应力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$, onde $F$ é a carga e $A$ é a área da seção transversal 横截面积. Unidade: $\text{Pa}$.
• Deformação 应变 $\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, onde $x$ é a extensão e $L_{0}$ é o comprimento original. Deformação não tem unidade (é uma razão de comprimentos).

Para as definições de um ponto: tensão é a força por unidade de área da seção transversal (a força atuando normalmente à área); deformação é a extensão por unidade de comprimento original. A unidade de tensão, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, é $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ em unidades base. A área de um fio redondo vem de seu diâmetro $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, e usar $d$ em vez de $r$ torna a área quatro vezes maior. Converta $\text{mm}^{2}$ para $\text{m}^{2}$ usando $10^{-6}$.

Exemplo resolvido. Uma força de tração de $18\ \text{N}$ age em um fio de área de seção transversal $3.2\ \text{mm}^{2}$. Encontre a tensão.

$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. A mesma força age ao longo de todo o fio, então um parafuso cujo diâmetro é $2d$ em uma extremidade e $d$ na outra tem quatro vezes a tensão na extremidade mais estreita ($\sigma \propto 1/d^{2}$), e um fio de três vezes o raio carrega um nono da tensão.

O módulo de Young 杨氏模量 é a razão entre tensão e deformação na região da lei de Hooke:

Unidade: $\text{Pa}$ (cerca de $10^{11}$ para metais; ex.: aço $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).

Exemplo resolvido. Um fio de aço de comprimento $2.0\ \text{m}$ e área de seção transversal $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ estica-se em $1.0\ \text{mm}$ sob uma carga de $15\ \text{N}$. Encontre o módulo de Young.

O módulo de Young é uma propriedade do material — não depende do formato ou tamanho do fio. A constante da mola $k$ depende tanto do material quanto do tamanho: $k = EA/L_{0}$.

Para a definição de um ponto: o módulo de Young é a razão entre tensão e deformação (para um material deformado dentro de seu limite de proporcionalidade). Como pertence ao material, um fio mais espesso do mesmo metal tem o mesmo módulo de Young: ele estica menos sob a mesma carga porque sua área é maior, não porque o metal é mais rígido. Uma questão "mostre que $k = EA/L_{0}$" pede duas linhas: $k = F/x$ e $E = FL_{0}/(Ax)$, logo $E = kL_{0}/A$. Duas coisas decorrem disso: a constante de mola de um fio permanece constante enquanto a lei de Hooke vale, independentemente da força, e um fio do mesmo metal com dois vezes o diâmetro tem quatro vezes a constante de mola.

Exemplo resolvido. Um fio de cobre de comprimento $1.7\ \text{m}$ e diâmetro $0.64\ \text{mm}$ tem módulo de Young $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Encontre sua constante de mola.

$A = \pi (0.32 \times 10^{-3})^{2} = 3.2 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$, logo $k = EA/L_{0} = 1.2 \times 10^{11} \times 3.2 \times 10^{-7} / 1.7 = 2.3 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$.

Em um gráfico de tensão–deformação, a inclinação da parte reta é $E$, então, de dois materiais desenhados nos mesmos eixos, a linha mais íngreme é do material mais rígido, e um fio com dobro do módulo de Young é desenhado como uma linha pela origem com o dobro da inclinação. Em um gráfico de força–extensão, a inclinação é $EA/L_{0}$ e o módulo de Young é a inclinação multiplicada por $L_{0}/A$; apenas um gráfico de tensão–deformação tem inclinação igual a $E$ propriamente dito.

Experimento para encontrar o módulo de Young de um fio metálico

Um equipamento padrão:

1. Prenda uma extremidade de um fio longo e fino a um suporte fixo. Passe o fio por uma polia 滑轮 na borda da bancada para que ele pendure reto.
2. Meça o comprimento original $L_{0}$ entre o prendedor e um marcador próximo à polia, usando uma régua métrica.
3. Meça o diâmetro 直径 $d$ do fio em vários lugares com um micrômetro 螺旋测微器 e tire a média. Calcule $A = \pi d^{2}/4$.
4. Pendure pesos um de cada vez. Registre a carga $F$ e a extensão $x$ (o quão longe o marcador se move contra uma escala fixa).
5. Plote $F$ contra $x$. Na região reta, a inclinação é $EA/L_{0}$, logo $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.

