Trabalho, energia e potência

Trabalho realizado por uma força

Trabalho 功 é realizado quando uma força desloca seu ponto de aplicação ao longo da linha de ação da força. Para a definição de uma marca, escreva: trabalho realizado é o produto da força pela distância percorrida na direção da força. O trabalho realizado por uma força constante $F$ que causa um deslocamento 位移 $s$ é

onde $\theta$ é o ângulo entre a força e o deslocamento. Apenas a componente 分量 da força ao longo do deslocamento realiza trabalho.

Exemplo resolvido. Uma criança puxa um trenó $5.0\ \text{m}$ sobre a neve com uma corda, usando uma força de $20\ \text{N}$ a $60°$ em relação ao chão. Encontre o trabalho realizado pela corda.

Unidade: $\text{J} = \text{N m}$. Trabalho é uma grandeza escalar 标量.

Casos especiais:

• força na mesma direção do movimento ($\theta = 0$): $W = Fs$, trabalho positivo, energia 能量 fornecida ao objeto.
• força em ângulo reto em relação ao movimento ($\theta = 90°$): $W = 0$. A força de contato normal 支持力 sobre um carro em uma estrada plana não realiza trabalho.
• força oposta ao movimento ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, trabalho negativo, energia removida do objeto (por exemplo atrito 摩擦力).

Para um objeto subindo uma rampa com ângulo $\alpha$ em relação à horizontal 水平, o trabalho realizado contra a gravidade ao subir uma altura $h$ é $mgh$, enquanto o trabalho realizado por um empurrão horizontal sobre o comprimento da rampa $L$ usa $\cos\alpha$.

Dois testes de múltipla escolha da definição: nenhum trabalho é realizado sobre um objeto que desliza com velocidade constante sobre uma superfície sem atrito (nenhuma força ao longo do movimento), ou sobre um que é simplesmente segurado parado (nenhuma distância percorrida); trabalho é realizado quando uma força o levanta. E quando uma caixa é empurrada com velocidade constante sobre um piso áspero, o trabalho realizado pelo empurrão é $F \times d$ para a distância total, independentemente de o trajeto ser dividido em etapas.

Exemplo resolvido. Um bloco de massa $4.9\ \text{kg}$ é empurrado com velocidade constante por uma rampa áspera de comprimento $8.0\ \text{m}$ que sobe $1.5\ \text{m}$, por uma força de $12\ \text{N}$ atuando ao longo da rampa. Encontre o trabalho realizado contra o atrito.

Velocidade constante significa nenhuma mudança na energia cinética, então o trabalho realizado pelo empurrão é compartilhado entre o ganho em energia potencial gravitacional e o trabalho realizado contra o atrito. Trabalho pelo empurrão: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Ganho em EPGrav, usando a elevação vertical: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Então o trabalho realizado contra o atrito é $96 - 72 = 24\ \text{J}$, e a força de atrito é $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Usar o comprimento da rampa em $mgh$ é o erro mais comum nesta questão.

Conservação de energia

Energia nunca é criada nem destruída — ela apenas muda de uma forma para outra, ou se move de um objeto para outro. Em um sistema isolado 封闭系统, a energia total permanece constante. Isso é conservação de energia 能量守恒, formulado para as marcas como: a energia não pode ser criada nem destruída; ela só pode ser transferida de uma forma para outra (portanto a energia total de um sistema isolado é constante).

Ao escrever uma equação de energia, liste todas as formas nas quais a energia começa e termina. Formas comuns neste programa: cinética, potencial gravitacional, energia potencial elástica 弹性势能, elétrica 电能, térmica, sonora, energia química 化学能.

Uma bola rolando por uma ramp 斜坡 sem atrito 无摩擦 transforma energia potencial gravitacional 重力势能 em energia cinética 动能: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, então $v = \sqrt{2gh}$. Com atrito, parte dessa energia se torna energia térmica 热能 da rampa e do ar.

Exemplo resolvido. Uma bola é solta do repouso no topo de uma rampa lisa $1.2\ \text{m}$ de altura. Encontre sua velocidade na base (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

Toda a energia potencial gravitacional se torna energia cinética, então $v = \sqrt{2gh}$ (a massa se cancela):

A mesma ideia lê um gráfico. Para uma bola caindo de altura $H$ com resistência do ar desprezível, a EPGrav cai em linha reta com a altura ($mgh$), a EC sobe em linha reta ($mg(H - h)$), e as duas somam a constante $mgH$ em toda altura.

A cadeia de energia pode passar por uma mola. Um bloco que atinge uma mola com energia cinética $110\ \text{J}$ enquanto desliza um pouco cuesta abaixo, de modo que sua EPGrav diminui adicionalmente em $20\ \text{J}$ antes que a mola o pare, armazena $110 + 20 = 130\ \text{J}$ de energia potencial elástica na maior compressão, se nada for perdido para o atrito. O gráfico de força versus compressão da mola então fornece a compressão: a energia armazenada é a área sob a linha, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ para uma mola que obedece à lei de Hooke (tópico 6), então uma força máxima de $2600\ \text{N}$ significa $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. Naquele instante, a força resultante sobre o bloco é a força da mola menos a componente do peso para baixo da rampa, e sua aceleração segue de $F = ma$ (tópico 3).

Eficiência

A eficiência 效率 de um sistema é

A mesma ideia com potência:

Eficiência é sempre menor que 100% em um sistema real, porque alguma energia de entrada se torna formas "inúteis" — geralmente energia térmica. Se uma energia total $E$ é fornecida e uma quantidade $Q$ é desperdiçada, a saída útil é $E - Q$ e a eficiência é $(E - Q) / E$; um motor classificado com entrada de $1.7\ \text{kW}$ e eficiência $53\%$ entrega $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ de saída útil.

Para um motor elétrico levantando uma carga com eficiência $\eta$ a tensão 电压 $V$ e corrente 电流 $I$, a potência de saída útil é $\eta V I$. A partir disso você pode encontrar uma força, uma velocidade de elevação ou uma tensão 张力.

Exemplo resolvido. Um motor elétrico levanta uma carga de $50\ \text{kg}$ a uma velocidade constante de $0.40\ \text{m s}^{-1}$ enquanto consome $250\ \text{W}$ de potência elétrica. Encontre sua eficiência (considere $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).

A potência de saída útil é $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, então

Exemplo resolvido. Um motor levanta um bloco com uma força de $240\ \text{N}$ por uma distância vertical de $12\ \text{m}$ em $60\ \text{s}$. A potência de entrada para o motor é $900\ \text{W}$. Encontre a potência de saída útil e a eficiência.

Trabalho realizado no bloco: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Potência de saída útil: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Eficiência: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. A maior parte da entrada vai para energia térmica no motor e em seu cabo. Invertendo, um motor de elevador com saída útil de $20\ \text{kW}$ levantando $1500\ \text{kg}$ por $20\ \text{m}$ consome $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.

Potência 功率 é a taxa de realização de trabalho, ou a taxa de transferência de energia:

Unidade: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. Potência é uma grandeza escalar.

Potência, força e velocidade

Para um objeto movendo-se com velocidade 速度 $v$ com uma força $F$ ao longo da direção do movimento, em um curto intervalo de tempo $\Delta t$ o deslocamento é $v\,\Delta t$ e o trabalho realizado é $F v\,\Delta t$. Dividindo por $\Delta t$:

Este é um dos resultados mais úteis da mecânica. Uma resposta de "dedução $P = Fv$" precisa exatamente dessas três linhas: $P = W / t$, $W = Fs$ para uma força ao longo do movimento, e $s / t = v$; então use-o para resolver problemas em que um veículo ou carga se move a velocidade constante.

Exemplo resolvido. Um carro viaja a uma velocidade constante de $25\ \text{m s}^{-1}$ contra uma força resistiva total de $600\ \text{N}$. Encontre a potência de saída do seu motor.

A velocidade constante a força motriz é igual à força resistiva, portanto

• Para um carro com velocidade constante $v$ em uma estrada plana, a potência do motor deve equilibrar a força resistiva total: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Se o arrasto 阻力 aumenta com $v^{2}$, dobrar a velocidade aproximadamente quadruplica a potência necessária.
• Para levantar um peso 重力 $mg$ verticalmente a velocidade constante $v$, a potência útil de saída é $P = mg \cdot v$.
• Para uma aeronave pairando a altura fixa, a força de sustentação é igual ao peso, e uma grande potência é necessária porque o ar deve ser empurrado para baixo o tempo todo.
• Uma guindaste elevando $600\ \text{kg}$ a uma velocidade constante de $12\ \text{m}$ por minuto levanta a $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, então sua potência útil de saída é $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Converta a velocidade para $\text{m s}^{-1}$ primeiro.
• Um veleiro empurrado por uma força de vento constante a velocidade constante também deve sentir uma força resistiva igual da água: velocidade constante significa força resultante zero, então a potência do vento $Fv$ está toda sendo usada no trabalho contra a água.

Em um campo gravitacional uniforme (perto da superfície de um planeta), a variação na energia potencial gravitacional de massa 质量 $m$ subindo ou descendo uma altura $\Delta h$ é

De onde vem

O trabalho feito contra a gravidade para elevar uma massa $m$ lentamente (sem mudança na energia cinética) através de uma altura $\Delta h$ é igual à energia potencial gravitacional ganho:

• a força gravitacional sobre a massa é $mg$ para baixo,
• a força necessária para levantá-la lentamente é $mg$ para cima,
• o trabalho feito por essa força é $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
• esse trabalho torna-se $\Delta E_{\text{P}}$.