Por que um fio longo e fino? Para tornar a extensão grande o suficiente para medir bem. Por que repetir leituras e medir $d$ em vários lugares? Para reduzir erro aleatório 随机误差 e verificar se o fio é uniforme.

Uma resposta "descreva um experimento" ganha pontos pelas quantidades medidas e como ($L_{0}$ com uma régua métrica; $d$ com um micrômetro em vários pontos; a carga pelos massas ou um dinamômetro; a extensão por um marcador lido contra uma escala fixa, ou uma escala de vernier), o gráfico ($F$ contra $x$, inclinação $EA/L_{0}$, ou tensão contra deformação, inclinação $E$) e as precauções: óculos de proteção caso o fio arrebente, uma carga pequena primeiro para alinhar os nós, e leituras feitas durante a descarga além da carga para verificar se o fio permaneceu elástico.

À medida que a carga aumenta:

1. Elástico e reto (obedece a Hooke) — até o limite de proporcionalidade. Remover a carga retorna o objeto ao seu primeiro comprimento.
2. Elástico mas curvo — entre o limite de proporcionalidade e o limite elástico 弹性极限. A extensão já não é reta na carga, mas na descarga o objeto ainda retorna ao seu primeiro comprimento.
3. Plástico — além do limite elástico. Na descarga, o objeto não retorna ao seu primeiro comprimento; uma extensão permanente permanece.

A lei de Hooke só vale na região reta e elástica.

Em palavras: deformação elástica significa que o objeto retorna ao seu comprimento (ou forma) original quando a carga é removida; deformação plástica significa que ele não retorna, e permanece uma extensão permanente; o limite elástico é a carga máxima (ou extensão) para a qual a deformação ainda é elástica; o limite de proporcionalidade é o ponto além do qual a extensão deixa de ser proporcional à carga. Em um gráfico, o limite de proporcionalidade é onde a linha deixa de ser reta. O limite elástico fica um pouco além dele e não pode ser lido apenas pela linha de carregamento. Portanto, em uma questão "qual afirmação deve estar correta", o final da parte reta é o limite de proporcionalidade, mas se um ponto posterior é o limite elástico ou o ponto de ruptura não pode ser determinado apenas pela forma da linha de carregamento.

Em um gráfico de força–extensão para um material levado para a região plástica e depois descarregado, a linha de carregamento e a linha de descarregamento são diferentes. A linha de descarregamento é paralela à primeira linha de Hooke, mas deslocada para a direita (a extensão permanente deixada quando a carga atinge zero). A área entre as linhas de carregamento e descarregamento é a energia convertida em energia térmica 热能 no material.

Uma elástica 橡皮筋 também tem curvas de carregamento e descarregamento diferentes, mas retorna ao seu comprimento original: sua deformação é elástica. A área entre as duas curvas é novamente energia dissipada como energia térmica (histerese elástica 弹性滞后), e a energia recuperada no descarregamento é a área sob a curva inferior. A resposta de dois pontos "explique por que o trabalho realizado ao esticar o fio não é igual à energia recuperada quando a força é removida" diz que o fio foi levado além do seu limite elástico, portanto parte da deformação é plástica e uma extensão permanente permanece, e que parte do trabalho realizado tornou-se energia térmica no fio.

O trabalho realizado ao esticar um material de $0$ para extensão $x$, conforme a carga cresce de $0$ para $F$, é a área sob o gráfico de força–extensão.

Por que a área: o trabalho realizado é força multiplicada pela distância percorrida, mas aqui a força cresce à medida que o material estica, então o trabalho é a soma de $F\,\Delta x$ sobre muitas pequenas extensões, que é a área sob a linha. Dentro do limite de proporcionalidade, a força aumenta uniformemente de $0$ para $F$, então a força média é $\tfrac{1}{2}F$ e o trabalho é $\tfrac{1}{2}Fx$. Em um gráfico de força–extensão, a inclinação é a constante da mola.