Então $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Para usá-lo você precisa de $m$ e $\Delta h$ (e $g$). Você não precisa de velocidade ou tempo. A dedução de duas marcas quer as mesmas quatro linhas, com a condição declarada: o bloco é elevado a velocidade constante, então a força de levantamento é igual ao peso $mg$, e o trabalho feito por essa força sobre a distância vertical $\Delta h$ é $mg\Delta h$, que é o ganho na energia potencial gravitacional. Um objeto $100\ \text{g}$ caindo $10\ \text{m}$ perde $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, cerca de $10\ \text{J}$; a massa deve estar em quilogramas.

A energia cinética de um objeto de massa $m$ movendo-se a velocidade $v$ é

De onde vem

Aplique uma força resultante $F$ a uma massa $m$ que começa em repouso. Ela acelera uniformemente de $0$ para $v$ ao longo de um deslocamento $s$. De $v^{2} = u^{2} + 2as$ com $u = 0$,

O trabalho feito na massa é

Todo esse trabalho torna-se energia cinética, então $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. No exame, declare as suposições conforme avança: o objeto parte do repouso, a força é constante, então a aceleração é uniforme, e $F = ma$ é a segunda lei de Newton.

Porque $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, quadruplicar a velocidade multiplica a energia cinética por dezesseis: um objeto com $1500\ \text{J}$ a $10\ \text{m s}^{-1}$ tem $24\,000\ \text{J}$ a $40\ \text{m s}^{-1}$. O mesmo quadrado é por que uma força de parada é encontrada a partir da energia: uma bola de massa $1.2\ \text{kg}$ movendo-se a $3.0\ \text{m s}^{-1}$ que é parada por uma almofada sobre $0.020\ \text{m}$ perde $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, então a força média sobre ela é $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: o trabalho feito pela almofada é igual à energia cinética perdida.

Energia cinética e momento

Combinando $p = mv$ e $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:

Isso é útil quando o momento 动量 é dado mas não a velocidade. Para uma mudança de momento de $p_{1}$ para $p_{2}$ a massa constante, a mudança na energia cinética é $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.

Um plano útil para problemas que misturam forças e energia:

1. Encontre os estados inicial e final. Escreva as energias cinéticas e potenciais em cada.
2. Liste qualquer trabalho feito por forças externas (atrito, empurrão). O atrito geralmente remove energia; um empurrão pode adicioná-la.
3. Conservação de energia: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.

Exemplos:

• Uma caixa empurrada a velocidade constante para cima de uma rampa de comprimento $L$ subindo por $h$: $E_{\text{K}}$ não muda, então o trabalho feito pelo empurrão vai para $\Delta E_{\text{P}}$ mais o trabalho feito contra o atrito.
• Um bloco deslizando para dentro de uma mola 弹簧 com energia cinética $E_{\text{K}}$ em uma superfície sem atrito: na maior compressão 压缩 $x$, toda a energia cinética tornou-se energia potencial elástica $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (onde $k$ é a constante da mola 劲度系数).
• Uma bola solta de altura $h_{1}$ que quica até altura $h_{2}$: a razão $h_{2}/h_{1}$ é a fração de energia mecânica mantida, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
• Um projétil 抛体 lançado até a mesma altura em diferentes ângulos: a velocidade final é a mesma (apenas a altura importa); use componentes para obter sua direção.
• Um saltador de bungee 蹦极者: da plataforma até o ponto onde a corda fica esticada, EPG torna-se EC; daí a corda se estica e leva energia como energia potencial elástica, então a EC atinge seu máximo onde a tração da corda primeiramente iguala o peso, depois cai a zero no ponto mais baixo, onde EPG perdido $=$ EP elástica armazenada (mais qualquer energia térmica).

Uma questão de definição é avaliada contra wording fixo. Aprenda estas exatamente, e dê apenas uma resposta.

• Trabalho $=$ força $\times$ distância percorrida na direção da força — use $Fs\cos\theta$ quando estão em um ângulo.
• Use conservação de energia: perda em EPG $=$ ganho em EC ($+$ trabalho feito contra resistência).
• Potência $=$ trabalho $/$ tempo $= Fv$; eficiência $=$ saída útil $\div$ entrada total.
• EPG usa a altura vertical ganha, não a distância ao longo de uma inclinação.

Erros comuns

• Dar a mudança na altura como a resposta para uma pergunta de mudança de energia. Termine o cálculo: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
• Usar a distância ao longo de uma inclinação como a altura em $mg\Delta h$, ou usar massa onde peso é necessário. Use a altura vertical ganha, e verifique se a quantidade desejada é $m$ em kg ou $W$ em N.
• Colocar a força resistiva em $P = Fv$ para um carro que está acelerando. $F$ é a força motriz; apenas a velocidade constante ela é igual à força resistiva.
• Eficiência acima de 100%, ou eficiência como saída dividida pelo desperdício. É a saída útil dividida pela entrada total, e a entrada total é sempre o número maior.
• Ler a inclinação de um gráfico de força-extensão quando a questão quer a energia. A energia armazenada é a área sob a linha, não sua inclinação.