Material de lei de Hooke

Quando a lei de Hooke se aplica, o gráfico de $F$ contra $x$ é uma linha reta que passa pela origem. A área sob ela de $0$ a $x$ é um triângulo:

Esta é a energia potencial elástica 弹性势能 armazenada em uma mola ou fio esticado dentro do seu limite de proporcionalidade. Uma forma equivalente:

Exemplo resolvido. Uma mola de constante de mola $50\ \text{N m}^{-1}$ é esticada em $0.20\ \text{m}$, dentro do seu limite de proporcionalidade. Encontre a energia potencial elástica armazenada.

Exemplo resolvido. Um fio de constante de mola $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ já está esticado em $2.0\ \text{mm}$. Encontre o trabalho realizado para aumentar sua extensão para $3.0\ \text{mm}$.

A energia armazenada sobe de $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ para $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Esta é a trapézio sob a linha entre as duas extensões, não $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Como $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ em $k$ fixo, dobrar a extensão de um fio armazena quatro vezes a energia ($0.65\ \text{J}$ torna-se $2.6\ \text{J}$), e uma energia armazenada dá a extensão como $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: uma mola de $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ armazenando $0.32\ \text{J}$ é comprimida em $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Para dois fios ligados ponta a ponta, a tensão é a mesma em ambos, então a energia total armazenada é $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ com a própria extensão de cada fio.

Material não-Hookeano

Para um gráfico que não é uma linha reta (uma elástica esticada, ou uma mola além do seu limite de proporcionalidade), encontre a área contando os quadrados da grade ou usando trapézios 梯形. A mesma ideia se aplica: a área sob o gráfico de força–extensão é o trabalho realizado sobre o material. Para estimar o trabalho realizado até o ponto de ruptura, conte os quadrados sob toda a curva (quadrados parciais como metades) e multiplique pela energia que um quadrado representa, o passo de força multiplicado pelo passo de extensão; dizer que a área foi encontrada contando quadrados é a marca "explique seu raciocínio".

Comparando energia armazenada

Um caso comum de múltipla escolha: dois materiais são esticados pela mesma força, ou pela mesma extensão. Usando $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:

• mesma $F$, menor $k$ (menos rígido) → maior $x$ → mais energia armazenada.
• mesma $x$, maior $k$ (mais rígido) → maior $F$ → mais energia armazenada.

Um esboço de $E_{\text{P}}$ contra extensão ou compressão é uma curva que passa pela origem e fica mais íngreme ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), não uma linha reta. De dois fios do mesmo comprimento e área sob a mesma carga, aquele com o módulo de Young menor estica mais e, portanto, armazena mais energia.

Quando uma mola esticada é liberada sobre uma massa, a energia potencial elástica torna-se energia cinética 动能 (e energia potencial gravitacional se a massa subir). Iguale $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ a $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (mais qualquer $mgh$) para encontrar a velocidade ou a altura.

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Lei de Hooke ($F = kx$) só se aplica até o limite de proporcionalidade.
• Tensão $= F/A$, deformação $= x/L$, módulo de Young $=$ tensão$/$/deformação (inclinação da parte reta do gráfico de tensão-deformação) — atenção às unidades (Pa).
• Energia armazenada $=$ área sob o gráfico de força-extensão $= \frac{1}{2}Fx$ na região elástica.
• Distinguir elástica (retorna à forma) de plástica (permanente) deformação.

Erros comuns

• Usar o diâmetro como raio em $A = \pi r^{2}$, ou deixar uma área em $\text{mm}^{2}$. Divida o diâmetro primeiro; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
• Lendo o trabalho realizado em um gráfico de comprimento-força como a área inteira até o eixo. Apenas o triângulo acima de $L_{0}$ é trabalho.
• Tratar a energia armazenada como proporcional à extensão. Ela varia com $x^{2}$: dobre a extensão, quatro vezes a energia; e o trabalho realizado entre duas extensões é a diferença de dois valores de $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
• Declarar a lei de Hooke sem sua condição. "Desde que o limite de proporcionalidade não seja excedido" faz parte da lei.
• Inverter o limite de proporcionalidade (o final da linha reta) e o limite elástico (o final do comportamento elástico, um pouco além dele).
• Dizer que um fio mais espesso tem um módulo de Young maior. O módulo é do material; o fio mais espesso tem uma constante de mola maior.